第10讲 直线的交点坐标与距离公式（九大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第10讲直线的交点坐标与距离公式【题型归纳目录】题型一：判断两直线的位置关系题型二：过两条直线交点的直线系方程题型三：交点问题题型四：对称问题题型五：两点间的距离题型六：点到直线的距离题型七：两平行直线间的距离题型八：距离问题的综合灵活运用题型九：线段和与差的最值问题【知识点梳理】知识点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．知识点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．知识点三：两点间的距离公式两点间的距离公式为．知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．知识点四：点到直线的距离公式点到直线的距离为．知识点诠释：(1)点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；(2)使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；(3)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．知识点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．知识点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．【典例例题】题型一：判断两直线的位置关系例1．(2023·高二课时练习)曲线与的交点的情况是(

)A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点【答案】A【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．故选：A例2．(2023·全国·高二专题练习)是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是(

)A．无论如何，总是无解B．无论如何，总有唯一解C．存在，使是方程组的一组解D．存在，使之有无穷多解【答案】B【解析】由题意，则，∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确；若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误．故选：B．例3．(2023·江苏·高二专题练习)两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【解析】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为C.题型二：过两条直线交点的直线系方程例4．(2023·高二课时练习)过两直线和的交点和原点的直线方程为()A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【解析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，解得，故所求直线方程为，即.故选：D.例5．(2023·高二单元测试)已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为，故选：B例6．(2023·高二课时练习)经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(

)A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】设直线方程为，即令，得，令，得.由，得或.所以直线方程为或.故选：C.例7．(2023·高二课时练习)过两直线和的交点和原点的直线方程为A． B．C． D．【答案】D【解析】过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为，即.考点：两直线的位置关系、直线方程两点式．题型三：交点问题例8．(2023·高二课时练习)两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是()A．(,) B．(,0)C．(0,) D．()【答案】C【解析】由解得即两条直线的交点为，由交点在第二象限，得,解得.故选：C.例9．(2023·高二课时练习)若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是(

)A．或 B． C． D．【答案】D【解析】联立得，因为直线与直线的交点位于第一象限，所以，解得.故选：D例10．(2023·天津·高二校联考期末)过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是(

)．A． B．C． D．【答案】B【解析】联立方程，解得，所以交点坐标为；直线的斜率为，所以所求直线方程的斜率为，由点斜式直线方程得：所求直线方程为，即；故选：B.例11．(2023·高二课时练习)若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】若直线与直线平行或重合，则，解得，若直线与直线相交，可得且，则有：联立方程，解得，即交点坐标，由题意可得：，解得；综上所述：k的取值范围为.故选：C.例12．(2023·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习)直线与直线相交，则实数k的值为(

)A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【解析】因直线与直线相交，则，即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D例13．(2023·江苏·高二专题练习)若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为(

)A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线和直线不平行，∴直线和直线平行或直线和直线平行，∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，∴或.故选：C.例14．(2023·高二课时练习)若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是()A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是直线和的公共点，所以，且，所以两点和都在同一条直线上，故两点和所确定的直线方程是，故选:A.题型四：对称问题例15．(2023·四川遂宁·高二统考期末)已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，则，即点A坐标为.故选：C例16．(2023·河北唐山·高二唐山市第二中学校联考期中)已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】点关于轴的对称点的坐标为，由题意可知，直线过点，则，解得.故选：A.例17．(2023·河北张家口·高二校联考期中)点关于直线的对称点Q的坐标为(

)．A． B． C． D．【答案】A【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得．所以点Q的坐标为.故选：A例18．(2023·山东泰安·高二新泰市第一中学校考期中)已知点与点关于直线对称，则点的坐标为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，解得.故选：A.例19．(2023·高二单元测试)已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．【答案】.【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，将代入的方程得，所以直线的方程为.故答案为：例20．(2023·高二课时练习)直线关于点对称的直线方程为__________．【答案】【解析】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即，故答案为：例21．(2023·高二单元测试)直线关于点的对称直线方程是______．【答案】【解析】设对称直线为，则有，即解这个方程得(舍)或.所以对称直线的方程中.故答案为：.例22．(2023·高二校考课时练习)直线关于直线对称的直线方程是__.【答案】【解析】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为，则,得对称点的坐标为，又点在直线上，所以，即.所以所求直线方程为.故答案为：.例23．(2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中)直线关于直线对称的直线方程为________【答案】【解析】设所求直线方程为，且，直线与直线间的距离为，则直线与直线间的距离为，又，得，所以所求直线方程为，故答案为：.题型五：两点间的距离例24．(2023·高二课时练习)点关于点对称，则________．【答案】【解析】由已知得，解得，即，故答案为：例25．(2023·高二课时练习)若，则_________.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.例26．(2023·高二课时练习)已知，则BC边上的中线AM的长为__________.【答案】【解析】设BC的中点为，因为所以，所以，所以.故答案为：.例27．(2023·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习)已知，以及点，则的面积为______．【答案】3【解析】,,,,，故答案为：3例28．(2023·高二课时练习)在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．【答案】或/或【解析】设，则有，解得或.即或.故答案为：或.例29．(2023·高二单元测试)已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．【答案】【解析】设，则，解得，点的坐标为，故答案为：．题型六：点到直线的距离例30．(2023·上海静安·高二校考期中)点到直线的距离为______．【答案】1【解析】点到直线的距离.故答案为：例31．(2023·上海浦东新·高二统考期中)已知动点在直线上，则的最小值为_________.【答案】2【解析】因为表示动点到坐标原点，所以的最小值为到线的距离.故答案为：2.例32．(2023·广西南宁·高二校考阶段练习)直线上的点到原点距离的最小值为________.【答案】【解析】直线上的点与原点的距离的最小值为原点到直线的距离．故答案为：．例33．(2023·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习)已知实数x，y满足，那么的最小值为______．【答案】【解析】方程表示直线，表示该直线上的点与定点的距离，所以的最小值是点到直线的距离.故答案为：例34．(2023·高二课时练习)已知到直线的距离等于4，则a的值为__________．【答案】10或【解析】由到直线的距离等于4，则，解得或．故答案为：10或．例35．(2023·高二校考课时练习)若点A在直线上，且点A到直线的距离为，则点A的坐标为________________.【答案】或【解析】依题意，设点A的坐标为，则有，解得或.故答案为：或.例36．(2023·河北邢台·高二统考阶段练习)已知点和点到直线的距离相等，则___________.【答案】3或【解析】因为点和点到直线的距离相等，所以由点到直线的距离公式可得：，解得或，故答案为：3或例37．(2023·河南洛阳·高二统考期中)已知，两点到直线l：的距离相等，则______．【答案】1或【解析】由题意得，即，所以或，解得或．故答案为：1或.题型七：两平行直线间的距离例38．(2023·福建宁德·高二统考期中)若两条平行直线与之间的距离是，则__________．【答案】3【解析】因为直线与平行，所以，解得且，所以直线为，直线化为，因为两平行线间的距离为，所以，得，因为所以，得，所以，故答案为：3例39．(2023·高二课时练习)已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为__________．【答案】【解析】依题意设直线的方程为，，则，即，解得，所以直线的方程为．故答案为：例40．(2023·江西抚州·高二统考期末)若直线：与：平行，则与之间的距离为______．【答案】【解析】因为直线：与：平行，所以，解得，所以直线：与：平行，所以与之间的距离为.故答案为：.例41．(2023·上海·高二专题练习)若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．【答案】/【解析】由直线与直线平行，可知，即，故直线为，直线变形得，故这两条直线间的距离为，故答案为：.例42．(2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中)平行直线与之间的距离为__________．【答案】【解析】直线即为，则平行直线与之间的距离为.故答案为：题型八：距离问题的综合灵活运用例43．(2023·甘肃嘉峪关·高二校考期中)函数的最小值是_____________.【答案】5【解析】因为，设，，，则表示点到点，两点的距离之和，即，点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则，所以，所以的最小值是.故答案为：例44．(2023·河南濮阳·高二濮阳南乐一高校考阶段练习)函数的最小值为_________．【答案】【解析】，根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和，如图所示，作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，可得，又由，当且仅当点与重合时，等号成立，所以，即函数的最小值为故答案为：例45．(2023·全国·高二专题练习)设的最小值为_______.【答案】【解析】从几何意义看，+表示点到点和距离的和，其最小值为和两点间的距离.故答案为：例46．(2023·黑龙江鸡西·高二校考阶段练习)著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______．【答案】【解析】设，则，∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和．如图所示：设点关于x轴的对称点为，则的坐标为(2，－4)．则，要求的最小值，即求的最小值，又，即的最小值为．故答案为：.例47．(2023·山东聊城·高二聊城二中校考阶段练习)已知实数a，b满足，则的最小值为___________.【答案】5【解析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和.如图，设点N关于直线对称的点为，则，解得，当三点共线时，最小，即最小所以的最小值为.故答案为：5.题型九：线段和与差的最值问题例48．(2023·湖北孝感·高二统考开学考试)已知点，点P是直线上动点，则的最小值是________．【答案】13【解析】作A点关于直线的对称点，如图所示，易知，故，此时与直线的交点为P点，故的最小值是13．故答案为：13例49．(2023·高二课时练习)已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为______．【答案】【解析】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，如图所示，连接交于点，交轴于点，由对称性可知，，所以，，当且仅当、、、四点共线时，等号成立，因为点与关于直线对称，所以，解得，所以．因为与关于轴对称，所以，所以的周长的最小值为．故答案为：.例50．(2023·全国·高二专题练习)在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．【答案】【解析】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得，所以，，当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.例51．(2023·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习)已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________.【答案】【解析】点在直线的同侧设点关于的对称点为解得，即由题意，点为直线与的交点直线的方程为：故点的坐标为故答案为：例52．(2023·山西太原·高二太原五中校考阶段练习)著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为___________.【答案】【解析】设，则，∴的几何意义为点到两定点与的距离之和.如图所示：设点关于轴的对称点为，则的坐标为.要求的最小值，可转化为求的最小值，利用对称思想可知，即的最小值为.也即的最小值为.故答案为：例53．(2023·辽宁沈阳·高二校联考阶段练习)已知平面上两点和，在直线上求一点M．(1)使最大值；(2)使最小．【解析】(1)若为关于直线的对称点，则中点在直线上，所以，得，则，由，则，要使最大，只需共线，.(2)如上图，要使最小，只需共线，所以.例54．(2023·江苏·高二期中)已知直线及点，，．(1)试在上求一点，使最小，并求这个最小值；(2)试在上求一点，使最大，并求这个最大值．【解析】(1)设关于直线的对称点的坐标，则，解得，即，则的直线方程为：，联立，解得，即交点为，，此时最小，最小为；(2)设关于直线的对称点的坐标，则，解得，得，直线的方程为，即，联立，解得，即，由对称性知，，(当且仅当、、三点共线时取“”，上的点，是使最大的点．此时最大值为；【过关测试】一、单选题1．(2023·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中)已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是(

)A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由题意知，直线：恒过定点，直线：恒过定点，如图所示，过作的垂线段，垂足为，那么必有，当且仅当与重合时取等号，从而的最大值为，即点到直线：距离的最大值是.故选：D.

2．(2023·高二课时练习)若直线与之间的距离为，则a的值为(

)A．4 B． C．4或 D．8或【答案】C【解析】将直线化为，则直线与直线之间的距离，根据题意可得：，即，解得或，所以a的值为或.故选：C3．(2023·重庆·高二统考学业考试)点(1,1)到直线的距离是(

)A．1 B．2 C．【答案】A【解析】，故选：A4．(2023·高二课时练习)已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为()A．B．或C．或D．或【答案】C【解析】由方程组，解得，所以两直线的交点坐标为，因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，当直线与两坐标轴的截距不为时，可设直线的方程为，因为直线过两直线的交点，代入可得，所以直线的方程为；当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为，因为直线过两直线的交点，代入可得，即直线的方程为，综上可得，直线的方程为或.故选：C.5．(2023·高二课时练习)若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程组，解得，即两直线的交点坐标为，因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得，即实数的取值范围为.故选：D.6．(2023·高二课时练习)若直线与互相垂直，垂足为，则的值为(

)A．20 B．-4 C．12 D．4【答案】A【解析】由两直线与垂直，可得，即，又由两直线的交点坐标是，可得，解得，所以.故选：A.7．(2023·高二课时练习)两条平行直线与间的距离为(

)A． B．2 C．14 D．【答案】D【解析】由距离公式可知，所求距离为.故选：D8．(2023·广东广州·高二广州市从化区从化中学校考期末)过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是(

)A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，因为，，所以，所以过点且与平行的直线为：即，因为，，所以线段的中点为，所以过点与线段的中点为的直线的方程为：，即，所以这条直线的方程是：或，故选：.二、多选题9．(2023·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习)已知直线，则下列说法正确的是(

)A．直线与直线l相互平行 B．直线与直线l相互垂直C．直线与直线l相交 D．点到直线l的距离为【答案】ACD【解析】因为直线，斜率，纵截距为，选项A，因为直线，斜率为，纵截距为，所以，，故直线相互平行，故A正确；选项B，因为直线，斜率为，所以，故直线相交但不垂直，故B错误；选项C，由，解得，所以直线的交点为，故C正确；选项D，根据点到直线的距离的公式知，到直线l的距离，故D正确；故选：ACD.10．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末)已知两点到直线的距离相等，则的值可能为(

)A． B． C． D．1【答案】AD【解析】两点到直线的距离相等，，解得或.故选：AD.11．(2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中)已知直线，，，则下列结论正确的是(

)A．当，到直线距离相等时， B．当时，直线的斜率不存在C．当时，直线在轴上的截距为-2 D．当时，直线与直线平行【答案】CD【解析】对选项A：，解得或，错误；对选项B：时，，直线斜率为，错误；对选项C：时，，取，则，正确；对选项D：时，，，不过A点，，，正确；故选：CD12．(2023·山东菏泽·高二统考期末)下列结论正确的有(

)A．过点，的直线的倾斜角为B．若直线与直线垂直，则C．已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5D．直线与直线之间的距离为【答案】ABD【解析】对于A，直线的斜率，则直线的倾斜角为，A正确；对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确；对于C，关于x轴对称点，连接交x轴于点，在x轴上任取点，连接，如图，，当且仅当点与重合时取等号，因此，C错误；对于D，直线与直线平行，直线化为，管两条直线间距离为，D正确.故选：ABD三、填空题13．(2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中)直线与直线平行，则__________.【答案】2【解析】法一：两直线平行，则；法二：两直线平行，，则,故答案为：.14．(2023·高二课时练习)将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是__________．【答案】【解析】依题意，点与点关于折痕所在直线对称，则折痕所在直线的方程为，因此点关于直线的对称点为，所以与点重合的点的坐标是.故答案为：15．(2023·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习)设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．【答案】10【解析】由得，故,由得,由于直线与直线互相垂直，所以,故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10故答案为：1016．(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中)已知点和，P为直线上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可得点与在直线的同侧，故设点关于的对称点.则有，解得，则.当点为和直线交点时，即三点共线时，最小，最小值为.故答案为：.四、解答题17．(2023·福建宁德·高二统考期中)已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．(1)求直线的方程；(2)求顶点C的坐标.【解析】(1)方法一：由边上的高所在直线方程为得：.所以，又，所以边所在直线方程为，即，方法二：由边上的高所在直线方程为得：故可设直线的一般式方程为：，把的坐标代入上述方程，得：，所以边所在直线方程为:，(2)联立直线与直线的方程得，，解得所以顶点的坐标为.18．(2023·高二课时练习)在中，边