2024–2025学年九年级数学暑假提升讲义（北师大版）第20讲 相似三角形的性质（原卷版）

第20讲相似三角形的性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；2．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；3．掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用。一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3.相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.考点一：利用相似三角形对应角相等求角例1．（2023九年级上·广东茂名·竞赛）若，，，则．【变式1-1】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是、，那么另一个三角形的最大内角是度．【变式1-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知，相似比为，若△ABC中的最大角是，则中的最大角为°．【变式1-3】（2024·重庆大渡口·一模）如图，，若，，则的大小为．考点二：利用相似三角形对应边成比例求边例2.（2023·甘肃天水·模拟预测）已知，，若，则．【变式2-1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，，且，，则．【变式2-2】（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为．【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·期中）已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则.考点三：利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例例3.（2024九年级·全国·竞赛）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应中线的比为．【变式3-1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知，和是它们的对应高线．若，，则与的相似比是．【变式3-2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）已知两个相似三角形对应角平分线的比为，那么这两个三角形对应高的比是．【变式3-3】（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则．考点四：利用相似三角形对应周长的比成比例例4.（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为．【变式4-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且与的相似比为，则与周长的比为．【变式4-2】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知两个相似三角形的相似比是，如果较小的三角形的周长为9，那么较大的三角形的周长为．【变式4-3】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为．考点五：利用相似三角形对应面积的比成比例例5.（2024九年级下·江苏·专题练习）若两个相似三角形的相似比为，则面积比为；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为．【变式5-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，与的面积比为，则与的周长比为．【变式5-2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知两个相似三角形的相似比为，其中一个三角形的面积为20，那么另一个三角形的面积为．【变式5-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为．考点六：相似三角形的性质与判定综合问题例6.（2024·福建福州·模拟预测）已知，它们的面积比为，是的角平分线，是的角平分线．(1)求证：；(2)求的值．【变式6-1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且．

(1)求的值．(2)求与四边形的面积比．【变式6-2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．(1)求证：；(2)若，，直接写出，的周长；(3)在（2）的条件下，求的长．【变式6-3】（23-24九年级下·江苏连云港·期中）【实践探究】（1）如图1，矩形中，交于点E，则的值是______；【变式探究】（2）如图2，中，为边上一点，连接，交于点E，若，求的长；【灵活应用】（3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______．

一、单选题1．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为（

）A． B．8 C．10 D．162．（2024·重庆·一模）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（

）A． B． C． D．3．（2024·云南玉溪·三模）如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（

）A．16 B．25 C．5 D．44．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，，，当的长度为时，和相似(

)A．9 B．6 C．4或9 D．6或95．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则和的面积的比为（）A． B． C． D．二、填空题6．（23-24九年级上·广东清远·期中）若，且面积之比为，则相似比为．7．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、分别在的边、上，连接，，若，，那么的度数为．

8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是；（2）的周长是．9．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为．10．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知三角形纸片（）中，，，将三角形纸片按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线上，记为点，折痕为．若以点，F，C为顶点的三角形与相似，则的长是．

三、解答题11．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，(1)求证：；(2)若，求线段长．12．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，在和中，，．(1)求证：；(2)若，，求的长．13．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，且．(1)求证：；(2)若，且的周长为12，求的周长．14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点是上一点，连结，已知．(1)求证：．(2)若的面积为15，求的面积．15．（22-23九年级上·陕西西安·期中）探究题：(1)问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两