高中数学第二章平面向量2-3-4平面向量共线的坐标表示课件新人教A版必修4

2.3.4平面向量共线的坐标表示必备知识·自主学习导思(1)两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的坐标条件能表示为吗?(2)如果两个非零向量共线,那么怎样通过其坐标判断它们是同向还是反向呢?平面向量共线的坐标表示(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线,当且仅当存在实数λ,使______.(2)如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=_________,当且仅当________=0时,向量a,b(b≠0)共线.a=λbλ(x2,y2)x1y2-x2y1【思考】把x1y2-x2y1=0写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0可以吗?怎样记忆此公式的表达格式?提示:写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,这一公式可简记为:纵横交错积相减.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)向量(-1,3)与向量(-2,6)共线. (

)(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向. (

)(3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线. (

)提示:(1)√.因为(-2,6)=2(-1,3),所以向量(-1,3)与向量(-2,6)共线.(2)×.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.(3)√.向量共线的条件.2.下列向量组中,不共线的向量组是 (

)A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=【解析】选B.A选项中,e1=0e2,C中,e2=2e1,D中,e2=e1,两向量都共线,只有B中不共线.【解析】选B.A选项中,e1=0e2,C中,e2=2e1,D中,e2=e1,两向量都共线,只有B中不共线.3.(教材二次开发:习题改编)已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=________.

【解析】因为a∥b,所以-4-x=0,即x=-4,所以a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).答案:(-2,-1)关键能力·合作学习类型一向量共线的判定与证明(数学运算、直观想象)【题组训练】1.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是 (

)

A.(,-1) B.(-1,-)C.(-,-1) D.(-1,)2.下列各组向量是平行向量的有________.(填序号)

①a=b=(-2,-3);②a=(0.5,4),b=(-8,64);③a=(2,3),b=(3,4);④a=(2,3),b=3.已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断是否共线?如果共线,它们的方向是相同还是相反?【解析】1.选D.方法一:因为a+2b=(,-3),所以×-(-1)×(-3)=0.所以(-1,)与a+2b是共线向量.方法二:因为a+2b=(,-3)=-(-1,),所以向量a+2b与(-1,)是共线向量.【解析】1.选D.方法一:因为a+2b=(,-3),所以×-(-1)×(-3)=0.所以(-1,)与a+2b是共线向量.方法二:因为a+2b=(,-3)=-(-1,),所以向量a+2b与(-1,)是共线向量.2.①所以a∥b.②0.5×64-4(-8)=32+32=64≠0,所以a,b不平行.③2×4-3×3=8-9=-1≠0,所以a,b不平行.④2×2-3×=4+4=8≠0,所以a,b不平行.答案:①3.=(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).因为(-2)×(-6)-3×4=0.所以,共线.又=-2,所以,方向相反.综上,与共线且方向相反.【解题策略】(1)向量共线的判定方法.(2)要判定两直线平行,先判定两向量平行,再说明两向量上的相关点不共线.【补偿训练】1.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量共线的单位向量是 (

)A.(3,-4) B.C.(-6,8) D.【解析】选B.因为=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共线的条件可知,A,B,C选项中的向量均与共线,但A,C中向量不是单位向量.2.已知点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB与直线CD平行吗?【解析】因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2),因为2×2-1×4=0,所以∥.又=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),2×4-2×6≠0,所以与不平行.所以A,B,C不共线,AB与CD不重合.所以直线AB与CD平行.类型二利用向量共线的坐标求参数(直观想象、数学运算)【题组训练】1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为 (

)

A. B.2 C.- D.-22.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)∥(a-2b),则实数x的值为 (

)A.-3 B.2 C.4 D.-63.若向量a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b.(1)若u=3v,求x.(2)若u∥v,求x,并判断u与v是同向还是反向.【解析】1.选D.ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),由ma+4b与a-2b共线,有-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.2.选D.因为(a+b)∥(a-2b),a+b=(x+3,1),a-2b=(x-6,4),所以4(x+3)-(x-6)=0,解得x=-6.3.因为a=(1,1),b=(x,1),所以u=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3);v=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1).(1)u=3v⇔(2x+1,3)=3(2-x,1)⇔(2x+1,3)=(6-3x,3)⇔2x+1=6-3x.解得x=1.(2)u∥v⇔(2x+1)×1-3(2-x)=0.解得x=1.所以u=(3,3),v=(1,1),所以u=3v,所以u与v同向.【解题策略】(1)已知向量共线求参数问题中,参数一般设置在两个位置:一是在向量坐标中含有;二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示.解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式求解.(2)利用向量平行的条件处理求值问题的思路.①利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解.②利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.【补偿训练】1.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ= (

)

A. B. C.1 D.2【解析】选B.由题意可得a+λb=(1+λ,2).由(a+λb)∥c,得(1+λ)×4-3×2=0,解得λ=.2.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则等于 (

)

A.- B. C.-2 D.2【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(-1,2),得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1).由ma+nb与a-2b共线,得所以3.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【解析】方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以解得k=λ=-.当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-a+b=-(a-3b),因为λ=-<0,所以ka+b与a-3b反向.方法二:由题知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),因为ka+b与a-3b平行,所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得k=-.这时ka+b==-(a-3b).所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.类型三向量共线的几何应用(数学运算、逻辑推理)角度1由向量共线求交点的坐标

【典例】如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.【思路导引】先设出点P的坐标,然后利用共线条件求解.【解析】方法一:设=t=t(4,4)=(4t,4t),则=-=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),=-=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由,共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得t=.所以=(4t,4t)=(3,3),所以P点坐标为(3,3).方法二:设P(x,y),则=(x,y),=(4,4).因为,共线,所以4x-4y=0.①又=(x-2,y-6),=(2,-6)且向量,共线,所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解①②组成的方程组,得x=3,y=3,所以点P的坐标为(3,3).【变式探究】如图,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),求AC与BD的交点P的坐标.

【解析】设=λ=λ(11-1,6-2)=(10λ,4λ).易得=(-11,1),所以=(10λ-11,4λ+1).又=(-8,4),而共线,所以4×(10λ-11)+8×(4λ+1)=0,解得λ=.设点P的坐标为(xp,yp),所以=(5,2)=(xp-1,yp-2),所以即故点P的坐标为(6,4).角度2三点共线问题

【典例】已知A(1,-3),B,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是(

)

A.(-9,1) B.(9,-1) C.(9,1) D.(-9,-1)【思路导引】设出点C的坐标,因为A,B,C三点共线,写出向量由向量共线的条件结合选项求解.【解析】选C.设点C的坐标是(x,y),因为A,B,C三点共线,所以∥.因为=-(1,-3)==(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),所以7(y+3)-(x-1)=0,整理得x-2y=7,经检验可知点(9,1)符合要求.【解题策略】(1)三点共线问题的实质是向量共线问题,其解题思路是:先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线,由于两向量过同一点,所以两向量所在的直线必重合,即三点共线.(2)求解直线或线段的交点问题,常规方法为写出直线或线段对应的直线方程,建立方程组求解,而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量,且思路简单明快.【题组训练】

1.(2020·南充高一检测)已知A(1,1),B(2,-4),C(x,-9),且∥,则x=(

)A.1 B.-1 C.3 D.-3【解析】选C.由已知得=(1,-5),=(x-1,-10),因为∥,所以-10+5(x-1)=0,解得x=3.2.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________.

【解析】由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b.由

又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,所以答案:

3.(2020·临沂高一检测)已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a与b之间的数量关系.(2)若=2,求点C的坐标.【解析】(1)若A,B,C三点共线,则与共线.=(3,-1)-(1,1)=(2,-2),=(a-1,b-1),所以2(b-1)-(-2)(a-1)=0,所以a+b=2.(2)若=2,则(a-1,b-1)=(4,-4),所以所以所以点C的坐标为(5,-3).【拓展延伸】若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A,B,C三点共线⇔(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1)或(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)或(x3-x2)(y3-y1)=(x3-x1)(y3-y2).【拓展训练】证明上述命题的正确性.【证明】若三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线,则有=λ,从而(x2-x1,y2-y1)=λ(x3-x2,y3-y2),即(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),显然由=μ,也可得到(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)或由=γ,得到(x3-x2)(y3-y1)=(x3-x1)(y3-y2).当这些条件中有一个成立时,A,B,C三点共线.1.下列满足平行的一组向量是 (

)

A.a=(1,-4),b=(504,-2016)B.a=(2,3),b=(4,-6)C.a=(1,2),b=(-1008,2016)D.a=(-1,4),b=(3,12)【解析】选A.a,b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb(b≠0),经验证,只有A选项满足条件.课堂检测·素养达标2.(教材二次开发:习题改编)若A(2,-3),B(-2,5),C(6,y)三点共线,则y= (

)A.11 B.-11 C.6 D.-6【解析】选B.=(-4,8),=(4,y+3).因为∥,所以-4(y+3)-32=0,所以y=-11.3.已知向量a=(x,1),b=(1,x)方向相同,则x=________.

【解析】依题意知a=λb(λ>0),所以(x,1)=(λ,λx).所以解得λ=1,x=1.答案:14.设a=b=且a∥b,则锐角α=________.

【解析】因为a∥b,所以得到sinα=,而α为锐角,所以α=45°.答案:45°5.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M为圆C上的任意一点,点N在线段MA的延长线上,且,求点N的轨迹方程.【解析】如图所示,设M(x0,y0),N(x,y),由,得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).所以代入方程(x-3)2+(y-3)2=4,整理得x2+y2=1.所以所求的轨迹方程为x2+y2=1.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversa