2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型四 第21题与圆有关的证明与计算 (含答案)

2024天津中考数学二轮重难题型专题训练题型四第21题与圆有关的证明与计算类型一角度问题典例精讲例1已知AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP交⊙O于点C，连接BC.(Ⅰ)如图①，若∠P＝20°，求∠B的度数；(Ⅱ)如图②，过点A作弦AD⊥OP于点E，连接DC，若OE＝eq\f(1,2)CD，求∠P的度数．例1题图【思维教练】(Ⅰ)要求∠B的度数，可根据圆周角与圆心角的关系求∠AOP的度数，要求∠AOP的度数，由切线的性质结合∠P已知即可求解；(Ⅱ)要求∠P的度数，可根据切线的性质求∠POA的度数，要求∠POA的度数，需连接DB，OD，由垂径定理和三角形中位线的性质即可得到CD＝DB，进而得到eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DB,\s\up8(︵))，即可求解．【自主解答】针对演练1.已知AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°.(Ⅰ)如图①，求∠CAB的度数；(Ⅱ)如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E，求∠E的大小．第1题图2.已知AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，以AD为直径作⊙O，分别交AB于点M，交BC于另一点E.(Ⅰ)如图①，连接AE，若AE＝AM，求∠EAD的度数；第2题图①(Ⅱ)如图②，过点M作⊙O的切线交BC于点N，过点D作⊙O的切线交MN于点G，若∠C＝50°，求∠DGN的度数．第2题图②3.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点P，∠P＝38°.(Ⅰ)如图①，若点D为eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，求∠EDO的大小；(Ⅱ)如图②，若DO∥AC，求∠EDO的大小．第3题图4.已知在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°.(Ⅰ)如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；(Ⅱ)如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F.求∠F的大小．第4题图5.已知AB为⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC，AC.(Ⅰ)如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小；第5题图①(Ⅱ)如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE.若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．第5题图②6.在⊙O中，AB是直径，点C、D是AB上方的圆弧上的点，∠ADC＝20°.(Ⅰ)如图①，若CD∥AB，求∠CAB和∠ACD的大小；(Ⅱ)如图②，若AD平分∠CAB，过点C作⊙O的切线，与BD的延长线交于点E，求∠E的大小．第6题图

类型二线段问题典例精讲例2已知AB为⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，AD的延长线与BC的延长线交于点P，连接CD，∠CAB＝30°.(Ⅰ)如图①，若eq\o(CB,\s\up8(︵))＝2eq\o(CD,\s\up8(︵))，AB＝4，求AD的长；(Ⅱ)如图②，过点C作⊙O的切线交AP于点M，若CD＝AD＝6，求CM的长．例2题图【思维教练】(Ⅰ)要求AD的长，需先构造直角三角形，连接DB，由eq\o(CB,\s\up8(︵))＝2eq\o(CD,\s\up8(︵))知∠CAD与∠CAB之间的关系，进而求得∠DAB的大小，再在Rt△ADB中解直角三角形即可求解；(Ⅱ)要求CM的长，需先构造直角三角形，连接OC，由直径所对的圆周角为90°可知△ACB是直角三角形，由四点共圆可知∠ADC，已知AD＝CD，可解得∠DAC和∠DCA，进而解得∠OCD，AD∥OC，由切线的性质和AD∥OC得出∠DMC＝90°，再在Rt△CDM中解直角三角形即可求解．【自主解答】针对演练1.如图①，AB是⊙O的弦，OE⊥AB，垂足为P，交eq\o(AB,\s\up8(︵))于点E，且OP＝3PE，AB＝4eq\r(7).(Ⅰ)求⊙O的半径；(Ⅱ)如图②，过点E作⊙O的切线CD，连接OB并延长与该切线交于点D，延长OA交CD于C，求OC的长．第1题图2.已知点A、C在半径为2的⊙O上，直线AB与⊙O相切，∠OAC＝30°，连接AC与OB相交于点D.(Ⅰ)如图①，若AB＝BD，求CD的长；(Ⅱ)如图②，OB与⊙O交于点E，连接CE，若CE∥OA，求BE的长．第2题图参考答案类型一角度问题典例精讲例1解：(Ⅰ)∵PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB＝90°，∴∠P＋∠AOP＝90°.∵∠P＝20°，∴∠AOP＝90°－∠P＝70°，∴∠B＝eq\f(1,2)∠AOP＝35°；(Ⅱ)如解图，连接DB，OD，∵AD⊥OP于点E，∴AE＝ED，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∵OA＝OB，∴OE＝eq\f(1,2)DB.∵OE＝eq\f(1,2)CD，∴CD＝DB，∴eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DB,\s\up8(︵))，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°.∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，∴∠P＝90°－∠AOC＝30°.例1题解图针对演练1.解：(Ⅰ)如解图①，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ABC＝∠ADC＝26°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝64°；第1题解图①(Ⅱ)如解图②，连接OC，∵EC与⊙O相切于点C，OC为⊙O的半径，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°.∵∠AOC＝2∠ADC＝52°，∴∠E＝90°－∠AOC＝38°.第1题解图②2.解：(Ⅰ)如解图①，连接MD.∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠AMD＝90°.∵AE＝AM，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AMD，∴∠EAD＝∠MAD.∵AD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝∠EAD.∵∠AED＝90°，∴∠B＋∠DAB＋∠EAD＝90°，∴∠EAD＝30°；第2题解图①(Ⅱ)如解图②，连接OM，∵在Rt△ABC中，∠C＝50°，∴∠B＝40°.∵AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，∴AD＝DB，∴∠DAB＝∠B＝40°.∵OA＝OM，∴∠OMA＝∠DAB＝40°，∴∠MOD＝∠OMA＋∠DAB＝80°.∵MN，DG分别是⊙O的切线，∴∠ODG＝∠OMG＝90°，由四边形的内角和知∠MOD＋∠ODG＋∠DGM＋∠OMG＝360°，∴∠MOD＋∠DGM＝180°.∵∠DGM＋∠DGN＝180°，∴∠DGN＝∠MOD＝80°.第2题解图②3.解：(Ⅰ)如解图①，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，即∠PCO＝90°.∵∠P＝38°，∴∠POC＝90°－∠P＝52°.∵点D为eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∴∠COD＝∠AOD＋∠POC＝142°.∵OC＝OD，∴∠EDO＝∠ECO，∴∠EDO＝eq\f(1,2)(180°－∠COD)＝19°；第3题解图①(Ⅱ)如解图②，连接OC，由(Ⅰ)知∠POC＝52°，∠EDO＝∠ECO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACO＝eq\f(1,2)(180°－∠AOC)＝64°.∵DO∥AC，∴∠ACD＝∠EDO，∴∠ACD＝∠ECO＝∠EDO，∴∠EDO＝eq\f(1,2)∠ACO＝32°.第3题解图②4.解：(Ⅰ)∵∠AEC是△BEC的一个外角，∠ABC＝58°，∠AEC＝85°，∴∠C＝∠AEC－∠ABC＝27°.∵在⊙O中，∠BAD＝∠C，∴∠BAD＝27°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵在⊙O中，∠ADC＝∠ABC＝58°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝32°；(Ⅱ)如解图，连接OD，∵CD⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°－∠EBC＝32°，∴∠DOB＝2∠DCB＝64°.∵DF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∴∠F＝90°－∠DOB＝90°－64°＝26°.第4题解图5.解：(Ⅰ)∵DA，DC均为⊙O的切线，∴DA＝DC，DA⊥AB，即∠DAB＝90°，∴∠ACD＝∠DAC，∵CD∥AB，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＝∠DAC＝45°；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∠DAB＝90°.∵CD∥AB，∴∠DAB＋∠ADC＝180°，∠DEA＝∠EAB.∴∠ADC＝90°.∵∠EAD＝30°，∴∠DEA＝∠EAB＝60°.∴∠BCE＝120°.∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°.∴∠ACD＝∠BCE－∠BCA＝30°.∴∠DAC＝90°－∠ACD＝60°.6.解：(Ⅰ)如解图①，连接OC，由圆周角定理得∠AOC＝2∠ADC＝40°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝eq\f(1,2)(180°－∠AOC)＝70°.∵CD∥AB，∴∠ACD＝180°－∠CAB＝110°；第6题解图①(Ⅱ)如解图②，连接OC，由(Ⅰ)可知∠AOC＝40°，∠CAB＝70°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝eq\f(1,2)∠CAB＝35°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝90°－∠DAB＝55°.∵CE为⊙O的切线，OC为⊙O的半径，∴∠OCE＝90°.∵∠BOC＝180°－∠AOC＝140°，∴在四边形OCEB中，∠E＝360°－∠OCE－∠BOC－∠B＝75°.第6题解图②类型二线段问题典例精讲例2解：(Ⅰ)如解图①，连接DB，∵eq\o(CB,\s\up8(︵))＝2eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴∠CAD＝eq\f(1,2)∠CAB＝15°，∴∠DAB＝∠CAD＋∠CAB＝45°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AB＝4，∴AD＝BD＝2eq\r(2)；例2题解图①(Ⅱ)如解图②，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴∠B＝60°.∵∠ADC＋∠B＝180°，∴∠ADC＝120°.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°.∵OC＝OA，∠CAB＝30°，∴∠OCA＝∠CAB＝30°，∴∠OCD＝∠OCA＋∠DCA＝60°，AD∥OC.∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM，∴∠OCM＝90°，CM⊥AD，∴∠DCM＝∠OCM－∠OCD＝30°，∠DMC＝90°，∴在Rt△CDM中，cos30°＝eq\f(CM,CD)＝eq\f(CM,6)，∴CM＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).例2题解图②针对演练1.解：(Ⅰ)∵OE⊥AB，∴AP＝eq\f(1,2)AB＝2eq\r(7)，设PE＝x，则OP＝3x，OA＝OE＝4x，在Rt△OAP中，OA2＝OP2＋AP2，即16x2＝9x2＋28，解得x＝2(负值已舍)，∴4x＝8，∴⊙O的半径为8；(Ⅱ)∵CD为⊙O的切线，∴OE⊥CD.又∵OE⊥AB，∴AB∥CD，∴△OAP∽△OCE，∴eq\f(OA,OC)＝eq\f(OP,OE)＝eq\f(3,4)，∴OC＝eq\f(32,3).2.解：(Ⅰ)∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°.∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠BAD＝90°－30°＝60°.∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠CDO＝∠ADB＝60°，∴∠COD＝180°－30°－60°＝90°，在Rt△COD中，cosC＝eq\f(OC,CD)，∴cos30°＝eq\f(2,CD)