2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.7　抛物线（含解析）

第第页§8.8抛物线课标要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线x＝－eq\f(p,2)与x轴相交于点P，过焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，α为AB与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝eq\f(2p,sin2α).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(√)(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(√)2．抛物线x2＝eq\f(1,4)y的准线方程为()A．y＝－eq\f(1,16)B．x＝－eq\f(1,16)C．y＝eq\f(1,16)D．x＝eq\f(1,16)答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq\f(1,16).3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x答案B解析由题意可得|MF|＝xM＋eq\f(p,2)，则3＋eq\f(p,2)＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，则最短距离为eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.题型一抛物线的定义及应用例1(1)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为()A．x2＝8yB．x2＝16yC．y2＝8xD．y2＝16x答案A解析因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，所以A(0,2)，B(0，－2)，又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2)，准线为y＝－2，所以P的轨迹方程为x2＝8y.(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．答案42或22解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42；当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得eq\r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.①②思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1(1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为eq\f(11,4)，则m等于()A．4B．3C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)答案D解析由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－eq\f(1,4m)，根据抛物线的定义，可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－eq\f(1,4m)的距离，可得2＋eq\f(1,4m)＝eq\f(11,4)，解得m＝eq\f(1,3).(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(5\r(2),2)C．2D.eq\r(2)答案B解析直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离．∵F(－1,0)，∴(d1＋d2)min＝eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).题型二抛物线的标准方程例2(1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________．答案y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y解析∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，则2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4).∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为________．答案y2＝8x解析如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|，则易知B为AD的中点．连接OB，则OB为△DFA的中位线，∴2|OB|＝|FA|，∴|OB|＝|FB|，∴点B在线段OF的垂直平分线上，∴点B的横坐标为eq\f(p,4)，∴|FB|＝eq\f(p,2)＋eq\f(p,4)＝3，∴p＝4，∴抛物线C的标准方程为y2＝8x.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2(1)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为()A．x2＝6yB．x2＝12yC．x2＝18yD．x2＝36y答案B解析由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，设抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，则准线为y＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(\f(p,2)＋－9,2)＝－eq\f(p,2)，解得p＝6，所以抛物线C的方程为x2＝12y.(2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线C上，|PF|＝eq\f(5,2)，若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，则该抛物线C的方程为________．答案x2＝2y或x2＝8y解析由题意设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，P(x0，y0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，圆的半径为eq\f(5,4)，由焦半径公式可知y0＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2)，得y0＝eq\f(5－p,2)，并且线段PF中点的纵坐标是eq\f(y0＋\f(p,2),2)＝eq\f(5,4)，所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为(－1,0)或(1,0)，所以x0＝±2，即点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±2，\f(5－p,2)))，代入抛物线方程x2＝2py(p>0)，得4＝2p·eq\f(5－p,2)，解得p＝1或p＝4，即当点F在y轴正半轴时，抛物线方程是x2＝2y或x2＝8y.题型三抛物线的几何性质例3(1)已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(5\r(2),2)D.eq\f(2\r(5),5)答案D解析因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB为抛物线y2＝2px(p>0)的通径，因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＋p2＝1，解得p＝eq\f(2\r(5),5).思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3(1)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．答案x＝－eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).方法二(应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，则|NF|＝________.答案16解析易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，AF∥MB∥NC，则eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(|BM|－|CN|,|OF|)，由3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，得eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(3,5)，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以eq\f(|BM|－4,4)＝eq\f(3,5)，|BM|＝eq\f(32,5)，|MF|＝|BM|＝eq\f(32,5)，eq\f(|MF|,|NF|)＝eq\f(2,5)，所以|NF|＝16.课时精练一、单项选择题1．在平面内，已知定点A及定直线l，记动点P到l的距离为d，则“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”⇒“|PA|＝d”，反之不成立，当直线经过定点A时，轨迹不是抛物线．因此“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的必要不充分条件．2．已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A．6B．4C．3D．2答案D解析由题可知，抛物线准线为y＝－eq\f(p,2)，可得1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.3．在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝－4xD．y2＝－8x答案D解析由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.4．设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于()A．3B．4C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,3)答案B解析过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为()A．4B．6C．8D．10答案C解析如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则|PF|＝|PA|，当CP垂直于抛物线的准线时，|CP|＋|PA|最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C(6,2)，半径为2，所以|PQ|＋|PF|的最小值为|AQ|＝|CA|－2＝10－2＝8.二、多项选择题6．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上的两点，下列结论正确的是()A．|MF|的最小值为2B．若|MF|＋|NF|＝12，则线段MN的中点P到x轴的距离为6C．若直线MN过点F，则x1x2＝4D．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为8答案AD解析对于A，x2＝8y，则p＝4，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2，∴|MF|＝y1＋2，∵y1≥0，∴|MF|≥2，当且仅当y1＝0时等号成立，故A正确；对于B，∵|MF|＋|NF|＝12，根据抛物线定义得y1＋2＋y2＋2＝12，则y1＋y2＝8，而由中点坐标公式得点P的纵坐标yP＝eq\f(y1＋y2,2)＝4，即点P到x轴的距离为4，故B错误；对于C，由题意可知直线MN斜率存在，∵直线MN过点F，设直线MN的方程为y＝kx＋2，代入抛物线方程整理得x2－8kx－16＝0，∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，故C错误；对于D，若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则M，F，N三点共线，由题得|MF|＋|NF|＝y1＋2＋y2＋2＝y1＋y2＋4＝eq\f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2),8)＋4＝eq\f(x1＋x22－2x1x2,8)＋4＝eq\f(64k2＋32,8)＋4，当k＝0时，|MN|的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确．三、填空题7．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是|AF|－2，则p＝________.答案4解析由抛物线的方程可得F(0，eq\f(p,2))，设A(x0，y0)，则y0≥0，则|AF|＝y0＋eq\f(p,2)，又点A到x轴的距离是|AF|－2，故y0＝y0＋eq\f(p,2)－2，故p＝4.8．A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为12eq\r(3)，则∠AOB＝________.答案60°解析如图，∵|OA|＝|OB|，∴A，B两点关于y轴对称，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a2,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a2,2)))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,2)＝12eq\r(3)，解得a＝2eq\r(3)，∴B(2eq\r(3)，6)，∴tanθ＝eq\f(2\r(3),6)＝