江苏省南京栖霞区2022年九年级数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba的值是()A．14 B．－14 C．4 D．2．下列图形中，∠1与∠2是同旁内角的是（）A．B．C．D．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（）A． B．2 C．3 D．44．将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为()A． B．C． D．5．如图，是的直径，是弦，点是劣弧（含端点）上任意一点，若，则的长不可能是（）A．4 B．5 C．12 D．136．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（）A． B． C． D．7．已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．28．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着原点旋转，所得抛物线的解析式是（）A． B．C． D．9．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（）A．18 B．16 C．110．下列事件中，必然事件是（）A．一定是正数B．八边形的外角和等于C．明天是晴天D．中秋节晚上能看到月亮11．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）A．2 B．2 C． D．212．用配方法解方程，下列配方正确的是()A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．请写出一个位于第一、三象限的反比例函数表达式，y=．14．如图，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，∠BAE=25°，把线段AE绕点A逆时针方向旋转，使点E落在边CD上，那么旋转角的度数为______．15．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是__________．16．已知，关于原点对称，则__________．17．根据下列统计图，回答问题：该超市10月份的水果类销售额___________11月份的水果类销售额（请从“>”“=”或“<”中选一个填空）.18．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线CF于点H，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线CF下方的抛物线上，用含m的代数式表示线段PH的长，并求出线段PH的最大值及此时点P的坐标；（3）当PF﹣PM＝1时，若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．20．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）在扇统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为_____；根据这次统计数据了解到最受学生欢迎的沟通方式是______．（2）将条形统计图补充完整；（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．21．（8分）如图，抛物线y1＝a（x﹣1）2+4与x轴交于A（﹣1，0）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2＝x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x轴于点B，求△ABC的面积．22．（10分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次统计共抽查了多少名学生?在扇形统计图中，表示""的扇形圆心角的度数是多少；(2)将条形统计图补充完整；(3)该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生大约有多少名?(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信"、""、“电话"三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．23．（10分）如图，为测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD＝37°，再沿BD方向前进150m到达点C，测得∠ACD＝45°，求小岛A到公路BD的距离．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)24．（10分）一个不透明的布袋里有材质、形状、大小完全相同的4个小球，它们的表面分别印有1、2、3、4四个数字（每个小球只印有一个数字），小华从布袋里随机摸出一个小球，把该小球上的数字记为，小刚从剩下的3个小球中随机摸出一个小球，把该小球上的数字记为．（1）若小华摸出的小球上的数字是2，求小刚摸出的小球上的数字是3的概率；（2）利用画树状图或列表格的方法，求点在函数的图象上的概率．25．（12分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中为下水管道口直径，为可绕转轴自由转动的阀门，平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水：当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防止河水倒灌入城中．若阀门的直径，为检修时阀门开启的位置，且．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达位置时，在点处测得俯角，若此时点恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留根号）26．已知关于的一元二次方程的两实数根，满足，求的取值范围.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=-1∴ba=（-12）2=故选A．2、C【解析】分析：根据同旁内角的定义进行分析判断即可.详解：A选项中，∠1与∠2是同位角，故此选项不符合题意；B选项中，∠1与∠2是内错角，故此选项不符合题意；C选项中，∠1与∠2是同旁内角，故此选项符合题意；D选项中，∠1与∠2不是同旁内角，故此选项不符合题意．故选C.点睛：熟知“同旁内角的定义：在两直线被第三直线所截形成的8个角中，夹在被截两直线之间，且位于截线的同侧的两个角叫做同旁内角”是解答本题的关键.3、B【解析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，作EH⊥BC于H，从而得到∠ECH=60°,利用三角函数可求出EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出BE的长.【详解】解：如图所示，作EH⊥BC于H，由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED=90°，CE=DE＝2，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=2DE，∴∠DAE=30°，∴∠D=60°，∵AD//BC，∴∠ECH=∠D=60°,在Rt△ECH中，EH=CE·sin60°=,CH=CE·cos60°=,∴BH=4+1=5，在Rt△BEH中，由勾股定理得，.故选B.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形等知识.合理构造辅助线是解题的关键.4、A【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移3个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（−3，1）；可设新抛物线的解析式为y＝−4（x−h）2＋k，代入得：y＝−4（x＋3）2＋1．故选：A．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．5、A【分析】连接AC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，利用勾股定理得到AC=5，则5≤AP≤1，然后对各选项进行判断．【详解】解：连接AC，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，∴,∵点P是劣弧（含端点）上任意一点，∴AC≤AP≤AB，

即5≤AP≤1．

故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6、A【分析】根据绕点按逆时针方向旋转后得到，可得，然后根据可以求出的度数．【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后得到∴又∵∴【点睛】本题考查的是对于旋转角的理解，能利用定义从图形中准确的找出旋转角是关键．7、A【分析】把x=1代入方程，然后解一元一次方程即可．【详解】把x=1代入方程得：1+m=0，解得：m=﹣1．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．掌握一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．8、A【解析】试题分析：先将原抛物线化为顶点式，易得出与y轴交点，绕与y轴交点旋转180°，那么根据中心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式．解：由原抛物线解析式可变为：，∴顶点坐标为（-1，2），又由抛物线绕着原点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点原点中心对称，∴新的抛物线的顶点坐标为（1，-2），∴新的抛物线解析式为：．故选A．考点：二次函数图象与几何变换．9、B【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是16故选B.考点：简单概率计算.10、B【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A、a2一定是非负数，则a2一定是正数是随机事件；B、八边形的外角和等于360°是必然事件；C、明天是晴天是随机事件；D、中秋节晚上能看到月亮是随机事件；故选B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．11、B【解析】本题考查的圆与直线的位置关系中的相切．连接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO为等边三角形．又因为弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以EF=OE=2．12、A【分析】通过配方法可将方程化为的形式．【详解】解：配方，得：，由此可得：，故选A．【点睛】本题重点考查解一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方法的过程是解题的关键；注意当方程中二次项系数不为1时，要先将系数化为1后再进行移项和配方．二、填空题（每题4分，共24分）13、（答案不唯一）.【详解】设反比例函数解析式为，∵图象位于第一、三象限，∴k＞0，∴可写解析式为（答案不唯一）.考点：1.开放型；2.反比例函数的性质．14、60°或70°．【分析】连接AC，根据菱形的性质及等边三角形的判定易证△ABC是等边三角形．分两种情况：①将△ABE绕点A逆时针旋转60°，点E可落在边DC上，此时△ABE与△ABE1重合；②将线段AE绕点A逆时针旋转70°，点E可落在边DC上，点E与点E2重合，此△AEC≌△AE2C．【详解】连接AC．∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠ACD=60°．本题有两种情况：①如图，将△ABE绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点E与点E1重合，此时△ABE≌△ABE1，AE=AE1，旋转角α=∠BAC=60°；②∵∠BAC=60°，∠BAE=25°，∴∠EAC=35°．如图，将线段AE绕点A逆时针旋转70°，使点E到点E2的位置，此时△AEC≌△AE2C，AE=AE2，旋转角α=∠EAE2=70°．综上可知，符合条件的旋转角α的度数为60度或70度．15、【分析】由小明制作了十张卡片，上面分别标有这是个数字．其中能被4整除的有4，8，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：小明制作了十张卡片，上面分别标有这是个数字．其中能被4整除的有4，8；从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是：．故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．16、1【分析】根据点（x，y）关于原点对称的点是（-x，-y）列出方程，解出a，b的值代入计算即可．【详解】解：∵，关于原点对称∴，解得，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟知点（x，y）关于原点对称的点是（-x，-y）是解题的关键．17、>【分析】根据统计图，分别求出该超市10月份的水果类销售额与11月份的水果类销售额，比较大小即可．【详解】∵10月份的水果类销售额为（万元），11月份的水果类销售额为（万元），∴10月份的水果类销售额>11月份的水果类销售额．故答案是：>【点睛】本题主要考查从统计图种提取信息，通过观察统计图，得到有用的信息，是解题的关键．18、．【分析】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率），可得降价一次后的售价是，降价一次后的售价是，再根据经过连续两次降价后售价为260元即得方程．【详解】解：由题意可列方程为故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，要注意增长的基础．三、解答题（共78分）19、（1）y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1；（2）m＝0时，PH的值最大最大值为2，P（0，2）；（3）△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，将点B的坐标代入求得a的值即可；（2）求出直线CF的解析式，求出点P、H的坐标，构建二次函数即可解决问题；（3）据三角形的面积公式求得点P到CF的距离，过点C作CG⊥CF，取CG＝．则点G的坐标为（﹣1，2）或（1，4），过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入求得直线GH的解析式，将直线GH的解析式与抛物线的解析式，联立可得到点P的坐标，当PC+PF最小时，△PCF的周长最小，由PF﹣PM＝1可得到PC+PF＝PC+PM+1，故此当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小，然后可求得此时点P的坐标；【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，将点B的坐标代入得：4a＝1，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1．（2）设CF的解析式为y＝kx+3，将点F的坐标F（2，1）代入得：2k+3＝1，解得k＝﹣1，∴直线CF的解析式为y＝﹣x+3，由题意P（m，m2﹣m+1），H（m，﹣m+3），∴PH＝﹣m2+2，∴m＝0时，PH的值最大最大值为2，此时P（0，2）．（3）由两点间的距离公式可知：CF＝2．设△PCF中，边CF的上的高线长为x．则×2x＝2，解得x＝．过点C作CG⊥CF，取CG＝．则点G的坐标为（﹣1，2）．过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入得：1+b＝2，解得b＝1，∴直线GH的解析式为y＝﹣x+1，与y＝（x﹣2）2联立解得：，所以△PCF的一个巧点的坐标为（0，1）．显然，直线GH在CF的另一侧时，直线GH与抛物线有两个交点．∵FC为定点，∴CF的长度不变，∴当PC+PF最小时，△PCF的周长最小．∵PF﹣PM＝1，∴PC+PF＝PC+PM+1，∴当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小．∴此时P（0，1）．综上所述，△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．20、（1）108°，微信；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数，根据总人数及所占百分比即可求出使用短信的人数，总人数减去除微信之外的四种方式的人数即可得到使用微信的人数．

（2）根据短信与微信的人数即可补全条形统计图．（3）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．【详解】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，

∴此次共抽查了：20÷20%＝100人

喜欢用QQ沟通所占比例为：，∴“QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，喜欢用短信的人数为：100×5%＝5（人）

喜欢用微信的人数为：100−20−5−30−5＝40（人），∴最受学生欢迎的沟通方式是：微信，故答案为：108°，微信；（2）补全条形图如下：（3）列出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，

甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：．【点睛】本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本题属于中等题型．21、（1）y1＝﹣（x﹣1）2+4；（2）.【分析】(1)解答时先根据已知条件求出二次函数的表达式，(2)根据一次函数与抛物线相交的关系算出交点坐标，就可以算出三角形的面积【详解】（1）∵抛物线y1＝a（x﹣1）2+4与x轴交于A（﹣1，0），∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，得a＝﹣1，∴y1＝﹣（x﹣1）2+4，即该抛物线所表示的二次函数的表达式是y1＝﹣（x﹣1）2+4；（2）由得或∵一次函数y2＝x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，点A（﹣1，0），∴点C的坐标为（2，3），∵过点C作CB垂直于x轴于点B，∴点B的坐标为（2，0），∵点A（﹣1，0），点C（2，3），∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，BC＝3，∴△ABC的面积是==【点睛】此题重点考察学生对二次函数的理解，一次函数与二次函数的性质是解题的关键22、（1）100；108°；（2）详见解析；（3）600人；（4）【分析】（1）利用喜欢“电话”沟通的人数除以其所占调查总人数的百分率即可求出调查总人数，然后求出喜欢“QQ”沟通的人数占调查总人数的百分率，再乘360°即可求出结论；（2）用调查总人数×喜欢“短信”沟通的人数所占百分率即可求出喜欢“短信”沟通的人数，然后用调查总人数减去其余“电话”、“短信”、“QQ”和“其它”沟通的人数即可求出喜欢用“微信”沟通的人数，最后补全条形统计图即可；（3）先求出喜欢用“微信”沟通的人数占调查总人数的百分率，再乘1500即可；（4）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式计算即可．【详解】解：(1)调查总人数为20÷20%=100人表示""的扇形圆心角的度数是30÷100×360°=108°(2)喜欢用“短信”沟通的人数为：100×5%=5人，喜欢用“微信”沟通的人数为：100-20-5-30-5=40人，补充条形统计图，如图所示：(3)喜欢用“微信”沟通所占百分比为：∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：人．答：该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有600人．(4)列出树状图，如图所示，共有9种等