2020-2021学年高中数学第二册模块素养检测 含解析

源馨提示：

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动氮标滚轴，调节合适

的观看比例，答案解析附后。关闭Word文格返回原板块.

模块素系检测

（120分钟150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每

小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

2

lo复教Z±三-（i为虚教单优）的虚部为（）

A.lB.—1Co±1D.0

【斛析】选B.因为z=g）”；）=—l-i,所以复数z的虚部为-1。

2.当前，国彖正大力建设保障性住房以解决低收入彖庭住房因难

的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入彖庭360户、

270户、180户，假设第一批保障性住房中有90套住房用于解

决这三个社区中90户低收入彖底的住房问题，若采用分层抽样

的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入彖庭的户数

为（）

Ao40B.30C.20D.36

【解析】选A.360X90=40.

360+270+180

3.一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新教

据，若求得新数据的平均数是1.2,方差是4。4,则原来数据的平

均数和方差分别是（）

Ao40.6,lo1B.48.4,4.4

Co81.2,44.4D.78o8,75。6

【解析】选A。设原来数据的平均数和方差分别为5和s,

4.4=22S,

则解得｛2片6.

2x-80=1.2,

4o已知点0,N在△ABC所在平面内，且|而|二|同二|反|,

丽+漉+流=0,则AO,N依次是△ABC的(

A.重心夕卜心B0重心内心

Co外心重心D.外心内心

【解析】选C.由咏|二|丽二|可知，O为ZkABC的外心;由

NA+NB+^C=0,得通=配+汨，取BC边的中点D,则京二元+流=2而，知

A,N,D三点共线，且AN=2ND,故点N是aABC的重心。

5o一只猴子任意能击也脑键盘上的0到9这十个数字键，则它能

击两次(每次只能击一个数字键)得到的两个数学恰好都是3的

僖数的概率为()

A.—Bo-C.—Do-

100501009

【解析】选A.任意^击0到9这十个数字键两次,其得到的所有

结枭为(0,i)(i=0,1,2,…,9)；Q,i"i=0,1,2,…,9)；(2,i)(i=01,2,…,

9)；…；(9,i)9=0』,2,…,9)。故共有100种结枭。两个数字都

是3的僖教的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6；,

C6,9),(9,3),(9,6),(9,9),共有9种.故所求概率为高.

6.如图，已知六核锋P-ABCDEF的底面是正六边形,PA_L平面

ABC,PA=2AB,则下列结抡正确的是()

p

AB

AoPB±AD

Bo平面PAB_L平面PBC

C.直线BC〃平面PAE

Do直线PD与平面ABC所成的角为45。

【解析】选D。选项A,B,C显然错误。因为PA1平面ABC,

所以/PDA是直线PD与平面ABC所成的角.因为ABCDEF是

正六边形，所以AD=2ABo

因为tan/PDA=—=1,

AD2AB

所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.

【补楂训练］

在等腰R3ABC中,AB=BC=1,M为A，C的中点，沿BM杷它

折成二面角，折后A与C的距离为1,则二面角C-BM—A的大

小为（）

Ao30°B.60°C.90°D.1200

【解析】选C。如图所示，

由A'B=BC=1,/A'BC=90°,得A'C=V2.

因为M为A'C的中点，所以MC=AM=；

且CM1BM,AM1BM,所以/CMA为二面角C-BM—A的平面

角。因为AC=1,MC=AM考所以ZCMA=90°.

7.在△ABC中，若（CA+CBJ-（CA—遁）=0,则aABC为（）

A.正三角形B.直角三角形

Co等腰三角形D.形状无法确定

【解析】选C.因为（瓦+3）•（CA-CB）=O,

222

所以。储——CB=0,CA=CB,

所以CA=CB,4ABC为等腰三角形。

［补楂训练］

圆0为匕ABC的外接圆,半径为2,若赢+瓦=2初且I3I=1无I,

则向量或在向量正方向上的投影为（）

Ao1B.2C.3Do4

【解析】选C.因为族+戢=2卮，所以。是BC的中点，故4ABC为

直角三角形。在△AOC中，有|词二|矶所以NB=30°o

由定义，向量或在向量正方向上的投影为IBA|cosB=2V3Xy=3.

8o已知四枝锋S-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD

是正方形且和球心。在同一平面内，当此8枝雄体积取得最大

值时，其表面积等于4+4相，则球。的体积等于（）

Ao吗iRDo8气71

33

Co』D。吟I

33

【解析】选B.由题意可知叩棱雒S-ABCD的所有顶点都在同一

个球面上，底面ABCD是正方形且和球心。在同一平面内，当体

积最大时，可以判定该枝锥为正田枝雄，底面在盛大圆上，可知

底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r,且四棱雄的高

h=r,进而可知此四枝雒的四个侧面均是边长为&r的正三角形，

底面为边长为&r的正方形，所以核四枝雄的表面积为S=4X-

4

(V2r)2+(V2r)2=2V3r2+2r2=(2V3+2Jr2=4+4V3,因此F=2,r=&,

3

所以球0的体积V=±冗r-TCX2&二三三。

333

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分。在每

小题给出的8个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5

分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9。奥林匹克会旗中央有5个套连的圆环，颜色自左至右，上方依

次为蓝、黑、红，下方依次为费、绿，象征着五大洲。在手工

课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、龙五核同学，每

人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()

05^9

A.对立事件

Bo互斥事件

Co不对立事件

D.不互斥事件

【解析】选BC。甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是

互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”

的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.

10o下列说法：①一组数据不可能有两个次数；

②一组数据的方差必须是正数；

③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒

不变；

④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的

频率。

其中错误的有()

Ao①B.②C.③D。④

【解析】选AB.若一组数据中，有两个或几个数据出现的次数相

同且最多，则这几个数据都是这组数据的次教.可见，一组数据的

次数可以不唯一，即①错误.一组数据的方差是标准差的平方，

必须是非负数，即②错误.根据方差的定义知③正确.根据频率分

布直方图的定义知④正确。

11.下列事件中，是K机事件的有()

Ao队集合｛2,3,4,5｝中任取两个元素，其和大于7

B.明年请明节这天下雨

C.物体在地球上不受地球引力

D.盒子中有5个白球,2个红球，队中任取3个球，则至少有1个

白球

【解析】选AB.A,B是成机事件；C是不可能事件;D是必然事件。

12.如图，在校长均相等的正田枝雄P—ABCD中,0为底面正方

形的中心,M,N分别为侧枝PA,PB的中点，判断下列结论正确的

是（）

P

AoPC〃平面0MN

B.平面PCD〃平面0MN

Co0M±PA

D.直线PD与直线MN所成角的大小为90°

【解析】选ABC.连接AC,易得PC//OM,所以PC//平面0MN,

结论A正确.同理PD//ON,所以平面PCDII平面0MN,结论B

正确.由于四枝锥的枝长均相等，所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,

所以PC1PA,又PCIIOM,所以OM1PA,结论C正确.由于M,N

分别为侧枝PA,PB的中点，所以MN//AB。又田边形ABCD

为正方形，所以AB//CD,所以直线PD与直线MN所成的角即

为直线PD与直线CD所成的角，即为NPDC.又三角形PDC为等

边三角形，所以NPDC=60°,故D错误。

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.杷答案填在

题中的横线上）

13oa为正实数，i为虚数单核，—=2,«,Ja=。

I

【解析】史上竺*上1—ai,

II•（-1）

2

则—i=|1—ai|=Va+1=2,

所以a2=3.

又因为a为正实数，所以a=V5。

答嚎:我

140如图所示，是在某一年全国少数民族运动会上，七核评委

为票民族舞蹈运动员打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分

和一个最低分后，所剩数据的平均数为，方差为

79

844647

93

【解析】七核评委为禁民族舞蹈运动员打出的分数是：79,84,84,

86,84,87,93,去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据是

84,84,86,84,87,平均分等于gf84+84+86+84+87；=85,

则方差s2=-[3(84—85)2+C86-85J2+(87-85)2]=1.6.

5

答嚎：851.6

15o已知a,b表示不同的直线,a,P,Y表示不重合的平面。

①若aCip=a,bu%aJ_b，则a_L。；

②若aua,a垂直于P内任意一条直线，如aJ_0;

③若a_L[3,anp=a,aAy=b,贝1a±b;

④若a_La,bJ_p,a/7b,则a〃。.

上述命题中,正确命题的序号兵_________O

【解析】对①可率反例，如图，需bl6才能推出a16；对⑶可攀

反例说明，当丫不与a,0的支线垂直时，即可知a,b不垂直；

根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.

答案：②④

16.已知两点A(—1,0),BM,V3)OO为坐标原点，点C在第

一象F艮，且NAOC=120。，设反，则入=.

【解析】由题意，得比二—3(—1,0)+九(—1,V5)=(3—九,V3九),

因为NAOC=120°,

oA・ol1

所以|OA||OCl=-

即I等三,

J(3-4)2+3//

解得九、。

答秦日

=、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文

字说明、证明过程或演算步骤)

17.no分)青诲玉树发生地震后，为了重建，对某项工程进行克

林，现共有6彖企业参与竞标，其中A企业来自辽宇省,B,C

两彖企业来自山东省,D,E,F三彖企业来自河南酒，此项工程需

要两彖企业联合施工，假设每彖企业中标的概率相同。

(1)列举所有企业的中标情况；

(2)在中标的企业中，至少有一彖来自山东酒的概率是多少？

【解析】(1)所有企业的中标情况为：

AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,

EF.共15种.

(2J在中标的企业中,至少有一彖来4山东省的情况有：AB,AC,

BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,共9种，在中标的企业中,至少有

一彖来4山东省的概率是P=2=|.

18.(12分)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,

b,c,且满足V5a-2bsinA=0。

(1)求角B的大小;

(2)若a+c=5,且a>c,b=V7,求品•说的值。

【解折】(1)因为V5a—2bsinA=0,

所以VSsinA-2sinBsinA=0,

因为sinAW0,所以sinB=y,

又B为锐角，所以B=p

(2J由(1)知，B=%b=式，

所以根据余弦定理将7=a?+c2—2accos*

整理得(a+c>—3ac=7,又a+c=5.

所以ac=6,又a〉c,所以a=3,c=2,

b2+c2-a2_7+4-9_V7

于是cosA-

2bc4-7714

所以技•AC=\ABI|ACIcosA=2XV7X—=1.

14

19oC12分)如图，直三棱柱ABC-AiBiCi中,D,E分别是AB,BBi

的中点。

门)证明:BCi〃平面AiCD;

(2)设AA尸AC=CB=2,AB=2&,求三核锋C—AiDE的体积。

【解析】门)连接ACi灾AiC于AF,连接DF,

则F为ACi的中点o

又D是AB的中点，则BCiIIDF.

因为DFu平面AiCD,BCi。平面AiCD,

所以BCi//平面AiCD.

(2J因为ABC—AiBiCi是直三棱柱，所以AAilCD.

因为AC=CB,D为AB的中点,

所以CD1AB.5LAAiAAB=A,

所以CDJ_平面ABBiAio

由AAi=AC=CB=2,AB=2衣得

ZACB=90°,©»=&人]=遥,口£=6八田=3,故AiD2+DE2=AiE2,

即DElAiD.

所以V三棱锥0AlDE=[X，<&><J3X&=1。

20o（12分）对禁校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，

随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的

次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图

如下:

频频

分组

教率

[10,0.2

10

15)5

[15,2

25n

「20

mp

,25)P

[25,0.0

2

30)5

合计M1

(1)求出表中M,p及图中a的值；

(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服

务的次数在区间flO,15；内的人数。

【解析】⑴由分组内的频数是频率是知，

110,15)10,0.25-M=0o

25,所以M=40o

因为频数之和为40,所以10+25+m+2=40,解得m=3,故p=-^=^=0o

075.

因为a是对应分组£15,20)的频率与组距的商，所以@=彘=0.125.

(2)因为该校高一学生有360人，分组£10,15)内的频率是0.25,

所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数

为360x0.25=90.

21.112分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的

边，且V5a=2csinA。

(1J确定角C的大小;

(2)若c=e,求△ABC周长的取值范围。

【解析】(1)已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边，由V5a=2csin

A,得V5sinA=2sinCsinA,

又sinA#0,则sinC=,所以C三或C=y,

因为△ABC为锐角三角形，所以C二宇舍去,

所以c=-.

3

(2)因为c=V5,sinC=*所以由正弦定理得：

a_b_c

sinAsinBsinC立'

2

即a=2sinA,b=2sinB,

又A+B=TT