第4章指数概念与对数函数（基础、典型、易错、新文化、压轴）专项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第4章指数概念与对数函数（基础、典型、易错、新文化、压轴）

分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2022.江苏常州.高一期中）若x>0,y>0,则下列各式中，恒等的是（）

A.lgx+lgy=lg(x+y)B.Igx2=(lgx)2

C.1g/=9

D.lgx-lgy=lg(xxj-)

n

【答案】c

【分析】利用对数的运算法则可判断各选项的正误.

【详解】对于AD选项，lgx+lgy=lg（xxy）,AD均错;

对于B选项，lg/=21gxH（lgx）2,B错:

对于C选项，lg/=蛇，C对.

n

故选：C.

21

2.（2022•江苏南京♦高一期中）计算8：+93的结果是（）

7

D.

6

【答案】B

【分析】由指数运算性质即可得到答案.

【详解】83+9^=[（2）3]5+[（3）2]^=22+3-1=4+1=y

故选：B.

3.（2022.安徽•高一期中）已知函数〃x）的定义域为（（）,y），则函数F（x）=f（2,-4）+^/^7的定义域为（）

A.（2,3]B.（-2,3]C.[-2,3]D.（0,3]

【答案】A

【分析】"x）的定义域为y=f（2'-4）,y=5N两个函数定义域的交集，列出不等式组求解即可.

2r-4>0ix>2

【详解】由题可知，\八=

3-x.O[x<3

故选：A.

Q

4.（2022・陕西咸阳•高一期中）若4*=3,2'=|,则2x+y的值为（）

A.2B.1C.8D.3

【答案】D

Q

【分析】将4*=3,2，=1转化为对数的形式求出x,y,然后代入2x+y化简求值即可

【详解】因为4"=3,所以x=Iog43=：log23；

OQ

又2>=?所以y=log21

[88

所以2x+y=2x51og23+log2§=log23+log2§

10g2x3=lo3

=（1）§28=log22=3

故选：D.

5.（2022・全国•高一单元测试）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临

床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间r（单位：h）的变化用

指数模型描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h-1）.刚注射这种新药后的初始血

药含量c°=2000mg/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现

给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：

ln2~0.693,ln3«1.099）

A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.7.52h

【答案】C

【分析】利用已知条件。"）=。2-"=20006如'，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为4,

转化求解即可.

【详解】解：由题意得：

c（f）=qeH=2000e"

设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为乙

c(r,)=20006*°1,1>1000

2

故-0.1fN-ln2,r<—»6.93

故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93〃

故选：C

6.（2022・湖南•高一课时练习）中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成

小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建成小康社会新

的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产

总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人

口城镇化率加快提高.

设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长/2%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收

入比2010年翻一番''列出的关于p的四个关系式：

①（l+p%）xl0=2；

②（1+「％严=2；

③10（i+p%）=2；

④l+10xp%=2.

其中正确的是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】根据题目条件，列出指数式方程.

【详解】已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长2％.

则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：（l+p%>°=2；

正确的关系式为②.

故选：B

二、多选题

7.（2022•陕西咸阳•高一期中）下列表达式中不走砸的是（）

523

A.々3.京=々（々>0）B.=〃6

c.=叫D.聒=产

【答案】CD

【分析】对A,同底数的基相除可判断，对B,幕的乘方运算，对C,利用开偶次方根的条件可判断，对D,

令a<0进行判断即可.

5252

【详解】对A,非+.=6下=%〃>0）,故A正确；

对B,（a2）'=aM=a6,故B正确；

对C,当a>0,d=G无意义，故C错误；

a

对D,若°<0,行=『5无意义，故D错误；

故选：CD.

8.（2022•全国•高一课时练习）已知”，6均为不等于1的正数，则下列选项中与logR相等的有（）

1B・胃

A.।C.kg网8D.log,*"

log2

【答案】AD

【分析】根据换底公式可判断.

【详解】uTT=log«b'拌=bg%"，loga&=log〃“，log〃,,6"=log,*.

1°gbaig”

故选：AD.

三、填空题

9.（2022•江苏南京•高一期中）在对数式蜒“（2-司=。（。>0,。工1）中，实数x的取值范围是.

【答案】（-2）

【分析】根据真数位置大于0得x的取值范围.

【详解】由于2-x>0,得x<2

故答案为：（TO,2）.

10.（2022•浙江•德清县教育研训中心高--期中）碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锯90、碘131、

铀137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个

给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间

来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期.若在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的

【答案】-##0.25

【分析】根据半衰期的定义求解即可.

【详解】根据题意可知，一个半衰期里放射性物质衰减为原来的则连续两个半衰期里，放射性物质将

衰减为原来的

故答案为：—.

4

、.lOg16

11.（2022•江西•高一期末）1en2ln2+-ls^-=______.

1叫4―

【答案】4

（分析】利用对数恒等式以及换底公式可求得结果.

【详解】解：=+限.8=2+log,16=2+2=4.

1*4

故答案为：4.

12.（2022・全国•高一）2021年3月20日，国家文物局公布，四川三星堆考古发掘取得重大进展，考古人员

在三星堆遗址内新发现6座祭祀坑，经碳14测年法测定，这6座祭祀坑为商代晚期遗址，碳14测年法是

根据碳14的衰变程度测度样本年代的一种测量方法，已知样本中碳14的原子数N随时间，（单位：年）的

变化规律是N=N°2一套，则该样本中碳14的原子数由N。个减少到+个时所经历的时间（单位：年）为

【答案】11460

【分析】代入函数值，求出自变量.

【详解】当f=0时，N=N°,若N=2,则T品_户，所以-4=-2,『=11460.

4乙一乙5730

故答案为：11460

1

13.（2022•全国•高一专题练习）[（_5）4了_15。的值是.

【答案】4

【分析】根据指数幕的运算性质计算即可.

【详解】原式=5"；_]=5—1=4.

故答案为：4.

四、解答题

14.（2022•福建省南平市高级中学高一期中）已知"x=°:贝ijf（f（2））=___________.

[-2x+3,（xN1）

3

【答案】-##1.5

2

【分析】根据分段函数的解析式特征代入即可求解.

a

【详解】/（2）=-2X2+3=-1,/（/（2））=/（-1）=2-'4-1=-,

3

故答案为：~

2

05_2

15.（2022.广西.高一阶段练习）（1）化简0K+已）'+4x0.252+目3

（2）已知。+6=6,“6=4,且“>〃，求卓刍的值.

.+崔

【答案】（1）兀+1；（2）当.

【分析】（1）根据根式与分数指数基的运算法则即可求解;（2）根据根式与分数指数基的运算法则即可求解.

1_2

3

【详解】⑴^H3-7t|+^J+4x^p^=7t-3+|+l+^=7t+l

(2)a>h:.a—h=yj(a+b)2—4ah=「36-16=2百,

则业

a+b-2a冲6-2x2指

a-b2755

后+b*

16.（2022・湖南•高一课时练习）1986年切尔诺贝利（现属乌克兰）发电厂的放射性物质泄漏到大气中，奥

地利被碘131污染（半衰期8天），当碘131的含量为10%时将干草喂给奶牛是安全的.那么农民需要等待

多久才能使用这些干草？

【答案】27天

【分析】设农民需要等待x天才能使用这些干草，得到方程（；取=10%,结合对数的运算性质，即可求解.

【详解】设农民需要等待x天才能使用这些干草，

根据题意得（占=10%,可得x=8呵卡=81og210®26.58,

所以农民需要等待大约27天才能使用这些干草.

17.（2022・四川成都•高一开学考试）LogisrM模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为

其中［是间隔年份，时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，八C是有关人口

增长率和初始人口数量的特定参数，已知某地区的人口数据如下表;

时间2010年2015年2020年

间隔年份/（单位：年）0510

人口数量C（单位：万）8086.36892.076

该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现Logistic函数£=,八丽能比较

好地描述2010年起该地区的人口数量匕（单位：万）与间隔年份单位：年）的关系.

（1）请估计该地区2030年的人口数量（结果保留3位小数）；

（2）请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a（结果保留3位小数）.

参考数据；e3ao.607,0.368,广皿叫«i.oio.

I92.076）

【答案】（1）101.351万

（2）0.010

【分析】（1）根据题意直接代入公式计算即可;

（2）直接利用增长率的公式求解即可.

⑴

2030年即间隔年份为20年,

该地区的人口数量混笳

1十U.DXv

120

=101.351

1+0.5x0.368

该地区2030年的人口数量大约为101.351万.

（2）

由表可知2020年的人口数量为92.076万,

又由（1）知2030年的人口数量大约为101.351万,

101.351

则有92.076x(1+〃)*)=101.351,即(1+。1=

92.076

101351

解得a=i-V"_1a0.010，

I92.076）

所以该地区2020年到2030的年平均增长率a大约为0.010.

【典型】

一、单选题

1.（2022•山东潍坊•高一期末）三个数。=4吗6=0.54,c=log°s4的大小关系为（）

A.c<b<aB.b<a<c

C.h<c<aD.c<a<h

【答案】A

【分析】利用指数对数函数的性质可以判定。>1,。<8<1,。<0,从而做出判定.

【详解】因为指数函数y=4'是单调增函数，y=0.5、是单调减函数，对数函数y=logo.5x是单调减函数，所

4

以〃=4°$>4°=1,0<h=0.5<0.50=l,c=log054<log051=0,

所以cvhva,

故选：A

2.（2022•宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知/（力=］，”一1k+%""1（。>（）,4*］）是减函数,

log„x,x>l

则a的取值范围是（）

A.（0,1］B.（0$）C.川口.展）

【答案】D

【分析】利用分段函数在R上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.

【详解】因函数”司=,：；［匕；2”/，1（4>0,〃"）是定义在口上的减函数，

5«-1<0

则有<0<"1,解得

（5。-1）+2。2log”1

所以〃的取值范围是

故选：D

3.（2022•内蒙古赤峰•高一期末（文））若函数/（x）唯一的一个零点同时在区间（0,16）,（0,4）,（0,2）内，

那么下列命题中正确的是()

A.函数“X)在区间(0,1)内有零点

B.函数/(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点

C.函数/(x)在区间[2,16)上无零点

D.函数在区间(1,16)内无零点

【答案】C

【分析】题目中所给的零点所在区间的交集为(0,2),但零点与1的大小未知，结合选项可得答案.

【详解】由题意，函数F(x)唯一的一个零点在(0,2)内，则函数在[2,y)上无零点，但零点与1的大小未知,

排除A,B,D选项，故选：C

4.(2022•广东汕头•高一期末)一个容器装有细沙acm?,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，

rmin后剩余的细沙量为y=ae"'(cm),经过8min后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开

始时的八分之一，则需再经过的时间为().

A.24minB.26minC.8minD.16min

【答案】D

【分析】依题意有"防=",解得匕=殍，得到丫=加铮，再令y=:，求解得至H的值，减去最初的8min

28y-ue8

即得所求.

【详解】依题意有四3=即e»=

1]n2,

两边取对数得一8Z?=ln—=-ln2,「.y=ae8,

28

_ln2]In21

当容器中只有开始时的八分之一，贝IJ有四丁

88

两边取对数得-感f=In』=-31n2,f=24,

88

所以再经过的时间为24-8=16(min).

故选:D.

5.(2022.全国.高一课时练习)若g是函数〃x)=2f—or+3的一个零点，则的另一个零点为()

A.1B.2C.(1,0)D.(2,0)

【答案】A

a

【分析】由;是函数〃x）=2W-侬+3的一个零点，可得。值，再利用韦达定理列方程解出了（力的另一个

零点.

【详解】因为g是函数〃力=2/一以+3的一个零点，所以，（|）=2x]|）|-4xg+3=0,解得a=5.设

另一个零点为・%,则/+；=]，解得/=1，所以“X）的另一个零点为1.

故选：A.

6.（2022・四川・遂宁中学高一开学考试）设/（可是定义域为R的偶函数，且在（0,y）单调递增，则（）

-2~\「3~

A.{1幅3）>/（1）>/图

-3-1「2-

B.〃-隰3）>/图s>/（|『

■21「3-

C-f图>止晦3）>，目

-「2-

Df>f

-S。>〃-陷3）

【答案】A

2

【分析】利用基指对函数的单调性可以判定log-〉（3y

>0.进而结合函数的单调性和偶函数的性

质可以得到答案.

【详解】由对数函数的性质得log?3>log22=l,

由幕函数y=£在（°，+8）上单调递增，和指数函数y=1|）在实数集R上单调递减,

32

且g>g>0可知:

>0,

又•・・/（力在（0,+8）单调递增,

又•••“X)是定义域为R的偶函数，•••/(—log?3)=/(k)g23),

~2~|「3~

,-./(-log23)>/05审，

故选：A.

二、多选题

7.(2022・四川・成都市金牛区实外高级中学有限公司高一期中)若存在实数f,对任意的xe(O,s],不等式

(2x—Y—f)(l—f—x)40恒成立，则S的值可以()

A

V5-1r75+1「3-亚n3+非

2222

【答案】ABC

【分析】根据题意将原不等式化为[(—)-(*-1)2][(1-/)7卜0,则其转化为存在实数，，使得在区间(0,5]

上，函数y=(x-i)2与函数)，=尤的图象恒在直线y=iT的两侧，再根据数形结合，和二次函数的对称性，

即可求出结果.

【详解】不等式(2x—fT)(lT—*)40可化为[(1T)―(X-1)[[(1T)-X]40,

问题转化为：存在实数乙使得在区间(0,s]上，

函数y=(x—I)?与函数y=x的图象恒在直线y=l7的两侧,

如图画出函数y=(x—以与函数y=x的图象,

由广"广得户等或(舍去),

从而得$-1=与1

由二次函数的对称性知y=iT与y=(x-l)2图象的右边交点的横坐标为75+1

2

故在区间［o,号一上，函数y=(x-l)2与函数y=x的图象恒在直线y=lT的两侧，

所以实数$的取值范围为0,誓^.即选项ABC符合题意.

故选:ABC.

【点睛】本题主要考查了函数与方程、二次函数的性质以及数形结合能力，属于中档题.

8.(2022•海南•高一期末)已知。＞0且函数与函数g(x)=a'在同一个坐标系中的图象可

能是()

【答案】BC

【分析】按和031分类,确定g(x)的单调性，.f(x)的最高点.

【详解】当时，g(x)=。'是增函数，只有B、D满足，此时/(X)的最高点大于1,故B满足，D不满

足；

当时，g(x)=。'是减函数，只有A、C满足，此时Ax)的最高点大于0,小于1,故C满足，A不满

足；

故选：BC.

9.(2022•浙江湖州♦高一期末)下列四组函数中为同一函数的组是()

A.丫7与、=正'B.〃x)=l与〃x)=x°

2

c.y=k+l|与y=Jx2+2x+iD.y=log2xlg^=log4x

【答案】AC

【分析】依次判断函数的定义域与对应关系是否相同，即可得解.

【详解】对于A,函数y=x定义域为七函数》=#7="定义域为凡定义域与对应关系相同，所以为同

一函数，故A正确：

对于B,函数/("=1定义域为K,函数f(x)=d定义域为{x|x*O},定义域不同，所以不为同一函数，

故B错误；

对于C,函数y=|x+l|定义域为R,函数y=+2x+l=J(x+1)=4+1］定义域为R,定义域与对应关系相

同，所以为同一函数，故C正确；

对于D,函数y=1ogzx定义域为(0,+力)，函数y=k)g/2定义域为{xlxwO},定义域不同，所以不为同一

函数，故D错误；

故选：AC

三、填空题

(2*x<0

10.(2022・全国•高一期末)已知={,g(x)=〃x)+x+m,若g(x)存在两个零点，则阳的

log2x,x>0

取值范围是.

【答案】［一1,内)

【分析】g(x)存在两个零点，得y=/(幻与y=-xr〃的图像有两个交点，再用数形结合的方法求出〃，的取

值范围.

【详解】画出函数/(X)的图像，如图所示

再画出直线之后上下移动，直线与函数图像有两个交点，即方程/(x)=-x-机有两个解，也就是函

数g(x)有两个零点，此时满足-”正1,即加之-1,

故答案为：

11.(2022.全国•高一专题练习)已知函数f(x)=130：。)则//但］=____.

［log,x,(x>0)L12万

【答案】|

【分析】由分段函数的解析式，先求的值，代入可得答案.

【详解】f(x)=］」(*)"口=唾金=_1.

［log2x(x>0)<2；2

则/=/(-1)=3-'=|.

故答案为：

12.(2022・全国•高一课时练习)在用二分法求函数〃x)的零点近似值时，若第一次所取区间为［-2,6］,则

第三次所取区间可能是.(写出一个符合条件的区间即可)

【答案】［-2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］(写一个即可).

【分析】根据二分法的概念，可求得结果.

【详解】第一次所取区间为［-2,6］,则第二次所取区间可能是［-2,2］,［2,6］；第三次所取区间可能是［-2,0］,

［0,2］,［2,4］,［4,6］.

故答案为：［-2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］(写一个即可).

13.(2022•江苏省阜宁中学高一阶段练习)已知函数〃x)=f+2奴+1在区间［1,2］上有零点，则。的取值范

围为.

【答案】—1##——■<a<—］

L4J4

【分析】函数〃x)在区间［L2］上有零点，即〃x)=0在［1,2］有方程根，按△=()和A>0两种情况讨论，可

解出。的取值范围.

【详解】函数/(»=炉+2如+1在区间［1,2］上有零点，即/(司=犬+2曲:+1=0在［1,2］有方程根，

当△=4/-4=0时，。=±1,

2

若a=l,/(x)=(x+l),在区间口，2］上没有零点,

若a=—l,f(x)=(x-l)2,在区间［1，2］上有零点，故a=T满足题意;

当△=4c『-4>0,即或”-1时，，/(力=/+20%+1在区间［1,2］上有零点,

即Y+2以+1=0在［1,2］有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，

应有〃力/(2)4。，即(2a+2)(4〃+5)V。，解得一；4a<7,

故答案为：-［LI.

14.(2022.全国.高一单元测试)已知函数〃x)=W-2x+log.色在卜,£|内恒小于零，则实数”的取值范围是

［答案】［上,11

(分析］由题意得出log„(x—1)>(x—1)2对任意的X€(l，a恒成立，然后对底数〃分。>1和0<。<1两种情况

讨论，结合图象找出关键点得出关于〃的不等式(组)求解，可得出实数。的取值范围.

【详解】/(x)=/-2x+log“=X2-2X+log,,a-log,,(x-l)=(x-l)2-log“(x-1),

x—1

3

则不等式log.(x-l)>(x-l)2对任意的xe1,恒成立.

3I1

当a>l时，l<x<-,则—此时Iog〃(x-1)<log“5<log,1=0,则不等式108“(工一1)>(工一1)o”对

任意的x{l,|

不成立;

当0<。<1时，如下图所示:

由图象可知，若不等式log“(x-l)>(x-1)2对任意的xe(l,|卜亘成立,

0<。<1

解得本

因此，实数。的取值范围是^7,1

L16）

故答案为1）.

【点睛】本题考查对数不等式恒成立问题，解题时要注意对底数的取值范围进行分类讨论，并利用数形结

合思想得出一些关键点列不等式（组）求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

15.（2022•浙江•杭十四中高一期末）定义max{a,6}为a,b中的最大值，函数/（x）=max{2*T,2—x}的最小

,3

（2m—1）r-4--尤>。

值为C,如果函数g（x）=I）4'-在R上单调递减，则实数机的取值范围为.

m\x<c

【答案】（0,；

【分析】根据图象，将函数/（X）写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得C的值，进而可得

（2w-l）<0

+由减函数的定义可得<

0</«<1,解得机的范围，即可得答案.

mx,x<\3

（2/n-l）4--<m

由题意，在同一坐标系下画出y=2=»=2-*的图象，可知

/(x)=1c2*7r_>1JKc=/(D=1

,3

则g(x)=.(2"[l)x+4，x/，因为g(x)为减函数,

mx,x<1

(2m-l)<0

必有,

解可得：即m的取值范围为(02；

4I4」

故答案为(0,；,

16.(2022・全国•高一专题练习)己知函数/(x)=|log2W,g(x)=gx,若对任意xe［a,+8),总存在两个

p4,使得g(x)・/($)=l,则实数。的取值范围是.

【答案】［2,+8)

【分析】由已知可得，〃不)4,画出在仁,

4］上的函数图象，可得出进而求得实数。的

取值范围.

127

【详解】〃々)=而J=7x&［a,+oo'),:.f(xQ)<-,

作出f(x)在［^，4］上的函数图象如图：

对任意xw［a，+8),总存在两个玉>©；，4,使得g(x)・/(%)=l,

2

.0<—<1,解得aN2.

故答案为：［2,+8).

四、解答题

17.(2022・湖南•高一课时练习)比较下列各组中两个数的大小:

(1)0.2,"和0.2、

⑵1.26和1.2%

(3)0.3°，和O.3-01;

(4)1.35标和1.354.

【答案】⑴0.2°3<0.2°2

(2)1.2°-3>1.20-2

⑶0.3°/<0.3如

⑷1.35°°>1.35”

【分析】（1）利用指数函数），=0.2,是减函数可求解;

（2）利用指数函数y=1.2"是增函数可求解；

（3）利用指数函数y=0.3*是减函数可求解；

（4）利用指数函数y=1.35'是增函数可求解；

（1）

因为指数函数y=02’是减函数，K0.3>0.2,所以0.2'*<O.*?

⑵

因为指数函数），=1.2,是增函数，K0.3>0.2,所以1.2°3>1.2°2

（3）

因为指数函数y=03是减函数，且0.1>-0.1,所以0.3°/<0.3刈

（4）

因为指数函数y=1.35*是增函数，K0.2>-0.2,所以1.35°2>1.35心

II

18.（2022•全国•高一课时练习）己知x+N=a,xy=b,且x>y>0,用表示；一）：.

X2+9

[答案]:二2、

da2-4b

【分析】将幕指数化为根式形式，利用平方差公式和完全平方公式化简即可.

【详解】（x—y『=（x+»-4肛="2-4〃，因为x>y>。，所以x-y>0,所以x-y=Ja?一⑨.

除比二G-6（G历_x^-y-2y[xy_a-2\[b

八\[x+y[y（«+6）（五一6）x-y4a1-4b

19.（2022・全国•高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技

术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=%ln”计算火箭的最大速度v（单

m

位：m/s）.其中%（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位:

kg）是推进剂与火箭质量的总和，—称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.

m

参考数据：In230a5.4,1.6481.649.

（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的;，若

要使火箭的最大速度增加500m/s,记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T,求不小于T的最小整数？

【答案】（1）10800m/s

（2）45

【分析】（1）运用代入法直接求解即可；

（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.

（1）

当总质比为230时，u=2000In230〜2000x5.4=10800,

即4型火箭的最大速度为10800m/s.

（2）

A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以4型火箭的喷流相对速度为2000XL5=3000M/S,总

质比为？•，

3m

由题意得：3000In-2000In>500

3"zm

=>In>0.5n/->Z5n”227/

27，"211nin

因为1.648<e05<1.649.所以44.496<27e05<44.523，

即44.496<T<44.523,所以不小于T的最小整数为45.

20.（2022•北京西城•高一期末）已知函数"x）=log2m.

⑴若〃4）=1，求〃的值；

（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

⑶若〃x）之m对于xep,”）恒成立，求实数机的范围.

【答案】（1）-3

(2)奇函数，证明见解析

【分析】(1)代入x="，得到log，N=l,利用对数的运算即可求解;

(2)先判断奇偶性，然后分析定义域并计算/(x),/(-x)的数量关系，由此完成证明;

⑶将已知转化为机<[/(x)Ln，求出〃x)在[3,4w)的最小值，即可得解.

⑴

n—\Cl—I

/(a)=l,「.log?幺」=1,即——=2,解得a=—3,

a+\Q+I

所以。的值为-3

⑵

“X)为奇函数，证明如下:

[T>o

由-x+1,解得：x>l或x<T,所以定义域为(-8,-l)u(l,y)关于原点对称,

x+lwO

x-1

X/(-x)=log2^l=log2^=log2=1O,

x+\|-^77T=-^W

所以〃x)为奇函数;

⑶

®^/(x)=log2^l=log2^=log/l

2

又外部函数y=|。氏"为增函数，内部函数y=i-二j在[3,+oo)上为增函数,

由复合函数的单调性知函数/(x)在[3,物)上为增函数,

所以/(Ain=/⑶=1°g2言=1嗝J=T，

又机对于X43,+O))恒成立，所以加<[/(x)Ln，所以m4—I，

所以实数，”的范围是

21.(2022•云南昆明・高一期末)已知函数/(x)=ln(l+x)-ln(l-x).

⑴求函数/")的定义域；

⑵解不等式：/(2x-l)>ln3；

(3)已知g(x)=-or2-60-1)，⑴-5的图象在/轴的上方，求实数。的取值范围.

【答案】⑴(一草)

[31

⑵jx—<x<1

(3)67e(-00,-9)

l+x>0

【分析】(1)由题意知।八，解不等式可得解；

[l-x>0

(2)先判断函数的单调性，再结合单调性解不等式；

(3)由已知得g(x)>0对恒成立，BP-or2+6x+l>0,利用参数分离法转化为。<二+9,令

XX

/?«)=『+&,即"的)min，求出的)最值即得解.

(1)

fl+X>0

由题意I八，解得-1VXV1

[l-x>0

所以f(x)的定义域为(-1,1)

(2)

因为函数>=ln(l+x)在(T1)上单调递增，函数y=ln(l-x)在(-1,1)上单调递减，

所以f(x)=ln(l+x)—ln(l-x)在(-1,1)上单调递增.

又小…修爪佃

所以原不等式可化为〃2x-1)>/

-1<2x—1<1

所以c,1，解得

2x-l>-4

I2

所以原不等式解集为

(3)

加1+x2

g(x)=-ax2-6(x-l)e,-v-5=-ax'+6x+1

由题意，g(X)的图象始终在X轴的上方，

即g(x)>0对XW(-1,1)恒成立，所以有-以2+6x+1>0

当x=0时，上式显然成立；

、1,cq6x4-116

当xW0时，a<---=-7+—

XXX

令L=f,因为XW(T,1),所以，€(7,-1)(L+8)

X

令/z(f)=/+6r,/e(-00,-1)(l,+oo),即a</l⑴min

当♦=—3时，h(t)min=h(-3)=-9

所以实数。的取值范围是ae(-8,-9)

【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数“2/(x)恒成立(a>“切3即可)或aVf(x)恒成立(“4/(x)m,“即可);

②数形结合(y=f(x)图像在y=g(x)上方即可)；

③讨论最值〃矶面？0或八力四40恒成立.

【易错】

一.选择题(共1小题)

—x0

1.(2021秋•武汉期末)已知函数/(x)=1'，若方程/(x)+bf(x)+1=0有六个相异

-X+2x,x>04

实根，则实数6的取值范围()

A.(-2,0)B.(-2,-1)C.(-5,0)D.(-5,-1)

44

【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题.同时在结合函数/(x)的图象，确定6的取值

范围.

【解答】解：令f=/(x),则原函数方程等价为?+加+工=0.

4

作出函数/(X)的图象如图1:

图象可知当由0<fVl时，函数r=/(x)有3个交点.

所以要使/(X)+bf(x)+工=0有六个相异实根，

则等价为有两个根”,t2,

且0<r2<l.

令g（力=理+9+_1,

4

'△>0

f(0)=^>0

b2-l>0b>1或b<-1

b>4

则由根的分布（如图2）可得］f(l)=l+b-^>0'即'b>《，即,

4

-2<b<0-2<b<0

0<^-<1

解得-L<b<-1,

4

则实数6的取值范围是（-§，-1）.

故选：D.

【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将

复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键.

二.填空题（共2小题）

2.（2021秋•西青区期末）函数/（x）=/〃|x|-’的零点的个数是3.

X-1

【分析】由=0得/〃Ix|=」一,然后分别作出函数y=/川力与y=」_的图象，利用数形结合即可

X-1X-1

得到结论.

【解答】解：由f（x）=ln\x\--L_=o得/川

x-1x-1

设函数y=/川M与y=—」一，分别作出函数y=/川川与y=—工一的图象如图：

x-lx-l

由图象可知两个函数的交点个数为3个,

故函数的零点个数为3个，

故答案为：3

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化