数列的综合应用 专项训练 高三数学一轮复习

数列的综合应用1．记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．求：(1){an}的通项公式；(2)使得Sn>an成立的n的最小值．2．0在数列{an}中，a2＝1716，an＋1＝14an＋34，n∈(1)证明：数列{an－1}是等比数列；(2)令bn＝2n+1·an＋3，数列1bn的前n项和为Sn，求证：Sn<3．森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到2030年，中国的森林蓄积量比2005年增加60亿立方米”的目标，A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计，A地2020年年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉t(10<t<30)万立方米的森林．设an为自2021年开始，第n年年底的森林蓄积量(例如a1＝150－t)．(1)试写出数列{an}的一个递推公式；(2)设bn＝an－4t(n∈N，n≥1)，证明：数列{bn}是等比数列；(3)若到2030年年底，A地要实现“森林蓄积量要不少于640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量t最多是多少万立方米？(精确到1万立方米)参考数据：548≈5.96，549≈7.44．已知数列an的前n项和为Sn，点n，Snn在直线y＝x＋4上，数列bn满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(1)求数列an(2)令cn＝32an−22bn+5，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn>参考答案1．解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，∴a由①得a1＋2d＝0⇒a1＝－2d，代入②得(－d)·d＝－8d＋6d⇒d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2，∴a1＝－4，∴an＝－4＋2(n－1)＝2n－6.(2)Sn＝－4n＋nn−12·2＝n2－5由Sn＞an⇒n2－5n＞2n－6，∴n2－7n＋6＞0，(n－1)(n－6)＞0，∴n＞6，∵n∈N*，故n的最小值为7.2．证明：(1)由an＋1＝14an＋34，得an＋1－1＝14(an－1)，由a2＝1716，得a则a1－1＝14≠0，所以an－1≠0，得an+所以数列{an－1}是以14为首项，1(2)由(1)得an－1＝14n，则an＝14n＋1，所以bn＝2n+1·an＋3＝2n所以1bn＝2＝2n2＝12所以Sn≤18+12＝1340−13．解：(1)由题意，得a1＝120×(1＋25%)－t＝150－t，an＋1＝an(1＋25%)－t＝54an－t(2)证明：因为an＋1＝54an－t，故an＋1－4t＝54(an－4当n＝1时，b1＝a1－4t＝150－t－4t＝150－5t，即an+1−4tan−4t＝54(3)由(2)得，an－4t＝(150－5t)·54所以an＝4t＋(150－5t)·542030年年底的森林蓄积量为数列{an}的第10项，a10＝4t＋(150－5t)·54由题意，森林蓄积量到2030年年底要实现不少于640万立方米的目标，所以a10≥640，即4t＋(150－5t)·549即4t＋(150－5t)×7.45＝4t＋1117.5－37.25t≥640，解得t≤14.36.所以每年的砍伐量最多为14万立方米．4．解：(1)由题意，得Snn＝n＋4，即Sn＝n2＋4n，故当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3，∵n＝1时，a1＝S1＝5，符合上式，∴an＝2n＋3，n∈N*.又bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，∴bn为等差数列，∴11∵b4＝8，∴b8＝20，∴d＝20−88−4∴bn＝b4＋3(n－4)＝3n－4，即bn＝3n－4，n∈N*.(2)cn＝3＝3＝3＝1＝14