教育统计学第九章-卡方检验

第九章

χ2检验—计数数据的分析方法一、χ2

检验的意义二、χ2

检验的基本公式三、配合度检验四、独立性检验五、品质相关χ2检验的意义1、χ2检验方法能同时检验一个因素两项或多项分类的实际观察数与某理论次数分布是否相一致的问题，或说有无显著差异的问题。2、χ2检验方法还能用于检验两个或两个以上因素各有多项分类之间是否有关联或是否具有独立性的问题。χ2检验的基本公式式中fo为实际观察次数，即实计数；

fe为理论次数χ2检验的基本公式根据1899年统计学家皮尔逊推导的配合适度的理论公式，即：实际观察次数（fo）与某理论次数（fe，又称期望次数）之差的平方再除以理论次数乃是一个与χ2分布非常近似的次数分布。当fe越大（fe>=5），接近的越好。Fo与fe相差越大，χ2越大。Fo与fe相差的越小，χ2值也小。因此，它能够用来表示fo与fe相差的程度，同时，它也具备与χ2分布相同的一些特点：fo与fe之差的平方再除以fe的值，随自由度而变化，变化的趋势与χ2分布一样。关于χ2分布一、χ2分布的直观意义二、χ2分布的特点三、χ2分布表的编制与使用一、χ2分布的直观意义从一个服从正态分布的总体中，每次随机抽取容量为n的样本，将n个随机变量X1，X2，……Xn分别平方，即可得到X12，X22，……Xn2，然后计算，这样可抽取无限多个容量为n的样本，可求得无限多个，也可计算其标准分数及其平方及n个标准分数的平方和，那么，这无限多个n个随机变量X的平方和或标准分数的平方和的分布，就是χ2分布。χ2分布的表达式χ2分布的表达式1、若正态总体的平均数已知，则或此时自由度为n。2、若正态总体的平均数未知，则用样本平均数作为总体平均数的估计值：此时自由度为n-1。返回二、χ2分布的特点1、χ2分布是一个正偏态分布。随自由度的不同，其分布曲线的形状不同，自由度越小，分布越偏斜，自由度很大时，接近正态分布。当df∞时，χ2分布即为正态分布。可见，χ2分布是一族分布，正态分布是其中一特例。2、χ2值都是正值。3、χ2分布的和也是χ2分布其自由度为即χ2分布具有可加性。4、χ2分布的平均值和方差：如果df>2，这时χ2分布的平均数：μχ2

=df

方差：σ2χ2

=2df5、χ2分布是连续型分布，但有些离散型的分布也近似χ2分布（χ2检验就是利用这一特点而来。）返回三、χ2分布表的编制与使用χ2分布表是根据χ2分布函数计算出来的，χ2分布曲线下的面积都是1。但随自由度不同，同一χ2值以下或以上所含面积与总面积之比率不同。故一般χ2表，要列出自由度、及某一χ2值以上χ2分布曲线下的概率。见卡方值表。卡方值表：表的左列为自由度，表的最上一行是概率值，即不同自由度时，某χ2以上的概率。表中所列为不同自由度及概率下的χ2值。例如：当df=1时，在χ2=0.02以上的概率为90%，那么在其以下的概率为1-0.90=0.10。它的意思是从一个正态分布总体中，每次随机抽取容量为1（μ已知）或容量为2（μ未知）的样本，计算Z2或∑Z2，这无限多个Z2的分布即为χ2分布。其χ2值有90%的可能（或90%的样本）比0.02大，同时有10%的可能比0.02小。χ2分布的应用：返回关于配合度检验一、它主要用于实际观察次数与某理论次数是否有差别的分析。它适用于一个因素多项分类的计数资料。二、配合度检验的一般问题:(1)统计假设：Ho：fo=feH1:fo≠fe

(2)应用基本公式计算χ2值，若计算的χ

2值大于表中的χ

20.05或χ

20.01值，就拒绝Ho，推论fo与fe之间差异显著。若χ

2值小于χ

20.05或χ

20.01值，则接受Ho，认为fo与fe之间差异不显著。

(3)自由度的确定：通常为资料的分类或分组的数目，减去计算理论次数时所用统计量的个数。关于连续性校正当卡方检验用于计数资料时，所计算出的卡方值实际上是非连续性的，尤其当自由度=1，理论次数小于5时，其离散性更明显，而卡方分布本质上是连续性随机变量的分布形式，因此，当df=1，fe<5时，必须对连续性进行修正。Yates连续性校正公式：配合度检验的应用举例（一）

——检验无差假说随机抽取60名学生，问他们高中要不要文理分科，回答赞成的39人，反对的21人，问对分科的意见能否说有显著差异？配合度检验的应用举例（二）某项民意测验，答案有同意、不置可否、不同意三种，调查结果如下表：同意不置可否不同意

24人12人12人问：三种意见的人数是否有显著不同？配合度检验的应用举例（三）

——检验假设分布的概率某班学生50人，体检结果按一定标准划分为甲、乙、丙三类。各类人数分别为甲16人，乙24人，丙10人。问：该班学生的身体状况是否符合正态分布？假设-3σ--+3σ间包含了全体数据,则若将全体数据分成等距的三类,每一类占的比率分别应为:甲:0.15866乙:0.68268丙:0.15866,因此三类的理论次数分别为:8人,34人,8人.配合度检验的应用举例（四）

——检验假设分布的概率某校长的经验：高中生升学的男女比例为2：1，今年的升学情况是男生85人，女生35人，问今年升学的男女生比例是否符合该校长的经验？配合度检验的应用举例（五）

——连续变量分布的吻合性检验(139.9;7.5)分数(1)各组限的Z值

(2)平均值至各组限间的面积(3)各组的正态面积(4)各组理论频数(fe)(5)实际频数(f0)(6)f0-fe(7)(f0-fe)2(8)(f0-fe)2/fe(9)-∞122-126-130-134-138-142-146-150-154-158-+∞-∞-2.39-1.85-1.32-0.79-0.250.280.811.351.882.41--2.95)+∞0.50000.49160.46780.40660.28520.09870.11030.29100.41150.46990.49200.49840.50000.00840.02380.06120.12140.18650.20900.18070.12050.05840.02210.00640.00161.0082.8567.34414.56822.38025.08021.68414.4607.0082.6520.7680.1920413910223320116411101.792-4.568-0.3807.920-1.684-3.4600.3803.21120.8670.14462.7262.83611.9720.1440.2861.4320.0062.5010.1310.8280.014总和1.0000120.00120χ2=5.198独立性检验的应用举例（一）

某校对学生的课外活动内容进行调查，结果整理成下表：问性别与课外活动内容的选择是否有关?

体育 文娱 阅读 男生21 1123

女生6729 554221(15.3)11(10.2)23(29.5)6(11.7)7(7.8)29(22.5)独立性检验的应用举例（二）

——四格表（2×2）独立性检验之一（一）独立样本的四格表公式：

2=N（AD-BC）2/(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)

df=1

因素A

因分类1分类2

素分类1ABB分类2CD

例：今随机抽取90人，按男女不同性别进行分类，将学生成绩分为中等以上及中等以下两类。结果如下表。问男女生在学业水平上是否有关联？学业水平因素

性中等以上中等以下别男2317

因女2822

素一、所谓相关样本，指同一组被试在前后两次实验或调查中的两个项目相同，这时前后两次结果则相互影响，而不独立。这样的四格表称为相关的四格表。二、相关样本四格表

2检验公式为：

2=（A-D）2/（A+D）

式中，A、D为四格表中两次实验或调查中分类项目不同的那两个格的衬计次数。详见下页例。独立性检验的应用举例（三）

——四格表独立性检验之二：相关样本四格表

2检验——四格表（2×2）独立性检验之二（二）相关样本例：对100名学生先后测验两次，结果整理成下表：

测验一错对测对555

验二错2515问：两次测验结果在对错上差异是否显著？

理论次数小于5时，四格表

2的近似校正（1）独立的四格表：

2=N（AD-BC-N/2）2/（A+B）（C+D）（A+C）（B+D）（2）相关的四格表：

2=（