2025版新教材高中数学同步练习16余弦定理正弦定理的综合应用新人教A版必修第二册

同步练习16余弦定理、正弦定理的综合应用必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a＝eq\r(2)，c＝eq\r(5)，B＝60°，则△ABC的面积为()A．eq\f(\r(30),2)B．eq\f(\r(10),4)C．eq\f(\r(10),2)D．eq\f(\r(30),4)2．△ABC中．已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则角B＝()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．[2024·河南驻马店高一期中]在△ABC中，a＝4，b＝1，cosC＝eq\f(1,2)，则△ABC的面积为()A．eq\f(\r(3),2)B．2eq\r(3)C．eq\r(3)D．14．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S△ABC＝3，a＝2，b＝4，则cosC＝()A．eq\f(\r(7),4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(7),2)5．[2024·河南商丘一中高一期中]△ABC的内角A，B，C的对边是a，b，c，若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C的大小为()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(3π,4)D．eq\f(π,6)6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2＋c2－a2＝bc，若sin2A＋sin2B＝sin2C，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°7．[2024·山东济宁一中高一期中]已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝eq\r(10)，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(3,4)B．－eq\f(17,2)C．eq\f(17,2)D．eq\f(3,4)8．(多选)在△ABC中，B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，则△ABC的面积是()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)9．(多选)如图，△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq\r(3)(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝eq\f(π,3).若点D在△ABC外，DC＝1，DA＝3，则下列说法中正确的有()A．∠ABC＝eq\f(π,3)B．∠ACB＝eq\f(π,3)C．四边形ABCD面积的最大值为eq\f(5\r(3),2)＋3D．四边形ABCD面积无最大值二、填空题(每小题5分，共15分)10．在△ABC中，AB＝1，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1，则△ABC的面积为________．11．[2024·河北唐山高一期末]△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，其面积为S.若4S＝a2＋c2－b2，则角B＝________．12．[2024·安徽亳州二中高一期末]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝6，C＝60°，则△ABC的面积为________．三、解答题(共20分)13．(10分)[2024·河北石家庄二中高一期中]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，b＝4，且8sinAcosC＝asinB.(1)求角C；(2)若AD为△ABC的中线，且AD＝eq\f(7,2)，求△ABC的面积．14．(10分)[2024·河南南阳高一期中]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量e＝(b，c)，f＝(sinC，sinB)，g＝(c－a，b－a).(1)若e∥f，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若e⊥g，a＝2，A＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积．关键实力提升练15.(5分)[2024·山东德州高一期中]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分别为S1，S2，S3且S1－S2＋S3＝eq\f(\r(3),2)，若b＝eq\r(3)c，cosC＝eq\f(2\r(2),3)，则△ABC的面积为()A．eq\f(\r(2),4)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2)D．2eq\r(2)16.(5分)[2024·福建福州高一期中]已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且满意(a＋c＋b)(a－b＋c)＝ac，则角B＝________，若b＝eq\r(3)，则△ABC的面积的最大值为________．17．(10分)[2024·河南漯河高一期中]已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA(a2＋b2－c2)＝ab(2sinB－sinC).(1)求A；(2)求sinB＋sinC的取值范围．同步练习16余弦定理、正弦定理的综合应用必备学问基础练1．答案：D解析：因为a＝eq\r(2)，c＝eq\r(5)，B＝60°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(30),4).故选D.2．答案：D解析：由面积公式S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2×sinB＝eq\f(\r(3),2)，解得sinB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝60°或120°.故选D.3．答案：C解析：在△ABC中，因为cosC＝eq\f(1,2)，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(3),2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).故选C.4．答案：A解析：由题设eq\f(1,2)absinC＝4sinC＝3，则sinC＝eq\f(3,4)，又三角形ABC为锐角三角形，所以cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(\r(7),4).故选A.5．答案：A解析：由余弦定理得：a2＋b2－c2＝2abcosC，△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).故选A.6．答案：A解析：已知b2＋c2－a2＝bc，结合余弦定理得出cosA＝eq\f(1,2)，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).已知sin2A＋sin2B＝sin2C，结合正弦定理得a2＋b2＝c2，则C＝eq\f(π,2).所以B＝π－A－C＝eq\f(π,6)，故B＝30°.故选A.7．答案：B解析：在△ABC中由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，即32＝(eq\r(10))2＋42－2×eq\r(10)×4cosC，解得cosC＝eq\f(17,8\r(10))，所以·＝||·||cos(π－C)＝－||·||cosC＝－4×eq\r(10)×eq\f(17,8\r(10))＝－eq\f(17,2).故选B.8．答案：AB解析：∵△ABC中，B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，∴eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(2\r(3),sinC)＝eq\f(2,sin30°)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2)，因为0°<C<150°，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，∴△ABC的面积为S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×sin90°＝2eq\r(3)，或S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×sin30°＝eq\r(3).故选AB.9．答案：ABC解析：因为eq\r(3)(acosC＋ccosA)＝2bsinB，由正弦定理得：eq\r(3)(sinAcosC＋sinCcosA)＝2sin2B，所以eq\r(3)sin(A＋C)＝2sin2B，整理得eq\r(3)sinB＝2sin2B，所以sinB＝eq\f(\r(3),2).因为∠CAB＝eq\f(π,3)，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，故B＝eq\f(π,3)，所以C＝π－A－B＝eq\f(π,3)，因此A和B正确；四边形ABCD面积等于S△ABC＋S△ACD＝eq\f(\r(3),4)AC2＋eq\f(1,2)AD·DC·sin∠ADC＝eq\f(\r(3),4)(AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC)＋eq\f(1,2)AD·DC·sin∠ADC＝eq\f(\r(3),4)(9＋1－6·cos∠ADC)＋eq\f(1,2)×3sin∠ADC＝eq\f(5\r(3),2)＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ADC－\f(π,3)))≤eq\f(5\r(3),2)＋3.因此C正确，D错误．故选ABC.10．答案：eq\r(2)解析：依题意可得·＝||·||·cos(π－B)＝1×3×(－cosB)＝－1，解得cosB＝eq\f(1,3)，又B∈(0，π)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(2\r(2),3)，所以△ABC的面积为S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)×1×3×eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2).11．答案：eq\f(π,4)解析：因为4S＝a2＋c2－b2，则4×eq\f(1,2)acsinB＝2accosB，因为0<B<π，则cosB＝sinB>0，所以tanB＝1，解得B＝eq\f(π,4).12．答案：eq\f(\r(3),2)解析：因为(a＋b)2－c2＝6，C＝60°，所以a2＋b2－c2＝6－2ab，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(6－2ab,2ab)＝eq\f(1,2)，解得ab＝2，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).13．解析：(1)由题可得2bsinAcosC＝asinB，由正弦定理得2abcosC＝ab，则cosC＝eq\f(1,2).因为0<C<π，所以C＝eq\f(π,3).(2)如图，在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD，即eq\f(49,4)＝16＋CD2－4CD，解得：CD＝eq\f(3,2)或CD＝eq\f(5,2)，所以a＝3或a＝5.①当a＝3时，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3×4×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，②当a＝5时，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×5×4×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，故△ABC的面积为3eq\r(3)或5eq\r(3).14．解析：(1)因为e＝(b，c)，f＝(sinC，sinB)，且e∥f，所以bsinB＝csinC，由正弦定理可得b·eq\f(b,2R)＝c·eq\f(c,2R)，所以b2＝c2，所以△ABC为等腰三角形．(2)因为e＝(b，c)，g＝(c－a，b－a)，且e⊥g，所以(b，c)·(c－a，b－a)＝2bc－a(b＋c)＝0，又a＝2，则bc＝b＋c，因为a＝2，A＝eq\f(π,3)，则由余弦定理可得4＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)，解得bc＝4，所以△ABC的面积为S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).关键实力提升练15．答案：A解析：因为S1＝eq\f(1,2)a2sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),4)a2，同理可得S2＝eq\f(\r(3),4)b2，S3＝eq\f(\r(3),4)c2，所以，S1－S2＋S3＝eq\f(\r(3),4)(a2－b2＋c2)＝eq\f(\r(3),2)，所以，a2＋c2－b2＝2①，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2\r(2),3)，即a2＋b2－c2＝eq\f(4\r(2)ab,3)②，又因为b＝eq\r(3)c③，联立①②③可得a＝eq\r(3)，b＝eq\f(\r(6),2)，c＝eq\f(\r(2),2)，因为cosC＝eq\f(2\r(2),3)，则C为锐角，且sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(1,3)，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(6),2)×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(2),4).故选A.16．答案：eq\f(2π,3)eq\f(\r(3),4)解析：由(a＋c＋b)(a－b＋c)＝ac，整理得a2＋c2－b2＝－ac，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,2)，由B∈(0，π)，得B＝eq\f(2π,3).因为b＝eq\r(3)，所以a2＋c2－3＝－ac，即a2＋c2＝3－ac≥2ac，即ac≤1，当且仅当a＝c＝1时等号成立，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac≤eq\f(\r(3)