第04讲 全等三角形的判定与性质（8大知识点+18大典例+变式训练+随堂检测）人教版2024年暑假七升八《数学》衔接讲义（解析版）

第第页第04讲全等三角形的判定与性质（8大知识点+18大典例+变式训练+随堂检测）题型一图形的全等题型二全等三角形的概念题型三全等三角形的性质题型四用SSS证明三角形全等(SSS)题型五用SSS间接证明三角形全等(SSS)题型六用SAS证明三角形全等(SAS)题型七用SAS间接证明三角形全等(SAS)题型八尺规作一个角等于已知角题型九尺规作图--作三角形题型十用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)题型十一用HL证全等(HL)题型十二添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)题型十三灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)题型十四结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)题型十五倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)题型十六旋转模型(全等三角形的辅助线问题)题型十七垂线模型(全等三角形的辅助线问题)题型十八全等三角形综合问题知识点01全等图形（1）全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；（3）三角形全等的符号。“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．知识点02全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．知识点03全等三角形的判定1：边边边（SSS）文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形：符号：在与中，证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.用尺规作一个角等于已知角:已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．知识点04全等三角形的判定2：边角边（SAS）文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在与中，“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．知识点05全等三角形的判定3：角边角（ASA）文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在与中，1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．2.全等三角形对应边上的高也相等.知识点06全等三角形的判定4：角角边（AAS）文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在与中，1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．2.全等三角形对应边上的高也相等.知识点07直角三角形全等的判定：HL文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）图形：符号：在Rt与Rt中，方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）知识点08等三角形的常见辅助线的作法1）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．2)旋转法，将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。旋转需要特定条件（两个图形的短边共线）。这种作法和截长补短类似，适合证明线段的和、差、倍、分等类的题目．常见于半角模型中。3)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．4）过端点作另一边的平行线：其目的是构造出一组全等三角形；特点：中线倍长的反向应用5）向中线作垂线法：过线段两端点向中点处的线段作垂线；目的是构造出一组全等三角形【典型例题一图形的全等】1．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）下列几组图形中是全等形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了全等形，根据全等形的定义即可求解，熟练掌握“能够完全重合的图形叫作全等图形”是解题的关键．【详解】解：根据全等形的定义得：C选项是全等形，故选C．2．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各组图形中，是全等图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查全等图形，熟记全等图形的定义：大小和形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的关键．根据全等图形的定义进行判断即可．【详解】解：A.大小不同，不是全等图形，不符合题意；B.大小不同，不是全等图形，不符合题意；C.是全等图形，符合题意；

D.大小不同，不是全等图形，不符合题意；故选：C．3．（22-23七年级下·四川达州·开学考试）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，则AF=．【答案】6【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质求解即可．【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6．故答案为：6．【点睛】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找准相互重合的对应边．4．（2023九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝．【答案】【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为360º得到．【详解】解：根据题意得：所以,故答案为：【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下面各对图形是不是全等图形？为什么？(1)边长都是的两个正方形．(2)如图所示的两件衣服．【答案】(1)是全等图形；(2)不是全等图形【分析】（1）根据全等图形的定义，即可判断；（2）根据全等图形的定义，即可判断．【详解】（1）解：边长都是的两个正方形能完全重合，是全等图形；（2）解：如图的两件衣服，大小不一样，不能完全重合，不是全等图形．【点睛】本题主要考查全等图形的定义，掌握“能够完全重合的图形叫做全等图形”是关键．6．（2023八年级上·全国·专题练习）将网格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．【答案】见解析【分析】根据全等的性质可进行求解．【详解】如图所示，（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．【典型例题二全等三角形的概念】1．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（

）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误；面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误；两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误．长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确；故选D．2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键．【详解】∵，∴∠的对应角是，故选：．3．（23-24八年级上·新疆和田·阶段练习）和全等，记作．【答案】【分析】根据全等符号：，进行作答即可．【详解】解：和全等，记作，故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是对全等三角形概念的认识，解答的关键是知道全等符号的写法：，本题属于基础题型，要求学生能够熟练掌握各数学符号．4．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，与全等，可表示为，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是，其余的对应边是．【答案】与，与AB与BA，BC与AD【分析】由，结合图形可得其余的对应角与对应边．【详解】解：，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是与，与；其余的对应边是AB与BA，BC与AD．故答案为：，与，与，AB与BA，BC与AD【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键．5．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，若，与是对应角，与是对应边，写出其他的对应边及对应角．【答案】与是对应边，与是对应边，与是对应角，与是对应角．【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断．【详解】解：因为，所以与是对应边，与是对应边，与是对应角，与是对应角．【点睛】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对应边和对应角的定义是解题关键．6．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．

①的对应角为（

）；②的对应角为（

）；③的对应角为（

）；④的对应边为（

）；⑤的对应边为（

）．【答案】，，，，【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案．【详解】解：∵，∴①的对应角为；②的对应角为；③的对应角为；④的对应边为；⑤的对应边为；故答案为：，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键．【典型例题三全等三角形的性质】1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若，，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，故选：A．2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，，若，则（

）A． B． C． D．5°【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得，即可求解．【详解】解：∵，∴∵∴故选：D3．（2023·湖南邵阳·三模）如图，若≌，且，则．【答案】【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，即可．【详解】∵，∴，∵，∴．故答案为：．4．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，若，，则；【答案】7【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，∴，故答案为：7．5．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知．如果，，求的长．【答案】5【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，再由已知条件，利用，即可求得的长，解题关键是掌握全等三角形的性质．【详解】解：，，又，，．6．（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，已知，点C、F在上，，．求的长．

【答案】【分析】根据全等三角形的对应边相等解题即可．【详解】解：∵，∴，又∵，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，观察图形，要找出已知与未知线段之间的关系是解题的关键．【典型例题四用SSS证明三角形全等(SSS)】1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，中，，，直接使用“”可判定（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴，根据现有条件无法直接利用判定，，，故选：C．2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，这样可以证明．其依据是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴，故选：A．3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，．则可推出全等．【答案】和(答案不唯一)【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握利用“”判定三角形全等即可作答．【详解】证明：在和中∵，∴，故答案为：和．4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有个．

【答案】3/三【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．【详解】解：如图，

图中与全等的格点三角形是，共3个，故答案为：35．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，．求证：．

【答案】证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，由推导出，即可由全等三角形判定定理证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】证：∵，∴，∴，又∵，∴．6．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，．求证：．【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．直接利用“”证明全等即可．【详解】证明：和中，，

，

．【典型例题五用SSS间接证明三角形全等(SSS)】1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答．【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等，，，，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．2．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解．【详解】，,，，，．故选：A．3．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是．【答案】（答案不唯一）【分析】在与中，已经有条件：所以补充可以利用证明两个三角形全等.【详解】解：在与中，所以补充：故答案为：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.4．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是．【答案】SSS【分析】等边三角形三边相等，按全等三角形的判定定理（SSS）即可作图．【详解】解：：等边三角形三边相等，依题意得使其边长等于已知线段，则按全等三角形的判定定理（SSS）可得作图．【点睛】此题考查作图和等边三角形全等的判定，解题关键在于利用全等三角形的判定定理作图5．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN.【答案】见解析．【分析】根据AC＝BD，可得到AB＝CD，结合AM＝CN，BM＝DN，证明出△ABM≌△CDN，得到∠MBA＝∠D，进而证明出BM∥DN．【详解】证明：∵AC＝BD，∴AC＋BC＝BD＋BC，即AB＝CD，∵在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（SSS），∴∠MBA＝∠D，∴BM∥DN．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，此题难度一般．6．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，C是的中点，，．求证：．【答案】证明详见解析．【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用证明两个三角形全等即可，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．【详解】证明：∵C是的中点，∴在和中，，∴．【典型例题六用SAS证明三角形全等(SAS)】1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）下面不是全等三角形判定的基本事实的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是全等三角形的判定方法的掌握，熟练两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等是解本题的关键．【详解】解：∵不能判定两个三角形全等，而，，可以判定两个三角形全等；故选A2．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，已知，，那么判定的依据是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定．根据，证明三角形全等即可．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴；故选C．3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，．若要直接根据“SAS”说明，需添加的条件是．【答案】【解析】略4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据（用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．

【答案】（或边角边）【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等．【详解】由题意知，，在和中，，．故答案为：．5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：．【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解决问题的关键本题直接使用证明即可．【详解】证明：∵为的中点，∴，∵，，∴，∴．6．（23-24七年级上·山东东营·期中）如图，在与中，，与全等吗？说明理由．

【答案】与全等，理由见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两边及夹角对应相等的两个三角形全等．【详解】解：与全等，理由如下：在和中，，∴．【典型例题七用SAS间接证明三角形全等(SAS)】1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE【答案】C【分析】证出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出结论．【详解】解：补充BE＝CF，理由如下：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求，若A：AC=DF，构成的是SSA，不能证明三角形全等，A选项不符合要求，C选项：BE=CF，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故选：C．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知“SAS”的判定的特点．2．（22-23八年级上·云南保山·期中）如图，AB∥DC，AB=DC，要使△ABD≌△CDB，直接利用三角形全等的判定方法是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【答案】B【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠ABD=∠CDB，再加上AB=DC，BD=BD，根据全等三角形的判定定理SAS即可推出△ABD≌△CDB．【详解】∵AB∥DC，∴∠ABD=∠CDB．在△ABD和△CDB中，∵，∴△ABD≌△CDB（SAS）．故选B．【点睛】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．（2023·湖南长沙·中考真题）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=【答案】6.【分析】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．4．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是．

【答案】/边角边【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键．【详解】解：，，在和中，，，故答案为：．5．（22-23七年级下·山东济南·期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．

【答案】见解析【分析】由得到，根据可得，又由，根据即可证明．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，根据题意找到证明全等需要的条件是解题的关键．6．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上），并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长．【答案】米【分析】可以利用定理证明，根据全等三角形的性质可得解题即可．【详解】∵为中点,∴,在和中,，∴,∴米,答：池塘的长为米．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.【典型例题八尺规作一个角等于已知角】1．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（

）A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧C．以点G为圆心，为半径的弧 D．以点G为圆心，为半径的弧【答案】D【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，根据利用边边边判定原理作等角判断即可得到答案；【详解】解：由图可得，∵用尺规作出了，∴弧是以点G为圆心，为半径的弧，故选：D．2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容，下列回答不正确的是（

）如图，已知，求作：，使．作法：①以☆为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；②作射线；并以点为圆心，○为半径画弧交于点；③以点为圆心，□长为半径画弧交前弧于点；④作△，则即为所求作的角．A．☆表示点 B．○表示任意长 C．□表示 D．△表示射线【答案】B【分析】根据作一个角等于已知角的步骤进行解答即可.此题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握作图步骤是解题的关键.【详解】解：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；②作射线；并以点为圆心，长为半径画弧交于点；③以点为圆心，长为半径画弧交前弧于点；④作射线，则即为所求作的角．由作图可知，☆表示点，○表示长，□表示，△表示射线，故选项B不正确，故选：B3．（23-24八年级上·河南周口·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角时，依据判定三角形全等的基本事实是．【答案】边边边或【分析】本题主要考查了尺规作图和三角形全等的判定，根据尺规作图的过程判断三角形全等即可得出答案，解答本题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定条件．【详解】解：如图，以点为圆心，任意长为半径画弧与已知角两边分别交于与；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以长为半径交于点，连接．由作图可知，∴．故答案为：边边边或．4．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为．【答案】/35度【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，利用作图得到，利用角的和差关系即可得出答案．【详解】解：由作图可知：，∵，，∴，故答案为：．5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：四边形，在上求作一点，使（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．【详解】如图，点即为所作．6．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，用直尺和圆规在射线的右侧作，使得．（不写作法，只需保留作图痕迹）

【答案】见解析【分析】本题考查画一个角等于已知角．根据题意利用画已知角的方法即可作出图形．【详解】解：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于两点，再以点为圆心，同样的长为半径作弧，交于，再以点为圆心长为半径作弧，两弧相交点即为，连接，即，画图如下：

．【典型例题九尺规作图--作三角形】1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件为（

）A．已知两角及夹边 B．已知三边C．已知两边及夹角 D．已知两边及一边夹角【答案】A【分析】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识，观察的作图痕迹，可得此作图的条件．【详解】解：观察的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：，，及线段，故已知条件为：两角及夹边，故A正确．故选：A．2．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，．以下是排乱的作图步骤：正确作图步骤的顺序是（

）A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③【答案】B【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可．【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接，则正确作图步骤的顺序是①③②④，故选：B．3．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知线段a，b，c，求作，使．①以点B为圆心，c的长为半径画弧；②连接；③作；④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A．作法的合理顺序是．【答案】③①④②【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可．【详解】解：先作，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A，然后连接，则即为所求．故答案为：③①④②．【点睛】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．（22-23七年级上·河南濮阳·期中）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为．（填序号）【答案】②①③【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．【详解】解：先作线段BC＝a，再分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．故答案为：②①③．【点睛】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力．5．（2023七年级下·上海·专题练习）画，，．【答案】见解析【分析】根据尺规作三角形的方法求解即可．【详解】如图所示，解：作，作射线，使，以为圆心，为半径作弧交射线于点，连接，所以即为所求．【点睛】本题考查了作三角形，掌握全等三角形的性质与判定以及基本作图是解题的关键．6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）已知：，，线段，如图所示．求作：，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】图见解析【分析】考查考查尺规作三角形．根据尺规作线段和作角的方法，作图即可．掌握尺规基本作图是解题的关键．【详解】解：如图所示，即为所求．【典型例题十用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】1．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了利用证明三角形全等的理解，观察图形可得三角形的两角及其夹边，选择答案即可，理解利用证明三角形全等是解题的关键．【详解】解：∵由图可得三角形的两角及其夹边，∴依据可画出全等的三角形，故选：D．2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（

）A．SAS或SSS B．AAS或SSSC．ASA或AAS D．ASA或SAS【答案】C【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法求解即可．【详解】根据题意可知．∵，∴，．方法一：在和中∴．方法二：在和中∴．故选：C3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加的条件是．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理可直接得出答案．【详解】解：添加的条件，在与中，，．故答案为：．4．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是．【答案】【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定．【详解】解：，，两根高度相同的木杆竖直插在地面上，∴，，在和中，，∴．故答案为：．5．（2024·云南昭通·一模）如图，，求证：．【答案】详见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明．【详解】证明：，，即．在和中，，∴．6．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，如果，，，那么成立吗?请说明理由．【答案】详见解析【分析】本题考查全等三角形的判定，由可得，然后利用证明是解题的关键．【详解】解：成立，理由如下：，，即在和中，【典型例题十一用HL证全等(HL)】1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据已知公共边为，根据只要找到对应的直角边或，即可求解．【详解】在与中，∴，故选：B．2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，利用证明直角三角形全等是解题的关键．【详解】解：∵过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，∴，又∵（公共边），（已知），∴，∴为了证明，运用到的全等三角形判定定理是，故选：D．3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是．（填或或）【答案】【分析】利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案；【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴是的平分线；故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键4．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将和如图所示放置，已知，若利用“”证明，则需要添加的条件是．【答案】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．用“”判定，只需要满足一条直角边对应线段，斜边对应相等即可．【详解】解：添加的条件是：．∵，∴在和中，，∴．故答案为：．5．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．【答案】证明见解析【分析】由题意可知和都为直角三角形，即可直接利用“HL”证明．【详解】证明：∵AD是的高，∴，即和都为直角三角形．∴在和中，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定；掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．6．（22-23八年级上·四川资阳·期中）如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．

【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定定理：在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等直接证明结论即可．【详解】证明：∵∠B＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△ADC中∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理，熟记判定两个直角三角形全等的判定定理是解此题的关键．【典型例题十二添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)】1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，，下列条件中不能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．【详解】解：添加条件，结合，可以利用证明，故A不符合题意；添加条件，结合，不可以利用证明，故B符合题意；添加条件，结合，可以利用证明，故C不符合题意；添加条件，结合，可以利用证明，故D不符合题意；故选：B．2．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，．由全等三角形的判定，即可判断．【详解】解：A、，又，，由判定，故此选项不符合题意；B、，又，，由判定，故此选项不符合题意；C、，又，，由判定，故此选项不符合题意；D、，又，，两组对应边及其中一组对应边的对角对应相等不能判定三角形全等，故此选项符合题意．故选：D．3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是．（写出一个即可）【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意可知已有一组对应角和一组对应边相等，再确定一组对应角相等即可判定．【详解】解：∵B是中点，∴，∵，∴当时，依据可得，，故答案为：（答案不唯一）4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点在同一条直线上，，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了全等三角形的判断，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，已知两组边相等，再添加一个角相等，或者一条边相等即可求解．【详解】解：∵∴，∴，添加，∵，，，∴．添加，∵，，，∴．故答案为：（答案不唯一）．5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，，请你添加一个条件，使得，并给予证明．

【答案】添加一个条件：；证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的方法有：、、、、．【详解】添加一个条件：；证明：，，，，≌()，．6．（2023·湖北黄石·一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由．你添加的条件是【答案】AB＝AC或BD＝DC等，详见解析【分析】因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ADC=90°，即AD是BC边上的高，可添加AB=AC，当AB=AC时，△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，∠ABD=∠ACD及底边上的高与底边上的中线重合，即BD=CD，可根据“SSS”，“H.L”，“SAS”，“AAS”，“ASA”证明△ABD≌△ACD.【详解】解：本题答案不唯一，添加的条件可以是①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或D是BC中点），④∠BAD＝∠CAD（或AD平分∠BAC）等．添加的条件是AB＝AC理由如下：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(H.L)即△ABD≌△ACD.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定.答案不唯一，利用了直径所对的圆周角是直角和全等三角形的判定求解.【典型例题十三灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)】1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）我们在探索两个三角形有三组对应相等的元素是否全等时，我们按照“三边对应相等，两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（

）A．化归思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．建模思想【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据“分类讨论思想”回答即可．【详解】解：在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是“分类思想”，故选：B．2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）根据图中四个三角形所给的条件，可以判定两个三角形全等的有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查两个三角形全等的判定方法，熟练掌握两个三角形全等的判定方法是解题的关键．根据两个三角形全等的判定方法判断即可．【详解】解：由三角形内角和定理可得图的三角形的第三个角为，图和图的三角形有一条边和两个角相等，根据即可判定图和图的两个三角形全等．故选C．3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在方格纸中，以为一边作（点P不与点A重合），使之与全等，则这样的点P有个．

【答案】3【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定定理找出各个点即可．【详解】解：如图所示，使与全等的点共3个．

故答案为：3．4．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，如果，，那么图中一共有对全等的三角形．【答案】4【分析】本题考查的是全等三角形的判定，根据已知条件得到图中全等的三角形即可．【详解】解：①，∵，，，∴；②，∵，，，∴；③，∵，，∴，，∵，∴；④∵，，∵，∴，因此，图中一共有4对全等的三角形，故答案为：4．5．（22-23八年级·全国·课后作业）如图，相交于点，你能找出两对全等的三角形吗？你能说明其中的道理吗？【答案】四对全等的三角形,分别为【分析】有四对全等的三角形：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABC≌△CDA，△ADB≌△CBD．可以利用AAS，SAS，SAS，SAS分别证明其全等．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证．【详解】四对全等的三角形,分别为理由分别是：的理由：∴（ASA）;的理由:∵，∴，DO＝BO即,∴(SAS);的理由：即,∴(SAS)的理由:即,∴(SAS).【点睛】考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．（2023·北京朝阳·三模）如图，在中，C，D是边上的两点，有下面四个关系式：（1），（2），（3），（4）请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明．已知：求证：证明：【答案】见解析【分析】已知：，求证：；由“”可证，即可证明结论成立．也可以（1）（3）⇒（2）（4）或（2）（3）⇒（1）（4）或（1）（4）⇒（2）（3）或（3）（4）⇒（1）（2）．证明方法类似．【详解】①已知：，求证：，证明：∵，∴，∵，∴，∴；②已知：，，求证：，，∵，，∴，，∴，∴，∴，；③已知：，，求证：，，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，；④已知：，，求证：，，∵，∴，∵，，，∴，∴，；⑤已知：，，求证：，，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，．【点睛】本题考查证明的概念，根据题意写出已知、求证、证明过程，在证明时需要用到全等三角形的性质与判定，答案不唯一．【典型例题十四结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)】1．（2023八年级·全国·专题练习）下列各条件中，画出的三角形不只有一个的是（

）A．已知两边和夹角 B．已知两边和其中一边的对角C．已知两角和夹边 D．已知三边【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．看是否符合所学的全等的公理或定理即可．【详解】解：A、符合全等三角形的判定，能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；B、已知两边和其中一边的对角，不能作出唯一三角形，故本选项符合题意；C、符合的判定条件，画出的三角形是唯一的，故本选项不符合题意；D、符合的判定条件，画出的三角形是唯一的．故本选项不符合题意；故选：B．2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作．作法；（1）作线段；（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．故选C．3．（22-23八年级下·浙江·期末）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是．【答案】SSS【分析】根据SSS判断三角形全等即可．【详解】解：如图，连接PM，MQ．由作图可得：∵OP=OQ，PM=QM，OM=OM，∴△POM≌△QOM（SSS），∴∠POM=∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线．故答案为SSS．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．4．（22-23八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，1），点B的坐标为（3，-1），要使△ACD与△ACB全等，那么符合条件的点D有个．【答案】3【分析】根据全等三角形的判定方法结合坐标系得出符合题意的图形．【详解】解：如图所示：要使△ACD与△ACB全等，那么符合条件的点D有3个．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了全等三角形判定以及坐标与图形的性质，熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键．5．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）

【答案】见解析【分析】利用证明，可得结论．【详解】解：①利用刻度尺在、上分别截取，②连接，利用刻度尺作出的中点F，③作射线，由作图可知：，，，∴，∴，则为的平分线．

【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答．6．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．要求：(1)三角形的三个顶点都在格点上．(2)与全等，且位置不同．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可；（2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可．【详解】（1）如图，即为所求（2）如图，即为所求【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【典型例题十五倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】1．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14-5=9，∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（

）①；②；③；④；⑤．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】作，证、即可求解．【详解】解：作，如图：

∵∵，①无法推出，故①错误；②正确；③∵且∴故③正确；④∵为中线∴故④正确；⑤故⑤正确；故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键．3．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是．【答案】【分析】此题重点考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，作，使，，中线，延长到点E，使，连接，证明，得，由，得，解不等式求出它的解集即可．正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【详解】解：作，使，，中线，延长到点E，使，连接，如图，∴，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，解得，∴第三边上中线长x的取值范围是，故答案为：．4（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，，是的中点，的取值范围为．【答案】【分析】延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论．【详解】解：如图，延长到，使，连接，是的中点，，在与中，，，，，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．5．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论．【详解】解：如图，延长到，使，连接，∵是的中线，，在与中，，，，，，即，．6．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围.宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答：(1)和全等吗？请说明理由；(2)求出的取值范围.【答案】(1)全等，理由见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系；（1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明，即可；（2）根据三角形的三边关系，即可求解．【详解】（1）解：∵是中线，∴，延长到，使，又，∴（2）由（1）可知，，，在中，，，∴，即，∴.【典型例题十六旋转模型(全等三角形的辅助线问题)】1．（2023·天津东丽·一模）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（

）

A． B．C．2 D．【答案】A【分析】利用三角形内角和定理求出∠A′CB′=30°，然后利用旋转的性质得到BC=B′C，再利用全等三角形的判定和性质得到A′B=A′B′进而求出此题的答案．【详解】解：如图，连接A′BA′B．

∵∠A=45°，∠B'=105°，∴∠A′CB′=180°−45°−105°=30°，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°后得到△A'B'C，∴∠B′CB=60°，AB=A′B′=，∴∠A′CB=60°−30°=30°，∴∠A′CB′=∠A′CB，在△A′B′C和△A′BC中,∴△A′B′C≌△A′BC，∴A′B′=A′B=，故选A．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的有关知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（

）对．A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】根据等边三角形的性质、三角形的全等证明，得到三角形的全等，即可选出答案；【详解】解：△EBC≌△DAC，△GCE≌△FCD，△BCG≌△ACF．理由如下：BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD，∠ACE是共同角⇒△EBC≌△DAC．CD=EC，∠FCD=∠ECG，∠GEC=∠CDF⇒△GCE≌△FCD．BC=AC，∠GBC=∠FAC，∠FCA=∠GCB⇒△BCG≌△ACF．故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．解题的关键在于熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定方法．3．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝°．【答案】70【分析】由于△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，可求出AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，再由三角形内角和定理即可求出答案．【详解】∵△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，∴△ABC≌△AED，∴AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，∴∠C＝＝＝70°．故答案为：70．【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及三角形内角和定理，比较简单．4．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示，等腰直角三角形中，，，为的中点，．则四边形的面积为．【答案】【分析】连接BO，根据的等腰直角三角形的性质证明△BEO≌△CFO，即可推出，推出，即可求得答案．【详解】（1）连接BO．∵是等腰三角形，，，∴，又∵O是AC中点，∴BO⊥AC，∠ABO=∠CBO=∠A=∠C=45°，BO=AO=CO=，∵∠EOB+∠FOB=90°，∠FOB+∠COF=90°，∴∠EOB=∠COF，在△BEO和△CFO中，，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理的运用，本题中连接BO是解题的关键．5．（22-23九年级上·云南玉溪·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：．【答案】见解析【分析】根据旋转的性质，可得，，进而根据同角的余角相等可得，根据AAS证明，进而即可证明．【详解】证明：绕点顺时针旋转得线段，，，，，，，在与中，，，．【点睛】本题考查了性质的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．6．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．（1）求证：△ABC≌△ABE；（2）连接AD，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接AD，根据旋转的性质得到DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，根据全等三角形的性质得到∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，∴∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，∵∠DBC＝90°，∴∠DBE＝∠ABC＝30°，∴∠ABE＝30°，在△ABC与△ABE中，，∴△ABC≌△ABE（SAS）；（2）解：连接AD，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，∴DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，∵△ABC≌△ABE，∴∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，∵∠C＝45°，∴∠BED＝∠BEA＝∠C＝45°，∴∠AED＝90°，DE＝AE，∴AD＝AE＝2．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【典型例题十七垂线模型(全等三角形的辅助线问题)】1．（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC=BE，AD=CE，∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），∴OC=2，AD=CE=3，OD=6，∴CD=OD-OC=4，OE=CE-OC=3-2=1，∴BE=4，∴则B点的坐标是（1，4）．故选：D.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题．2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（

）请说明理由．A．等腰三角形； B．等边三角形C．直角三角形； D．等腰直角三角形【答案】D【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案．【详解】如图，由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°，在和中：∴，∴∠ABE=∠BCF，AB=BC，又∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∴为等腰直角三角形，故选：D3．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是．【答案】（﹣2，3）【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标．【详解】解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，在△AOD和△COE中，，△AOD≌△COE（AAS），∵C（3，2），∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，∵点A在第二象限，∴A（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断和性质、图形与坐标等，正确做出辅助线是解题的关键．4．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是.【答案】10【分析】作轴于，轴于，求出∠∠，证，推出，即可．【详解】作轴于，轴于，，则四边形是正方形，∴，∠∠°，∴∠∠在和中，，∴，则，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知：，，，，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由．【答案】见解析【详解】通过证明两个三角形全等，可以证明两条对应线段相等．6．（2023九年级·全国·专题练习）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：．【答案】详见解析【分析】延长BF至G，使，连结EG，得，，BF=GF，再证，得.【详解】证明：延长BF至G，使，连结EG，在△BDF和△GEF中，，∴，∴，BF=GF，∴BG=2BF，∵BE⊥BA，∴∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG，在△ABC和△BEG中，，∴，∴AC=BG=2BF.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．【典型例题十八全等三角形综合问题】1．（23-24八年级上·广东广州·期中）下列说法正确的是(

)A．全等三角形的边相等 B．全等三角形的角相等C．全等三角形的面积相等 D．面积相等的两个三角形全等【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质的判断即可．【详解】A、全等三角形的对应边相等，缺少“对应”两字，故此选项错误，不符合题意；B、全等三角形的对应角相等，缺少“对应”两字，故此选项错误，不符合题意；C、全等三角形的能重合，面积相等，故此选项正确，符合题意；D、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误，不符合题意．故选：C．2．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图是小华作业的部分片段，则被污染的部分可能是（

）题干：……，求证：．证明：在和中，，∴．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．【详解】解：∵，即运用的是“角边角”的证明方法，且，，∴当时，即可运用“角边角”证明，故选：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．3．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，中，，点P与点Q分别在和上移动，且则当时，和全等．【答案】4或8【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，根据全等三角形对应边相等解答即可．【详解】解：要使和全等，∵，∴，或，所以，的长为4或8．故答案为：4或8．4．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，每秒走1米，N点从B点向D点运动，每秒走4米，M、N同时从B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为米．【答案】或【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：根据题意，设运动时间为，∴，，①点是中点，时，，，∵，∴，∴；②时，时，，，∴，即，解得，；③时，∵点运动的速度大于点的速度，即，∴此情况不存在，综上所述，线段的长度为或，故答案为：或．5．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图①，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作．(1)求证：(2)若与交于点G，试证明平分；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．（1）求出，然后利用“”证明和全等；（2）利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证．【详解】（1）证明：，，即，，，，在和中，，；（2）证明：，，在和中，，，，平分．6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点，(1)求证：；(2)已知，，求的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)的长为【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）根据垂直的关系可得，，由“角角边”即可求证；（2）根据全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，即，∴，∴，∵，∴，且，∴；（2）解：由（1）可得，，∴，，在中，，∵,，∴的长为．【变式训练1图形的全等】1．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）在下列每组图形中，是全等形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：观察发现，A、B、D选项中的两个图形不可能完全重合，∴不是全等图形，C选项的两个图形都可以完全重合，∴是全等形．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是全等图形，解题的关键是熟练的掌握全等图形．2．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形四边形，则的大小是．【答案】/95度【分析】本题考查了全等形的性质及四边形的内角和定理，熟练掌握全等形的性质是解题的关键．利用全等图形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形四边形，∴，∴．故答案为：．3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）请用不同的方法在下面三个图中沿着虚线把它们分割成四个全等的图形.【答案】见解析【分析】本题考查全等图形，利用对称性作图是解题的关键．【详解】如图所示，沿虚线即可得到四个全等的图形．【变式训练2全等三角形的概念】1．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（

）

A．和是对应角 B．和是对应角C．与是对应边 D．和是对应边【答案】C【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可．【详解】解：∵，∴和是对应角，和是对应角，和是对应边；故A，B，D不符合题意；而与是对应边，故C符合题意；故选C【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键．2．（22-23八年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是．【答案】D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）【分析】若要，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可．【详解】如图，要和全等，且有一边为AB的三角形，D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）故答案为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）．【点睛】本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键．3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与【分析】根据全等三角形中能够互相重合的边是对应边，能够互相重合的角是对应角，再解答即可．【详解】解：∵，∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与．【点睛】本题考查的是全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边与对应角的含义是解本题的关键．【变式训练3全等三角形的性质】1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知下图中的两个三角形全等，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等解答即可．【详解】解：两个三角形全等，，两边的夹角相等，，故选：D．2．（2024七年级下·全国·专题练习）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为．【答案】45【分析】此题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键．根据，可得与的周长相等，从