2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第2章　§2.5　指数与指数函数（原卷版）

第第页§2.5指数与指数函数课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂：SKIPIF1<0＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)eq\r(4,－44)＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．()(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.()2．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于()A．不确定B．0C．1D．23．已知关于x的不等式(eq\f(1,3))x－4≥3－2x，则该不等式的解集为()A．[－4，＋∞)B．(－4，＋∞)C．(－∞，－4)D．(－4,1]4．eq\r(3,－43)＋(eq\f(1,2))0＋SKIPIF1<0×(－eq\f(1,2))－4＝________.题型一指数幂的运算例1计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\f(1,16)))0.5－2×SKIPIF1<0－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2＋π)))0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－2；(2)2eq\r(3)×3eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12).跟踪训练1(多选)下列计算正确的是()A.eq\r(12,－34)＝eq\r(3,－3)B．SKIPIF1<0C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为()A．a＝bB．0<b<aC．a<b<0D．0<a<b(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．跟踪训练2(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为()A．0<a<1，b<0B．0<a<1,0<b≤1C．a>1，b<0D．a>1,0<b≤1题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3已知a＝1.30.6，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－0.4，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.3，则()A．c<b<aB．a<b<cC．c<a<bD．b<c<a命题点2解简单的指数方程或不等式例4已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝eq\f(8x＋a·2x,a·4x)(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．跟踪训练3(1)(多选)已知函数f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(－1,1)C．函数f(x)是奇函数D．函数f(x)为减函数(2)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，则a的值为________．课时精练一、单项选择题1．下列结论中，正确的是()A．若a>0，则SKIPIF1<0＝aB．若m8＝2，则m＝±eq\r(8,2)C．若a＋a－1＝3，则SKIPIF1<0＝±eq\r(5)D.eq\r(4,2－π4)＝2－π2．已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知a＝31.2，b＝1.20，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.9，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<bB．c<b<aC．c<a<bD．b<c<a4．设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．[－2,0)C．(0,2]D．[2，＋∞)5．“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是()A．a≤eq\f(1,2)B．a>1C．a≤eq\f(1,2)或a≥1D．a<eq\f(1,2)或a≥16．已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)二、多项选择题7．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则()A．2a＋2b>2B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1C．2a＋2b＝2D．a＋b<08．已知函数f(x)＝m－eq\f(ex,1＋ex)是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是()A．m＝eq\f(1,2)B．函数f(x)在R上的最大值为eq\f(1,2)C．函数f(x)是减函数D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根三、填空题9．SKIPIF1<0＝________.10．已知函数f(x)＝SKIPIF1<0有最大