高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2-3-3直线与平面垂直的性质2-3-4平面与平面垂直的性质刷题课件新人教A版必修2

题型1线面垂直性质定理的应用解析1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则()A．b⊥αB．bαC．b∥αD．b∥α或bα当bα时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b.所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或bα，故选D.D2.3.3+2.3.4

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题型1线面垂直性质定理的应用解析2．[安徽黄山2019高一期中]如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是()

ABCD连接BD交AC于O，连接SO，则SO⊥底面ABCD.取CD的中点F，连接EF，则AC⊥EF，又∵AC⊥BD，SO⊥AC，SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SOB，∴AC⊥SB.取SC中点Q，连接EQ，FQ，∴EQ∥SB，∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，EQ∩EF＝E，∴AC⊥平面EQF，∴点P在FQ上移动时，EP平面EFQ，总有AC⊥EP.故选A.A2.3.3+2.3.4

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题型1线面垂直性质定理的应用解析3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，有下列四个结论：①A1E⊥DC；②A1E⊥AC；③A1E⊥BD；④A1E⊥BC1.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．由题意，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，①中，连接A1D，在Rt△A1DE中，tan∠A1ED＝，所以A1E与DC不垂直，所以不正确；②中，连接A1C1，C1E，在△A1EC1中，∠EA1C1不是直角，所以A1E与A1C1不垂直，即A1E与AC不垂直，所以不正确；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BD，AE，BD与AE不垂直，故BD与A1E不垂直，所以不正确；④在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，BC1⊥平面A1B1CD，而A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1是正确的．故正确结论的序号为④.

④2.3.3+2.3.4

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题型1线面垂直性质定理的应用解析4．若a，b表示两条不同的直线，α表示平面，下列结论中正确的个数是________．①a⊥α，b∥αa⊥b;②a⊥α，a⊥bb∥α；③a∥α，a⊥bb⊥α；④a⊥α，b⊥αa∥b.由线面垂直的性质知①④正确．22.3.3+2.3.4

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题型2面面垂直性质定理的应用解析5．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m满足m∥α，∴m∥β或mβ或m与β相交，∴不能确定m与n，l的位置关系．∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.C2.3.3+2.3.4

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题型2面面垂直性质定理的应用解析6．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，要使n⊥β，则应增加的条件是()A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α由直线与平面垂直的性质定理可知，要使n⊥β，只需在α⊥β，α∩β＝m，nα的条件下，增加n⊥m即可，故选B.B2.3.3+2.3.4

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题型2面面垂直性质定理的应用解析7．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直设α∩β＝l，∵α⊥β，aα，bβ，a⊥b，∴当a∥l时，b⊥α；当b∥l时，a⊥β，其他情况下未必有b⊥α或a⊥β.C2.3.3+2.3.4

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题型2面面垂直性质定理的应用解析8．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下表述正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥βl⊥α，α⊥βl∥β或lβ，A错；l∥α，α∥βl∥β或lβ，B错；l⊥α，α∥βl⊥β，C正确；若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定，D错．C2.3.3+2.3.4

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题型2面面垂直性质定理的应用解析9．已知长方体ABCD－A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则()A．ME⊥平面ABCDB．ME平面ABCDC．ME∥平面ABCDD．以上都有可能∵ME平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.A2.3.3+2.3.4

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题型2面面垂直性质定理的应用解析9．已知长方体ABCD－A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则()A．ME⊥平面ABCDB．ME平面ABCDC．ME∥平面ABCDD．以上都有可能∵ME平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.A2.3.3+2.3.4

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题型2面面垂直性质定理的应用解析10．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部连接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.A2.3.3+2.3.4

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题型3平行、垂直关系的综合问题解析11．如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，mα，m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ和l⊥mB．α∥γ和m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β和α⊥γ∵mα，m⊥γ，∴α⊥γ.∵m⊥γ，β∩γ＝l，∴m⊥l，故选A.A2.3.3+2.3.4

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题型3平行、垂直关系的综合问题解析12．设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A．存在唯一一条直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一一条直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一一个平面α，使得aα，且b∥αD．存在唯一一个平面α，使得aα，且b⊥α过直线a上任意一点P，作b的平行线c，由a，c相交确定一个平面α.直线l只需垂直于平面α，就会与b垂直，这样的直线有无数条，故A错误．根据平面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.故选C.C2.3.3+2.3.4

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题型3平行、垂直关系的综合问题解析13．[湖北沙市中学2019高二期末]已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若lα，mα，l∥β，m∥β，则α∥β；②若lα，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则lα.其中正确的命题个数为()A．0B．1C．2D．3对于①，若lα，mα，l∥β，m∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若lα，l∥β，α∩β＝m，满足线面平行的性质定理，故l∥m，故②正确；对于③，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或lα，故③错误．故选B.B2.3.3+2.3.4

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题型3平行、垂直关系的综合问题解析14．[河南洛阳2019高一期末]给出以下命题(其中a，b，l是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面)：①若a∥b，bα，则a∥α；②若a⊥b，b⊥α，则a∥α；③若α⊥β，lα，则l⊥β；④若l⊥a，l⊥b，aα，bα，则l⊥α.其中正确的命题个数为()A．0B．1C．2D．3对于①，若a∥b，bα，则有可能aα，故①不正确；对于②，若a⊥b，b⊥α，则可能aα，故②不正确；对于③，若α⊥β，lα，则l与β可能平行、相交，故③不正确；对于④，缺少a，b相交的条件，故不能得到l⊥α，故④不正确．故正确的命题个数为0，故选A.A2.3.3+2.3.4

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题型3平行、垂直关系的综合问题解析14．[河南洛阳2019高一期末]给出以下命题(其中a，b，l是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面)：①若a∥b，bα，则a∥α；②若a⊥b，b⊥α，则a∥α；③若α⊥β，lα，则l⊥β；④若l⊥a，l⊥b，aα，bα，则l⊥α.其中正确的命题个数为()A．0B．1C．2D．3对于①，若a∥b，bα，则有可能aα，故①不正确；对于②，若a⊥b，b⊥α，则可能aα，故②不正确；对于③，若α⊥β，lα，则l与β可能平行、相交，故③不正确；对于④，缺少a，b相交的条件，故不能得到l⊥α，故④不正确．故正确的命题个数为0，故选A.A2.3.3+2.3.4

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解析1．[福建宁德高中2019高一质检]设平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，且A，B，C均不在直线l上，给出四个命题：①；②平面ABC；③平面ABC；④AB∥ll∥平面ABC.其中正确的命题是()A．①②B．②③C．①③D．②④①不正确，∵l⊥AB，l⊥AC时，平面α与平面β的夹角不一定为90°；②正确，∵l⊥AC，l⊥BC，AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，∴α⊥平面ABC；③不正确，当AB∥l时，l不垂直于平面ABC；④正确，∵AB∥l，且A，B，C均不在直线l上，∴l∥平面ABC.故选D.D2.3.3+2.3.4

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解析2．[北京丰台区2019高一月考]如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两都垂直C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，∴AB⊥BC，PA⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，PA⊥AD，AB∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB.∵AD平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.故选A.A2.3.3+2.3.4

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解析3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小()A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小∵直线l⊥平面ABC，∴l⊥BC，即PA⊥BC.∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC，所以∠PCB为直角，即∠PCB的大小与点P的位置无关，故选C.C2.3.3+2.3.4

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解析4．[山东潍坊2018统考]如图①所示，等边三角形ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点．现将△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面BCD(如图②)，则下列结论中不正确的是()A．AB∥平面DEFB．CD⊥平面ABDC．EF⊥平面ACDD．VC－ABD＝4VC－DEF在折叠后的△ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，故EF∥AB.因为AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB∥平面DEF，故A正确．在△ABC中，CD是AB边上的高，故折叠后，CD⊥AD，CD⊥BD.又因为AD，BD平面ABD，AD∩BD＝D，所以CD⊥平面ABD，故B正确．由CD⊥BD，平面ACD⊥平面BCD，D为AB边的中点，故△ADB为等腰直角三角形，∠BAD即为BA与平面ACD的夹角，故BA与平面ACD的夹角为45°.由EF∥AB，可得EF与平面ACD的夹角为45°，所以EF与平面ACD不垂直，故C错误．VC－ABD＝VA－BCD，VC－DEF＝VE－CDF，两个棱锥A－BCD，E－CDF的底面积和高的比值均为2∶1，故体积之比为4∶1，故VC－ABD＝4VC－DEF，故D正确．故选C.C2.3.3+2.3.4

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解析6．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________．由题意，两个矩形的面对角线长分别为5，，所以cosα＝，cosβ＝，所以cosα∶cosβ＝.2.3.3+2.3.4

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解析7．如图，在四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________．取AB的中点E，连接PE，EC.因为∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10，所以CE＝5.因为PA＝PB＝13，E是AB的中点，所以PE⊥AB,PE＝12.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以PE⊥平面ABC.因为CE平面ABC，所以PE⊥CE.在Rt△PEC中，PC＝＝13.132.3.3+2.3.4

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解析8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝________时，D1E⊥平面AB1F.连接A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影．∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1.若D1E⊥平面AB1F，则D1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影，∴DE⊥AF.∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.∴当＝1时，D1E⊥平面AB1F.12.3.3+2.3.4

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易错点线面垂直的性质应用不当致误解析9．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线与l垂直D．α与β相交，且交线与l平行若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n,这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．设α∩β＝直线a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因为m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.因为lα，lβ，所以l与a不重合．所以l∥a.综上知，选D.D2.3.3+2.3.4

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易错警示解答本题时，容易忽视α∥β时，可由条件推出m∥n，与m，n为异面直线矛盾，导致错选A.也容易忽视构造辅助平面γ，无法利用线面垂直的性质定理证明线线平行，导致错选C.易错点线面垂直的性质应用不当致误10．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.

2.3.3+2.3.4

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证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.易错点线面垂直的性质应用不当致误证明(3)∵AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF.∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∵CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.2.3.3+2.3.4

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易错警示解答第(1)问时，易对面面垂直性质定理的条件叙述不完整导致证明不严谨而失分；解答第(2)问时，易忽视说明BE在平面PAD之外，AD在平面PAD之内，导致证明不严谨而失分．应用线面、面面垂直的判定定理或性质定理证明题目时，一定要把定理要求的条件完整地表述出来，定理中要求的条件缺一不可，要养成严谨的解题习惯．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏易错点线面垂直的性质应用不当致误10．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.

2.3.3+2.3.4

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证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.解析8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝________时，D1E⊥平面AB1F.连接A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影．∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1.若D1E⊥平面AB1F，则D1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影，∴DE⊥AF.∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.∴当＝1时，D1E⊥平面AB1F.12.3.3+2.3.4

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