新教材2025版高中数学课时作业八空间中的距离新人教B版选择性必修第一册

课时作业(八)空间中的距离一、选择题1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为()A．322C．102D．2．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体OABC­D′A′B′C′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为()A．2aB．22C．aD．123．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A．2aB．3aC．23aD．34．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则平面α外的点P(－2，1，4)到平面α的距离为()A．10B．3C．83D．二、填空题5．已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．6．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，全部棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．7．如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．三、解答题8.已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，求直线B1C1和平面A1BCD1的距离．9.四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．[尖子生题库]10.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，PD的中点．问：线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为45？若存在，求出CQ课时作业(八)空间中的距离1．解析：PA＝(－2，0，－1)，|PA|＝5，PA·nn＝22，则点P到直线l的距离d＝答案：A2．解析：由图易知A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A′(a，0，a)，则Fa，a2，∴|EF|＝a＝a24+a答案：B3.解析：由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则Aa，0，0，Ba，a，0，A1a，0，a，C0，a，0，CA1＝(a，－a，a)，BA＝(0，－a答案：D4．解析：由题意可知PA＝(1，2，－4)．设点P到平面α的距离为h，则h＝PA·nn＝-答案：D5．解析：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，易得AC1＝a＋b＋c，则AC12＝AC1·AC1＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋答案：266．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(32，12，0)，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则C1设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有C解得n＝(33，1，1)，则所求距离为C1B·n答案：217．解析：由已知，得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，PB＝(2，0，－2)，BC＝(0，2，0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则n·即2a-2c=02b=0，∴可取n＝(1，0，1)．又AB＝(2，0，0)，AD∥平面PBC，∴所求距离为AB答案：28．解析：∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．过点B1作B1E⊥A1B于E点．∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B∴B1E⊥平面A1BCD1，∴线段B1E的长即为所求．在Rt△A1B1B中，B1E＝A1B1·B因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离是60139．解析：(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)．FP＝(－1，0，2)，FB＝(1，2，0)，DE＝(0，1，1)，所以DE＝12又因为DE⊄平面PFB，所以DE∥平面PFB.(2)因为DE∥平面PFB，所以点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则n·FB令x＝2，得y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1，1)．又因为FD＝(－1，0，0)，所以点D到平面PFB的距离d＝FD·nn＝2所以点E到平面PFB的距离为6310.解析：由题意知PA，AD，AB两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，1)，F(0，1，1)．假设在线段CD上存在一点Q满意题设条件．令CQ＝m(0≤m≤2)，则DQ＝2－m.∴点Q的坐标为(2－m，2，0)，∴EQ＝(2－m，2，－1)．而EF＝(0，1，0)，设平面EFQ的法向量为n＝(x，