2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|2x>1}，B={x|x2A.{x|x>−2} B.{x|x≥−2} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}2.若复数z满足z+i=2i(z−i)，则|z|=(

)A.1 B.2 C.3 3.已知向量a=(3,4)，|b|=3，且a与b的夹角θ=A.10 B.10 C.13 4.圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为(

)A.10π B.20π C.8π D.16π5.某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为(

)A.5 B.4.5 C.3.5 D.186.已知α为锐角，且cos(α+π6)=3A.3+110 B.2−357.命题p：0<a<1，命题q：函数f(x)=loga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调，则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则A.[53,136) B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若向量a=(m,n)(m,n∈R)，b=(1,2)，则以下说法正确的是(

)A.a//b⇔1m=2n

B.a⊥b⇒m+2n=0

C.若m≠0，n=0，则10.已知正数a，b满足a+5b=ab，则(

)A.1a+5b=1 B.a与b可能相等

C.11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDDA.动点F轨迹的长度为2

B.三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13

C.B1F与三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若角α满足tanα=2，则sin(π−α)+cos(3π13.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.他们从3～6岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份.因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本.若在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在16～18岁年龄段的问卷中抽取的份数为______．14.已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2，若对任意的1<x1<x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设a为常数，函数f(x)=asin2x+cos(2π−2x)+1(x∈R)．

(1)设a=3，求函数y=f(x)的严格增区间；

(2)若函数y=f(x)16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，点E在棱PD上．

(1)求证：AC⊥平面PBD；

(2)若OP=2，点E为PD的中点，求二面角P−AC−E的余弦值．17.(本小题15分)

2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：

(1)求a，b的值；

(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？

(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x−=90，标准差s=6，若剔除其中的95和18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．

(1)求角B；

(2)若△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC19.(本小题17分)

若定义在D上的函数f(x)满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，最小的M称为函数f(x)的上确界．

(1)求函数f(x)=|sinx|+sinx的上确界；

(2)已知函数f(x)=1lnx+x+lnx+x−4,x∈(23,2)，证明：2为函数f(x)的一个上界；

(3)已知函数f(x)=4−x+λ+2x2x,x∈[0,+∞)，若答案解析1.B

【解析】解：∵A={x|2x>1}={x|x>0}，

B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，

∴A∪B={x|x≥−2}2.A

【解析】解：由已知可得z+i=2iz+2，

则z=2−i1−2i，所以|z|=|2−i1−2i|=|2−i|3.C

【解析】解：因为a=(3,4)，所以|a|=32+42=5，

因为|b|=3，且a与b的夹角θ=4.D

【解析】解：根据题意，圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，

则该圆台的上、下底面的半径分别为1和3，

又由其母线长为4，

则圆台的侧面积为S=2π×(1+3)2×4=16π．

故选：5.A

【解析】解：设红队的得分数据分别为x1，x2，…，x6，黄队的得分数据分别为x7，x8，…，x12，

则红队数据的平均数为16i=16xi=3，可得i=16xi=18，方差为16i=16(xi−3)2=5，可得i=16(6.D

【解析】解：α为锐角，且cos(α+π6)=35，

则sin(α+π6)=7.A

【解析】解：设t=6−ax，则f(x)=loga(6−ax)(a>0,a≠1)可化为y=logat.

充分性：当0<a<1时，函数y=logat在(−∞,3)上单调递减，t=6−ax在(−∞,3)上单调递减，且t>0，

所以f(x)=loga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调递增，因此充分性成立．

必要性：当0<a<1时，y=logat在(−∞,3)上单调递减，t=6−ax在(−∞,3)上单调递减，且t>0，

所以f(x)=loga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调递增；

当a>1时，y=logat在(−∞,3)上单调递增，t=6−ax在(−∞,3)上单调递减，且t=6−ax>0在(−∞,3)上恒成立，

所以6−3a≥0，则1<a≤2，

此时函数f(x)=loga(6−ax)(a>0,a≠1)8.C

【解析】解：当ω<0时，不能满足在区间(0,π)极值点比零点多，所以ω>0；

函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，

ωx+π3∈(π3,ωπ+π39.BCD

【解析】解：对于A：当a=(0,0)时，满足a//b，但是1m、2n无意义，故A错误；

对于B：当a⊥b，则a⋅b=m+2n=0，故B正确；

对于C：若a=(m,0)(m≠0)，则cos〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=m|m|×10.BD

【解析】解：因为正数a，b满足a+5b=ab，

两边同时除以ab，得1b+5a=1，A错误；

当a=b=6时，显然符合题意，B正确；

因为ab=a+5b≥25ab，当且仅当a=5b，即b=2，a=10时取等号，

所以ab≥25，C错误；

a+b=(a+b)(1b+11.AB

【解析】解：取CC1中点M，C1D1的中点N，连接B1M，B1N，MN，ME，则MN/​/CD1，

正方体中易知CD1/​/A1B，从而MN/​/A1B，

又MN⊄平面A1BE，而A1B⊂平面A1BE，所以MN/​/平面A1BE，

又正方体中ME与C1D1平行且相等，从而ME与A1B1平行且相等，则A1B1ME是平行四边形，所以B1M//A1E，同理可得证B1M/​/平面A1BE，

B1M∩MN=M，B1M，MN⊂平面A1MN，所以平面B1MN//平面A1BE，

平面B1MN∩平面CDD1C1=MN，所以当F∈MN时，B1F/​/平面A1BE，即线段MN为点F的轨迹，MN=12CD1=2，A正确；

三棱锥B1−D1EF中，B1到平面D1EF的距离为定值2，当F与N重合时，△D1EF的面积最小值，此时S△D1EF=12×1×1=12，所以体积最小值为V=13×12×2=13，B正确；

连接C1D，AB，正方体中易知A1B⊥AB1，

AD⊥平面ABB1A1，而A1B⊂平面ABB1A1，所以AD⊥A1B，

AD∩AB1=A，AD，AB1⊂12.2

【解析】解：sin(π−α)+cos(3π2+α)sin(π2−α)−cos13.120份

【解析】解：因为7～12岁年龄段回收了180份问卷，而样本在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，

所以抽样比为60180=13，

因为分层抽取的样本的容量为300，故回收的问卷品数为30013=900(份)，

可得x=90−120−180−260=360(份)，

所以在16～18岁年龄段中抽取的问卷为360×114.[−3【解析】解：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2，

可得f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)=ax2−x+2，

联立方程组f(x)+g(x)=ax2+x+2−f(x)+g(x)=ax2−x+2，解得g(x)=ax2+2，

又因为对任意的1<x1<x2<2，都有g(x1)−g(x2)x1−x2>−3成立，

所以g(x1)−g(x2)<−3x1+3x2，所以g(x1)+3x115.解：(1)当a=3时，函数f(x)=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，

令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，

得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．

所以此函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；

(2)由题意，得函数f(x)的定义域为R，

因为函数y=f(x)为偶函数，

所以对于任意x∈R，均有f(−x)=f(x)成立，【解析】(1)结合辅助角公式先化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；

(2)结合偶函数的定义先求出a，然后结合余弦函数的性质即可求解函数的值域．

16.解：(1)证明：因为PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以PO⊥AC，

因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

又BD∩PO=O，BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD．

(2)如图，连接OE，则OE⊂平面ACE，

由AC⊥平面PBD，OE⊂平面PBD，OP⊂平面PBD，

得AC⊥OE，AC⊥OP，

故∠POE即为二面角P−AC−E的平面角，

在菱形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=120°，

所以BD=23,OD=3，

又PO=2，所以PB=PD=22+(3)2=7，

由点E为PD的中点，得OE=12PD=72,PE=12PD=【解析】(1)先根据线面垂直的性质定理得PO⊥AC，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即可．

(2)根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可．

17.解：(1)由题意知，所以0.0162=0.008a，

解得a=0.032，

又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，

解得b=0.004．

所以a=0.032，b=0.004；

(2)成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48，

落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88，

设第80百分位数为m，则(m−70)0.04=0.8−0.48，

解得m=78，所以晋级分数线划为78分合理；

(3)x−=90，

故x1+x2+x3+⋯+x10=10×90=900，

又s2=110(x12+x22+⋯+x102)−902=62【解析】(1)由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出a的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值；

(2)利用频率分布直方图计算第80百分位数即可；

(3)根据平均数和方差的计算公式求出结果．

18.解：(1)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．

由正弦定理得b−ac=c−ab+a，

所以a2+c2−b2=ac，

由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，

又B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)△A