近世代数期末模拟考试与答案

PAGE大学数学近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设与都是非空集合，那么。（f）2、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（f）3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（t）4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。（t）5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。（f）6、群的子群是不变子群的充要条件为。（t）7、如果环的阶，那么的单位元。（t）8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。（t）9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。（f）10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。（f）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（2）①集合中两两都不相同；②的次序不能调换；③中不同的元对应的象必不相同；④一个元的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（3）4①在整数集上，；②在有理数集上，；③在正实数集上，；④在集合上，。3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（4）3①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（4）①0和；②1和0；③和；④和。5、设和都是群中的元素且，那么（2）1①；②；③；④。6、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（3）2①6；②24；③10；④12。7、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2）4①的同态核是的不变子群；②的不变子群的逆象是的不变子群；③的子群的象是的子群；④的不变子群的象是的不变子群。8、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（4）3①若是零元，则是零元；②若是单位元，则是单位元；③若不是零因子，则不是零因子；④若是不交换的，则不交换。9、下列正确的命题是（4）1①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（1）4①；②；③；④。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合；，则有。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则a。3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么0。4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、给出一个5-循环置换，那么。7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为x。8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是一个最大理想。9、整环的一个元叫做一个素元，如果、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。S=I或S=R4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。2、设是模6的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。六、证明题（每小题10分，共40分）1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。2、设为实数集，，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。4、设是有限可交换的环且含有单位元1，证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代数试卷参考解答一、判断题12345678910××√√×√√√××二、单项选择题12345678910②④③④①②④③①④三、填空题1、。2、。3、。4、。5、变换群。6、。7、。8、一个最大理想。9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、改错题1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。S=I或S=R4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元测验题填空题（42分）1、设集合与分别有代数运算与，且，则当满足结合律时，也满足结合律；当满足交换律时，也满足交换律。2、对群中任意元素=；3、设群G中元素a的阶是n，n|m则=e；4、设是任意一个循环群，若，则与整数加群同构；若，则与n次单位根群；同构；5、设G=为6阶循环群，则G的生成元有；；；子群有；6、n次对称群的阶是n!;；置换的阶是4；7、设，则7、；8、设，则；9、设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|:(G:H)；10、任意一个群都同一个双射）变换群；同构。二、证明题（24）1.设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程。1、已知，|a|=k,则k|n令n=kq,则即G中每个元素都满足方程叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交仍然是G的一个子群。证明:如果群G中每个元素都满足方程，则G必为交换群。三、解答题（34）叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算作成群。2、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。基础测试参考答案：填空题1、满足结合律；满足交换律；2、；3、e；4、整数加群；n次单位根群；5、；；6、n!;47、8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知，|a|=k,则k|n令n=kq,则即G中每个元素都满足方程2、充要条件：；证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交设,则H是G的子群，有K是G的子群，有综上所述，H也是G的子群。3、证：G是交换群。三、解答题1、解：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素（2）G中有元素e，它对G中每个元素（3）对G中每个元素则G对代数运算作成一个群。对任意整数a,b，显然a+b+4由a,b唯一确定，故为G的代数运算。（ab）c=(a+b+4)c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a(bc)=a+b+c+8即（ab）c=a(bc)满足结合律a均有（-4）a=-4+a+4=a故-4为G的左单位元。（-8-a）a=-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆元。2、解：其子