中考15题最大、小值问题

PAGEPAGE1九年级数学中考复习教学资源15题最大、小值问题黄陂区李集中学张、隐圆与相似相结合的最值问题【例1】圆O中A、B在圆O上，点C在圆O内，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝3/4，圆的半径为3，当A在圆O上运动时，求OC的最小值【分析】：∠ABC＝90°，tan∠BAC＝3/4，∠ACB及其邻补角均为定角，延长BC交圆O于F，点C在过A、C、F三点的圆E上运动。【解】：延长BC交圆O于F，连AF，∠ABC＝90，∴AF为直径，AF＝6，∠ACF不变，点C在过A、C、F三点的圆E上运动∴CE＝3.75，EO＝2.25，OC≥CE-OE=3.75－2.25＝1.5当E、O、C三点共线时，OC最小为1.5练习：如图1，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA．设PA＝x，PB＝y，则(x－y)的最大值是_____．分析：AC为⊙O的直径，连结PC．由△ACP∽△PAB，得所以当x＝4时，x－y最大，最大值为2．二、利用不等式求最小值【例2】如图，在边长为1的等边三角形OAB中，以边AB为直径作圆D，在O为圆心，OA长为半径作圆O，，C为半圆弧AB上的一动点（不与A、B两点重合），射线AC交圆O于E，BC＝a，AC＝b，求a+b的最大值。练习：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作圆O，圆O交AC于另一点F，在此运动变化过程中，线段EF长度的最小值是。三、相切的应用【例3】如图，在平面直角坐标系A（8，0），B（0，6）中，D为线段OA上任一点，作DE⊥BD交线段AB于E，则点E的坐标为（）时，BE的值最小。【分析】：DE⊥BD，D是以BE为直径的圆O'与x轴的交点，当圆O'与x轴相切时O'D最小，即BE最小,设圆O'半径为r【例4】如图矩形ACBM中，AC＝2，BC＝4，矩形ECFN中，CE＝1，CF＝2，连AE、BF相交于点H，则△ACH面积的最大值为。△ACE∼△BCF，∠CAE＝∠CBF，H在以AB为直径的圆上运动，E在以C为圆心，CE为半径圆上运动，当∠HAC最大，△ACH中AC边上的高也最大，即AE为圆O切线，∴∠CAH＝30°，∠COH＝60°，练习：1.如图，已知直线l与圆O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与圆O相交于点P，AB与圆O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在圆O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则圆O的半径r的取值范围为。【分析】：当圆O与AC的垂直平分线相切时，开始存在Q点，2.如图，已知半径为2的圆O与直线相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的一动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与圆O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x(2<x<4)，则当x=时，PD•CD的值最大，且最大值为。3.如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，圆C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是圆C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是().小结与归纳：圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法.1、通过隐藏圆，学会在动态图形中，找出点的轨迹，运用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等知识找出线段最小值时的情况，再构建全等或相似，建立方程来解决问题。2、通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化.3、动圆与定直线相切时，半径或线段最小值，寻找圆上动点C与两个定点圆外定点A圆心O、构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）时张角最大，进行线段、角度、及面积的计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，这一类题的难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关