2024-2025学年度北师版九上数学1.1菱形的性质与判定(第二课时)【课外培优课件】

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定(第二课时)

1.（2023·达州）下列命题中，是真命题的是（

C

）A.平行四边形是轴对称图形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分

线上D.在△

ABC

中，若∠

A

∶∠

B

∶∠

C

＝3∶4∶5，则△

ABC

是直

角三角形C2.如图，将△

ABC

沿射线

BC

向右平移得到△

DCE

，连接

AD

，

下列条件能够判定四边形

ABCD

为菱形的是（

A

）A.

AB

＝

BC

B.

AC

＝

BC

C.∠

B

＝60°D.∠

ACB

＝60°（第2题图）A3.如图，在△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，

DE

∥

AC

交

AB

于点

E

，

DF

∥

AB

交

AC

于点

F

.

若

AF

＝6，则四边形

AEDF

的周长是

（

A

）A.24B.28C.32D.36（第3题图）A4.如图，已知▱

ABCD

的对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，添加一

个条件，使▱

ABCD

成为菱形，则添加的条件是

⁠

（写出符合要求的一个即可）.AC

⊥

BD

（答案不唯一）

（第5题图）菱形

6.如图，将等边三角形

ABC

沿射线

BC

向右平移到△

DCE

的位

置，连接

AD

，

BD

，则下列结论：①

AD

＝

BC

；②

BD

，

AC

互

相平分；③四边形

ACED

是菱形.其中正确的结论有

⁠

（填序号）.（第6题图）①②③

7.如图，在四边形

ABCD

中，已知

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

＝

BC

.

求证：四边形

ABCD

是菱形.证明：∵

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

，∴四边形

ABCD

是平行四边形.又∵

CD

＝

BC

，∴▱

ABCD

是菱形.8.（2023·沈阳）如图，在△

ABC

中，已知

AB

＝

AC

，

AD

是

BC

边上的中线，点

E

在

DA

的延长线上，连接

BE

，过点

C

作

CF

∥

BE

交

AD

的延长线于点

F

，连接

BF

，

CE

，求证：四边形

BFCE

是菱形.

9.（2023·聊城）如图，在▱

ABCD

中，

BC

的垂直平分线

EO

交

AD

于点

E

，交

BC

于点

O

，连接

BE

，

CE

，过点

C

作

CF

∥

BE

，

交

EO

的延长线于点

F

，连接

BF

.

若

AD

＝8，

CE

＝5，则四边形

BFCE

的面积为

⁠.（第9题图）24

10.如图，在四边形

ABCD

中，

AC

＝

BD

＝6，点

E

，

F

，

G

，

H

分别是

AB

，

BC

，

CD

，

DA

的中点，连接

EF

，

FG

，

GH

，

EH

，

EG

，

HF

，且

EG

，

HF

交于点

O

，则

EG2＋

FH2＝

⁠.（第10题图）36

11.如图，在四边形

ABCD

中，已知

AB

∥

DC

，

AB

＝

AD

，对角

线

AC

，

BD

相交于点

O

，

AC

平分∠

BAD

.

过点

C

作

CE

⊥

AB

，

交

AB

的延长线于点

E

.

（1）求证：四边形

ABCD

是菱形；（1）证明：∵

AB

∥

CD

，∴∠

OAB

＝∠

DCA

.

∵

AC

为∠

DAB

的平分线，∴∠

OAB

＝∠

DAC

.

∴∠

DCA

＝∠

DAC

.

∴

CD

＝

AD

.

又∵

AB

＝

AD

，∴

AB

＝

CD

.

又∵

AB

∥

CD

，∴四边形

ABCD

是平行四边形.又∵

AB

＝

AD

，∴▱

ABCD

是菱形.

12.如图，在▱

ABCD

中，已知对角线

AC

与

BD

相交于点

O

，点

E

，

F

分别在

BD

和

DB

的延长线上，且

DE

＝

BF

，连接

AE

，

AF

，

CE

，

CF

.

（1）求证：

AE

＝

CF

.

（1）证明：∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AD

＝

BC

，

AD

∥

BC

.

∴∠

ADB

＝∠

CBD

.

∴∠

ADE

＝∠

CBF

.

（2）当

BD

平分∠

ABC

时，四边形

AFCE

是什么特殊的四边

形？请说明理由.（2）解：当

BD

平分∠

ABC

时，四边形

AFCE

是菱形.理由

如下：∵

BD

平分∠

ABC

，∴∠

ABD

＝∠

CBD

.

∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

，

AD

∥

BC

.

∴∠

ADB

＝∠

CBD

.

∴∠

ABD

＝∠

ADB

.

∴

AB

＝

AD

.

∴▱

ABCD

是菱形.∴

AC

⊥

BD

，即

AC

⊥

EF

.

∵

DE

＝

BF

，∴

OE

＝

OF

.

又∵

OA

＝

OC

，∴四边形

AFCE

是平行四边形.又∵

AC

⊥

EF

，∴▱

AFCE

是菱形.

13.（选做）（2022·福建）已知△

ABC

≌△

DEC

，

AB

＝

AC

，

AB

＞

BC

.

（1）如图1，若

CB

平分∠

ACD

，求证：四边形

ABDC

是菱形；（1）证明：∵△

ABC

≌△

DEC

，∴

AC

＝

DC

.

∵

AB

＝

AC

，∴

AB

＝

DC

，∠

ABC

＝∠

ACB

.

∵

CB

平分∠

ACD

，∴∠

ACB

＝∠

DCB

.

∴∠

ABC

＝∠

DCB

.

∴

AB

∥

CD

.

又∵

AB

＝

DC

，∴四边形

ABDC

是平行四边形.又∵

AB

＝

AC

，∴▱

ABDC

是菱形.（2）如图2，将（1）中的△

CDE

绕点

C

按逆时针方向旋转（旋

转角小于∠

BAC

），

BC

，

DE

的延长线相交于点

F

，用等式表

示∠

ACE

与∠

EFC

之间的数量关系，并证明；（2）解：∠

ACE

＋∠

EFC

＝180°.证明如下：∵△

ABC

≌△

DEC

，∴∠

ABC

＝∠

DEC

.

∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

.

∴∠

ACB

＝∠

DEC

.

∵∠

ACB

＋∠

ACF

＝∠

DEC

＋∠

CEF

＝180°，∴∠

ACF

＝∠

CEF

.

∵∠

CEF

＋∠

ECF

＋∠

EFC

＝180°，∴∠

ACF

＋∠

ECF

＋∠

EFC

＝180°.∴∠

ACE

＋∠

EFC

＝180°.（3）如图3，将（1）中的△

CDE

绕点

C

按顺时针方向旋转（旋

转角小于∠

ABC

），若∠

BAD

＝∠

BCD

，求∠

ADB

的度数.（3）解：如图，在

AD

上取一点

M

，使得

AM

＝

CB

，连接

BM

.

由（1）可知，

AB

＝

CD

.

又∵∠

BAM

＝∠

DCB

，

AM

＝

CB

，∴△

ABM

≌△

CDB

（SAS）.∴

BM

＝

DB

，∠

MBA

＝∠

BDC

.

∴∠

ADB

＝∠

BMD

.

∵∠

BMD

＝∠

BAD

＋∠

MBA

，∴∠

ADB

＝∠

BCD

＋∠

BDC

.

设∠