专题四 集合教材

专题四集合、逻辑用语、不等式、函数与导数一．课程标准要求1．集合（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.（3）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.（4）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.（5）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.（6）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2.常用逻辑用语（1）了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系.（3）通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.（4）通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.（5）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3．不等式（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.（2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.（3）通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.会解一元二次不等式.（4）探索并了解基本不等式的证明过程，会用其解决简单的最值问题.4.函数(1)①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义.⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质.（2）指数函数①通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a>0,a≠1）.（4）幂函数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数，，,,的图象，了解它们的变化情况.（5）函数与方程①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.（6）函数模型及其应用①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用.5．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景.②通过函数图象直观地理解导数的几何意义.（2）导数的运算①能根据导数定义求函数，，，,,的导数.②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数.③会使用导数公式表.（3）导数在研究函数中的应用结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.（4）生活中的优化问题举例.例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.（5）定积分与微积分基本定理通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念.二.考试说明要求考试内容要求层次ABC集合与常用逻辑用语集合集合的含义√集合的表示√集合的基本关系√集合的基本运算√常用逻辑用语“若p则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题√四种命题的相互关系√充要条件√简单逻辑联结词√全称量词与存在量词√函数概念与指数函数、对数函数、幂函数函数函数的概念与表示√映射√单调性与最大（小）值√奇偶性√指数函数有理指数幂的含义√实数指数幂的意义√幂的运算√指数函数的概念、图像和性质√对数函数对数的概念及其运算性质√换底公式√对数函数的概念、图像及其性质√指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数√幂函数幂函数的概念√幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的图像及其性质√函数的模型及其应用函数的零点√二分法√函数模型的应用√导数及其应用概念及其几何意义导数的概念√导数的几何意义√导数的运算定义求，，，,,的导数√导数的四则运算√简单的复合函数（仅限于形如）的导数√导数公式表√导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）√函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）√利用导数解决某些实际问题√定积分与微积分基本定理定积分的概念√微积分基本定理√三.近五年高考试题分布1.集合、逻辑用语、不等式年份题号题型考查内容分值占总分值比20095选择题充要条件、三角函数53.3%13填空题函数、不等式53.3%20解答题集合与数列，综合能力、创新意识149.3%20101选择题集合运算53.3%6选择题向量运算、充要条件53.3%20解答题集合、综合能力、创新意识149.3%20111选择题解不等式、集合运算53.3%20121选择题解不等式、集合运算53.3%3选择题充要条件、复数53.3%14填空题逻辑用语、函数53.3%20解答题集合、综合能力、创新意识138.7%20131选择题集合及运算53.3%3选择题充要条件3.3%2.函数年份题号题型考查内容分值占总分比20093选择题函数图象的平移变换56.7%13填空题分段函数和简单绝对值不等式的解法5201014填空题函数的周期性、零点和创新能力53.3%20116选择题分段函数56.7%8选择题函数的值域5201214填空题二次函数、指数函数的图象和单调性53.3%20135选择题函数图像及变换53.3%3.导数年份题号题型考查内容分值占总分比200911填空题导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念512%18解答题利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识13201018解答题利用导数研究函数的单调性和切线问题138.7%201118解答题利用导数研究函数的单调性和极值、最值138.7%201218解答题利用导数研究函数的单调性、切线、极值和最值138.7%201318解答题利用导数求切线方程、研究函数的性质138.7%四.知识结构映射映射定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性单调性定义域关于原点对称，在x＝0处有定义的奇函数→f(0)＝01、2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数.幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义导数函数基本初等函数的导数导数的概念导数的运算法则导数的应用换元法求解析式分段函数几何意义、物理意义单调性导数的正负与单调性的关系生活中的优化问题定积分与微积分定积分与图形的计算注意应用函数的单调性求值域周期为T的奇函数→f(T)＝f(eq\f(T,2))＝f(0)＝0复合函数的单调性：同增异减三次函数的性质、图象与应用一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换最值极值第一讲集合与常用逻辑用语一、主干知识梳理1．集合的基本概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念．2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且xA}．3．运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4．四种命题及其关系(1)命题的定义可以判断真假的语句叫做命题，可以写成“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论．(2)四种命题间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．5．充分条件与必要条件(1)充要条件：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件；(2)充要条件与集合：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.6．简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词“且”，“或”，“非”用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“p”．(2)命题p∧q，p∨q及p真假可以用下表来判定.pqp∧qp∨qp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真称量词与存在量词(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定p：∃x0∈M，p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定p：∀x∈M，p(x).二、重点题型分类题型一集合间的关系及运算问题例1已知集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且A⊆M⊆B，则满足上述条件的集合M有________个．解∵A⊆M，∴M中一定含有A的全部元素1,2，且至少含有一个不属于A的元素．又∵M⊆B，∴M中的元素除了含有A的元素1,2外，还有元素3,4,5中的1个、2个或3个．故求M的问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题，显然所求集合M有23－1＝7个．变式训练1已知集合A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}．(1)若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________；(2)若A∩B≠A，则实数a的取值范围是________；(3)若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．解析：A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，将集合A、B表示在数轴上(注：集合B表示的范围随着a值的变化而在移动)，如图所示，要注意的就是对于端点值的取舍．答案：(1){a|a＜4}(2){a|a≥－2}(3){a|a＜－2}题型二四种命题与充要条件例2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．

解析：

(1)原命题是真命题．

逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)原命题是真命题．

逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1.真命题．

否命题：若q＞1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．真命题．

逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q＞1.真命题变式训练2对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的 ()BA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型三“逻辑联结词”的应用问题例3下列命题是假命题的是________．(填序号)（4）（5）①命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1②若0<x<eq\f(π,2)，且xsinx<1，则xsin2x<1；③对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；④“x>2”是“eq\f(3,x＋1)－1≤0”的充要条件；⑤若p∧q为假命题，则p、q均为假命题．变式训练3分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．(1)5或7是30的约数；(2)菱形的对角线互相垂直平分；(3)8x－5＜2无自然数解．解(1)是“p或q”的形式．其中p：5是30的约数(真)；q：7是30的约数(假)．为真命题.(2)是“p且q”的形式.其中p：菱形的对角线互相垂直(真)；q：菱形的对角线互相平分(真)．为真命题.(3)是“非p”的形式．其中p：8x－5＜2有自然数解．如x＝0，则p为真命题.故“非p”为假命题．题型四含有量词的命题问题例4写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：对任意的正数x，>x－1；(2)q：三角形有且仅有一个外接圆；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°.解(1)p：存在正数x，≤x－1，真命题．(2)q：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆，假命题．(3)r：所有三角形的内角和小于或等于180°，真命题.变式训练4给出下列命题：①∀x∈R，x2＋2＞0；②∀x∈N，x4≥1；③∃x∈Z，x3＜1；④∃x∈Q，x2＝3.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解因为①中由∀x∈R，显然x2≥0，故x2＋2＞0，所以为真命题；②中令x＝0，易知x4＝0，故x4≥1不成立，为假命题；③中令x＝0，易知∃x∈Z，x3＜1成立，为真命题；④中由x∈Q得知使x2＝3成立的元素x不存在，为假命题．所以真命题的个数为2，故选B.三、规律方法总结（请同学自己完成）四、专题限时训练（一）选择题1.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A.方程y＝2x－1B.函数y＝2x－1图象上的所有点的纵坐标组成的集合C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合答案：D2.设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B＝()A.{x|x＞－2}B.{x|x＞－1}C.{x|－2＜x＜－1}D.{x|－1＜x＜2}解析：用数轴表示集合A和B，如图所示，则阴影部分就是A∪B，所以A∪B＝{x|x＞－2}．答案：A3.设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称．则下列判断正确的是 ()C A．p为真 B．q为假C．p∧q为假 D．p∨q为真4.与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A.若a∉M，则b∉MB.若b∉M，则a∈MC.若a∉M，则b∈MD.若b∈M，则a∉M解析：原命题与其逆否命题是等价的．答案：D5.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝36.若集合A＝{x|log4x≤eq\f(1,2)}，B＝{x||x＋1|≥2}，则(∁RA)∩B=（）A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－3]∪(2，＋∞)C．(－∞，－3)∪[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析由log4x≤eq\f(1,2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x≤4＝2))即0<x≤2，故A＝{x|0<x≤2}，由补集的定义，可知∁RA＝{x|x≤0或x>2}；由|x＋1|≥2，得x＋1≤－2或x＋1≥2，解得x≤－3或x≥1，所以B＝{x|x≤－3或x≥1}．所以(∁RA)∩B＝{x|x≤－3或x>2}．故选B.(－∞，－3]∪(2，＋∞)（二）填空题7.已知集合,集合,且,则__________,___________.-1,18.命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是“________________”，逆否命题是“______________________”．答案：若a＞0，则a＞1若a≤0，则a≤19.下列命题的否定表述正确的有________．①p：面积相等的三角形是全等三角形；p：面积相等的三角形不是全等三角形；②p：∀x∈R，x2－2x＋2≥1－x2；p：∃x∈R，x2－2x＋2≥1－x2；③p：∃x∈R，sinx>1；p：∀x∈R，sinx≤1.解析：①p应为：有些面积相等的三角形不是全等三角形；②p应为：∃x∈R，x2－2x＋2<1－x2.10.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为11.设全集U={x},集合A={x},B={x2+px+12=0},且（CUA）B={1，4，3，5}，则实数p=、q=.12.已知f(x)＝m(x－2m)·(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是.－4<m<－2专题一答案与提示第一讲例1变式1限时训练：第二讲函数的图象与性质一、主干知识梳理1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．3．函数的性质(1)单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立，则f(x)在D上是增函数(都有f(x1)>f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)．(2)奇偶性对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．(3)周期性周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：①当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)；②T是不为零的最小正数．(4)最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(最小值)．4．函数单调性的判定方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解．(2)导数法．(3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．5．函数奇偶性的判定方法(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)对于定义域内的任意一个x，若都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若都有f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数；若都有f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数．6．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数定义形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫指数函数形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数叫对数函数图象定义域R{x|x>0}值域{y|y>0}R过定点(0,1)(1,0)单调性0<a<1时，在R上单调递减；a>1时，在R上单调递增0<a<1时，在(0，＋∞)上单调递减；a>1时，在(0，＋∞)上单调递增函数值性质0<a<1，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>10<a<1，当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1a>1，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0二、重点题型分类题型一函数的图像及应用例1设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0，))其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．解：(1)∵当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.∴二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－eq\f(b,2)＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2，x≤0，,2，x>0.))(2)记方程①：2＝x＋a(x>0)，方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根⇒a<2，方程①没有实数根⇒a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不相同的非正实数根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝9－42－a>0,2－a≥0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－\f(1,4),a≤2))⇒－eq\f(1,4)<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有且仅有一个非正实数根．∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－eq\f(1,4).综上可知，当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不相同的实数根时，－eq\f(1,4)<a<2；当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a＝－eq\f(1,4)或a＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).变式训练1已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)．由f(x)为奇函数，得函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示．那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.答案：－8题型二函数的性质及应用例2已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．解(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．∵2x1<2x2，a>0⇒a(2x1－2x2)<0，3x1<3x2，b>0⇒b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，当a<0，b>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>－eq\f(a,2b)，则x>log1.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b)))；当a>0，b<0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x<－eq\f(a,2b)，则x<log1.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b))).变式训练2设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，则实数m的取值范围是________．提示：f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))题型三最值与恒成立问题例3．已知定义在区间[0,2]上的两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)＝x2－2ax＋4(a≥1)，g(x)＝eq\f(x2,x＋1).(1)求函数y＝f(x)的最小值m(a)；(2)若对任意x1，x2∈[0,2]，f(x2)>g(x1)恒成立，求a的取值范围．解(1)由f(x)＝x2－2ax＋4＝(x－a)2＋4－a2，得m(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a2，1≤a<2，,8－4a，a≥2.))(2)当x∈[0,2]时，g′(x)＝eq\f(x2＋2x,1＋x2)≥0.所以g(x)在区间[0,2]上单调递增，故g(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).由题设知f(x2)min>g(x1)max，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a<2，,4－a2>\f(4,3)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,8－4a>\f(4,3).))解得1≤a<eq\f(2\r(6),3).所以所求a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(6),3))).变式训练3已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立？f(x)＝－3x2－3x＋18.（1）[12,18];(2)c≤－2.OPAOPA例.（2010海淀期中，本小题共13分）已知函数，的图象经过和两点，如图所示，且函数的值域为.过动点作轴的垂线，垂足为，连接.（I）求函数的解析式；（Ⅱ）记的面积为，求的最大值.解：（I）由已知可得函数的对称轴为，顶点为..2分方法一：由得5分得6分方法二：设4分由，得5分6分（=2\*ROMANII）8分9分4＋0－极大值列表11分由上表可得时，三角形面积取得最大值.即.13分四、规律方法总结（请同学自己完成）五、专题限时训练（一）选择题1．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,lgx，x>1，))则f(f(10))＝ ()A．lg101 B．2 C．1 D．2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ()A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数3．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是 ()A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)4．(2012·课标全国)已知函数f(x)＝eq\f(1,lnx＋1－x)，则y＝f(x)的图象大致为 ()5．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\f(1,2)－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是 ()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)1．B2．D3．D4．B．C（二）填空题6.已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．解析：a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)>f(n)得m<n.答案：m<n7.设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.答案：－18.定义域为R的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lg|x－2||，x≠2，,1，x＝2，))则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有5个不同的实数根x1，x2，x3，x4，x5，求f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝________.解析：作出函数f(x)的图象可以得到x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝9.f(9)＝|lg7|＝lg7.答案：lg79.某同学在研究函数f(x)＝eq\f(x,1＋|x|)(x∈R)时，分别给出下面几个结论：①等式f(－x)＋f(x)＝0在x∈R时恒成立；②函数f(x)的值域为(－1,1)；③若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；④函数g(x)＝f(x)－x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)解析：①显然正确；由|f(x)|＝eq\f(|x|,1＋|x|)<eq\f(1＋|x|,1＋|x|)＝1知②正确；可以证明f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，故③正确；由f(x)－x＝0得eq\f(x,1＋|x|)＝x，此方程只有一根x＝0，故④不正确．答案：①②③10.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．解析：由题意f(x)＝x2＋ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋b－eq\f(a2,4).因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－eq\f(a2,4)＝0，即a2＝4b.因为x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋6＝－a，,mm＋6＝\f(a2,4)－c，))解得c＝9.（三）解答题11.函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．12.已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)设h(x)＝eq\f(fx,x)，若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x＋1，x<0，,x2－x＋1，x≥0.))作图(如右图所示)．(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.若a≠0，则f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2a)))2＋2a－eq\f(1,4a)－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝eq\f(1,2a).当a<0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a当0<eq\f(1,2a)<1，即a>eq\f(1,2)时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a当1≤eq\f(1,2a)≤2，即eq\f(1,4)≤a≤eq\f(1,2)时，g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))＝2a－eq\f(1,4a)－1.当eq\f(1,2a)>2，即0<a<eq\f(1,4)时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a综上可得g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a－3，a<\f(1,4)，,2a－\f(1,4a)－1，\f(1,4)≤a≤\f(1,2)，,3a－2，a>\f(1,2).))(3)当x∈[1,2]时，h(x)＝ax＋eq\f(2a－1,x)－1，在区间[1,2]上任取x1，x2，且x1<x2，则h(x2)－h(x1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(2a－1,x2)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax1＋\f(2a－1,x1)－1))＝(x2－x1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2a－1,x1x2)))＝(x2－x1)·eq\f(ax1x2－2a－1,x1x2).因为h(x)在区间[1,2]上是增函数，所以h(x2)－h(x1)>0.因为x2－x1>0，x1x2>0，所以ax1x2－(2a－1)>0，即ax1x2>2当a＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a＝0时结论成立．当a>0时，x1x2>eq\f(2a－1,a)，由1<x1x2<4得，eq\f(2a－1,a)≤1，解得0＜a≤1.当a<0时，x1x2<eq\f(2a－1,a)，由1<x1x2<4得，eq\f(2a－1,a)≥4，解得－eq\f(1,2)≤a＜0.所以实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).专题二答案与提示第一讲例1变式1限时训练：第三讲函数与方程及函数的应用一、主干知识梳理1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.二、重点题型分类题型一函数零点的确定例1函数f(x)＝3coseq\f(πx,2)－logx的零点的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：把求函数f(x)的零点的个数问题转化为求函数y＝3coseq\f(π,2)x的图象与函数y＝logx的图象的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图．函数y＝3coseq\f(π,2)x的最小正周期是4，当x＝8时，y＝log8＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f(x)＝3coseq\f(πx,2)－logx有5个零点．答案：D变式训练1在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A．(－eq\f(1,4)，0) B．(0，eq\f(1,4))C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(3,4))因为f′(x)＝ex＋4>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))<0，f(0)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))>0，由零点存在性定理知f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上存在一零点．故选C.题型二函数零点的应用问题例2已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．[解析]先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．根据绝对值的意义，y＝eq\f(|x2－1|,x－1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1（x>1或x<－1），,－x－1（－1≤x<1）.))在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．[答案](0，1)∪(1，4)变式训练2(2012年高考福建卷)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．【解析】根据新定义写出f(x)的解析式，数形结合求出m的取值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解．由定义可知，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x－1）x，x≤0，,－（x－1）x，x>0.))作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知，当0<m<eq\f(1,4)时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1<x2<x3，易知x2>0，且x2＋x3＝2×eq\f(1,2)＝1，∴x2x3<eq\f(1,4).令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x－1）x＝\f(1,4)，,x<0，))解得x＝eq\f(1－\r(3),4)或x＝eq\f(1＋\r(3),4)(舍去)．∴eq\f(1－\r(3),4)<x1<0，∴eq\f(1－\r(3),16)<x1x2x3<0.【答案】(eq\f(1－\r(3),16)，0)题型三函数模型及应用例3某种新型生产设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费)，购买该设备的总费用为50000元，使用中每年的固定保养费为6000元；前x年的总保养费y满足y＝ax2＋bx，已知第一年的总保养费为1000元，前两年的总保养费为3000元，则这种设备的最佳使用年限为________年．解析：由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1000＝a＋b,3000＝4a＋2b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝500,b＝500))，所以y＝500x2＋500x.设该设备的年平均消耗费用为f(x)，由题意，可知年平均消耗费用为f(x)＝eq\f(50000,x)＋6000＋500x＋500＝500x＋eq\f(50000,x)＋6500≥16500，当且仅当500x＝eq\f(50000,x)时，等号成立，此时x＝10，所以最佳使用年限为10年．答案：10变式训练3根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为(A,C为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是（）D A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16三、规范答题模板例4（2011海淀期中，本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量x的函数关系式已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.(17)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可得：…………2分因为时，，所以.……4分所以.……………5分（Ⅱ）当时，.…………6分.………8分由可得：（舍）.…………9分所以当时，原函数是增函数，当时，原函数是减函数.所以当时，取得最大值.………11分当时，.……12分所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元.………13分四、规律方法总结（请同学自己完成）五、专题限时训练（一）选择题1．函数f(x)＝2x－x－eq\r(2)的一个零点所在区间是 B ()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)2．函数f(x)＝lnx＋x－2的零点所在区间是 B ()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)3．函数f(x)＝3coseq\f(πx,2)－logeq\f(1,2)x的零点的个数是 D ()A．2 B．3C．4 D．54.(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是() B A．0 B．1 C．2 D．35.(2012年高考湖北卷)函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7[解析]根据x2的范围判断y＝cosx2在区间[0，4]上的零点个数．当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0，4]，所以0≤x2≤16.因为5π<16<eq\f(11π,2)，所以函数y＝cosx2在x2取eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)，eq\f(7π,2)，eq\f(9π,2)时为0，此时f(x)＝0，所以f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6.[答案]C（二）填空题6.函数f(x)对一切实数x都满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．eq\f(3,2)7．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．28.若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3).9.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．（0,1）10.如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是．②③（三）解答题11.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，求a的取值范围是．解析：因为原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解的问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，即a∈(－∞，2ln2－2]．答案：(－∞，2ln2－2]12.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋1－1≤x≤1，,－|x－2|＋11<x≤3，))若方程f(x)－ax＝0有5个实根，求正实数a的取值范围。 由题意知f(x)是以4为周期的周期函数，作出y＝f(x)与y＝ax的图象，为使方程f(x)＝ax有五个实数解，由图，可知方程y＝－(x－4)2＋1＝ax，即x2＋(a－8)x＋15＝0在(3,5)上有两个实数解，则0<a<8－2eq\r(15)，再由方程f(x)＝ax在(5,6)内无解，得6a>1，即a>eq\f(1,6)，故实数a的取值范围是eq\f(1,6)<a<8－2eq\r(15).专题三答案与提示第一讲例1变式1限时训练：第四讲不等式及线性规划一、主干知识梳理1．不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c.(4)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc.a>b，c<0⇒ac<bc.(5)同向不等式可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．2.一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2没有实数根不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x∈R且R不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅3.几个重要不等式(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．(2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)．(3)eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)．(4)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．(5)eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)(a>0，b>0)．4.不等式的证明基础(1)不等式定义：a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a<b.(2)不等式的基本性质．(3)基本不等式①a2≥0，(a－b)2≥0，|a|≥0.②基本不等式：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)．③几个常用不等式：a＋eq\f(1,a)≥2(a>0，当a＝1时等号成立)；2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．5.二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等；(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值.二、重点题型分类题型一一元二次不等式的解法例1已知二次方程的两个根是－2，3，(a>0)，那么的解集是（）BA．B．C．D．变式训练1已知f(x）＝（）()＋2，且是、方程f()＝0的两根，则的大小关系是（）BA．a＜＜b＜B．a＜＜＜bC．＜a＜b＜D．＜a＜＜b题型二利用基本不等式求最值例2函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为______．4变式训练2若正数满足，则的取值范围是[9,+∞）题型三简单线性规划问题例3(2012·福建)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为 ()BA.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2)D．2由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件变式训练3设P(x,y)满足条件，则(一)截距型目标函数(1)z=2y-x的最大值是，最小值是(2)z=x-2y的最大值是，最小值是(二)距离型目标函数（3）点M(2,-1),则|PM|的最大值是，最小值是变式：1)x2+y2-4x+2y+5的最大值是，最小值是2)z=|x+2y+2|的最大值是，最小值是(三)斜率型目标函数（4）的最大值是，最小值是变式：的最大值是，最小值是三、规律方法总结（请同学自己完成）四、专题限时训练（一）选择题1.如果那么下列不等式正确的是（）A；A．B.C.D.2.若则下列不等式中，不成立的是（）2、BA.B.C.D.3.若则“”是“”成立的（）条件3、BA.必要B.充分C.充要D.既不充分也不必要4.若，则下列不等式中不能成立的是（）BA． B． C． D．5.已知且，则的最大值是（）AA．4 B．2 C．1 D．（二）填空题6.不等式lg(x2+2x+2)＜1的解集为__________{x|－4＜x＜2}7.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x≤0))，那么不等式f(x)≥1的解集为________．7．(－∞，0]∪[3，＋∞)8.已知实数x、y满足，则x+2y的最大值是49.已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，n＝x－2(x≥eq\f(1,2))，则m与n之间的大小关系为 m≥n10.已知平面区域D是由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形的内部和边界组成，若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=1（三）解答题11.解关于的不等式11.当时，当时，当时，当时，当时，12.已知二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集为A.(1)求集合A；(2)设集合B＝{x||x＋4|<a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．12．解(1)二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，所以，a>0，由f(x)<0，解得A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，0)).(2)解得B＝(－a－4，a－4)，因为集合B是集合A的子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≤－a－4，,a－4≤0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－\r(5)≤a≤－2＋\r(5)，,a≤4，))解得0<a≤－2＋eq\r(5).第五讲导数及其应用一、主干知识梳理1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．2．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y＝x＋sinx.3．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y＝|x|在x＝0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件．4．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．5．定积分与曲边形面积(1)曲边为y＝f(x)的曲边梯形的面积：在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f(x)，和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝ʃeq\o\al(b,a)|f(x)|dx.当f(x)≥0时，S＝ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx；当f(x)<0时，S＝－ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx.(2)曲边为y＝f(x)，y＝g(x)的曲边梯形的面积：在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，y＝g(x)，和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝ʃeq\o\al(b,a)|f(x)－g(x)|dx.当f(x)≥g(x)时，S＝ʃeq\o\al(b,a)[f(x)－g(x)]dx；当f(x)<g(x)时，S＝ʃeq\o\al(b,a)[g(x)－f(x)]dx.二、重点题型分类题型一导数的概念与几何意义例1设函数f(x)＝aex＋eq\f(1,aex)＋b(a>0)．在点(2，f(2))处的切线方程为y＝eq\f(3,2)x，求a，b的值．[解析]∵f′(x)＝aex－eq\f(1,aex)，∴f′(2)＝ae2－eq\f(1,ae2)＝eq\f(3,2)，解得ae2＝2或ae2＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以a＝eq\f(2,e2)，代入原函数可得2＋eq\f(1,2)＋b＝3，即b＝eq\f(1,2)，故a＝eq\f(2,e2)，b＝eq\f(1,2).变式训练1已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．（1）4x－y－4＝0.（2）4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.题型二利用导数研究函数的单调性例2已知函数为自然对数的底数.求函数的单调区间.解：(i)当时，令若上单调递增；若上单调递减.(ii)当a<0时，令若上单调递减；若上单调递增；若上单调递减.变式训练2已知函数（）.（1）当时，求曲线在点（1，）处的切线方程；（2）求的单调区间.（1）当时，，由于，所以曲线在点处的切线方程为即（2），当时，所以，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是当时，由得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故的单调递增区间是当时，由得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.题型三利用导数研究函数的极值与最值例3(1)已知函数为自然对数的底数.求函数在区间[0，1]上的最