新高考数学一轮复习专题八平面解析几何8-4抛物线练习含答案

8.4抛物线五年高考高考新风向(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则(ABD)A.l与☉A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个考点1抛物线的定义和标准方程1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(D)A.7B.6C.5D.42.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=(B)A.1B.2C.22D.43.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(C)A.2B.3C.6D.94.(2022全国乙,文6,理5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(B)A.2B.22C.3D.325.(2023全国乙,文13,理13,5分,易)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为

946.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.解析(1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.设点P(4x02,4x0),Q(x1,y则PQ=(x1-4x02,y1-4x∵F(1,0),∴QF=(1-x1,-y1),∵PQ=9QF,∴x1−4第二步:用参数x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值.∴kOQ=y1x1当kOQ最大时,x0>0,∴kOQ=49x0+4x当且仅当4x0=9x0时取“=”,此时x0=32,点P的坐标为(9,6),因此kOQ考点2抛物线的几何性质1.(2020课标Ⅲ文,7,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(B)A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2.(2020北京,7,4分,中)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线(B)A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP3.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(AC)A.p=2B.|MN|=8C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(BCD)A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|25.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则(ACD)A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°6.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=

1637.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为x=-32

三年模拟练速度1.(2024山东潍坊一模,2)已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1,则M到C的焦点的距离为(B)A.1B.54C.322.(2024安徽黄山一模,2)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F12,0,则p的值为(CA.14B.12C.13.(2024浙江杭州二中、湖南长沙长郡中学、江苏南京师大附中联考,4)抛物线y2=2px(p>0)上的点P(2,2)到焦点的距离为(A)A.52B.2C.324.(2024T8联盟联考一,3)若圆C:x2+y2-4x+3=0与抛物线x2=2py(p>0)的准线相切,则抛物线的焦点坐标为(C)A.(2,0)B.(0,2)C.(0,1)D.(1,0)5.(2024湖北武汉二调,5)设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线,设垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|=(A)A.23B.33C.346.(2024江西南昌一模,5)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C在第一象限部分上一点,若|AF|=4,则抛物线C在点A处的切线方程为(A)A.3x-y-3=0B.2x-y-1=0C.x-y-1=0D.2x-y-2=07.(2024广东五粤名校第一次联考,3)抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+4|BF|的最小值为(D)A.6B.7C.8D.98.(2024河北唐山一模,6)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与E交于A,B两点,与E的准线交于C、D两点,若|CD|=221,则|AB|=(D)A.3B.4C.6D.89.(2024浙江金丽衢十二校联考,6)已知抛物线C1:x2=2y的焦点为F,以F为圆心的圆C2交C1于A,B两点,交C1的准线于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则圆C2的方程为(D)A.x2+(y-1)2=12B.x2+(y-1)2=16C.x2+y−122=3D.x10.(2024安徽阜阳一模,13)抛物线C1:y2=2px(p>0)绕其顶点逆时针旋转θ0<θ<π2之后,得到抛物线C2,其准线方程为3x+y+4=0,则抛物线C1的焦点坐标为(2,练思维1.(2024安徽蚌埠第三次教学质量检查,8)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F的直线交C于A,B两点,M为AB中点,过M作准线的垂线,垂足为N,若|AF|=4,则|NF|=(B)A.43B.433C.82.(2024山东枣庄一模,8)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,P为AB的中点,且CF=2FP,则|FA|+|FB|的最大值为(B)A.4B.5C.33D.423.(多选)(2024山东临沂一模,11)已知圆C:x2+y2-10x+13=0,抛物线W:y2=4x的焦点为F,P为W上一点.(AC)A.存在点P,使△PFC为等边三角形B.若Q为C上一点,则|PQ|的最小值为1C.若|PC|=4,则直线PF与圆C相切D.若以PF为直径的圆与圆C相外切,则|PF|=22-1234.(多选)(2024湖南长沙雅礼中学月考七,10)抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形,该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A,B是抛物线C:x2=4y上两个不同的点,以A(x1,y1),B(x2,y2)为切点的切线交于P点.若弦AB过点F(0,1),则下列说法正确的有(ABD)A.x1x2=-4B.若x1=2,则A点处的切线方程为x-y-1=0C.存在点P,使得PA·PB>0D.△PAB面积的最小值为45.(多选)(2024浙江杭州二模,11)过点P(2,0)的直线与抛物线C:y2=4x交于A,B两点.抛物线C在点A处的切线与直线x=-2交于点N,作NM⊥AP交AB于点M,则(BC)A.直线NB与抛物线C有2个公共点B.直线MN恒过定点C.点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=1(x≠0)D.|MN|3|AB|6.(多选)(2024东北三省三校一模,10)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线C上,点Q在抛物线C的准线上,则以下命题正确的是(ABD)A.|PQ|+|PF|的最小值是2B.|PQ|≥|PF|C.当点P的纵坐标为4时,存在点Q,使得QF=3FPD.若△PQF是等边三角形,则点P的横坐标是37.(多选)(2024福建毕业班适应性练习,10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线交x轴于点D,过F的直线交C于A,B两点,AF的中点M在y轴上的射影为点N,|MN|=|NF|,则(ABD)A.|AF|=3|BF|B.∠ADB是锐角C.△BDN是锐角三角形D.四边形DFMN是菱形8.(2024辽宁大连三校联考,13)已知抛物线C1:y2=2x,C2:y2=4x的焦点分别为F1,F2,点P,Q分别在C1,C2上,且线段PQ平行于x轴.若△F2PQ是等腰三角形,则|PQ|=

239.(2024湖南衡阳第二次联考,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),|AF|=4,则|BF|=

4310.(2024浙江金华十校模拟,18)设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x=-1是抛物线C的准线,且与x轴交于点B,过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,A(1,n)是不在直线l上的一点,直线AM,AN分别与准线交于P,Q两点.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:|BP|=|BQ|;(3)记△AMN,△APQ的面积分别为S1,S2,若S1=2S2,求直线l的方程.解析(1)由题意知-p2=-1,则p=2故抛物线C的方程为y2=4x.(3分)(2)证明:设l:x=ty-1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立y2=4x,x=ty−1,消去则Δ=16(t2-1)>0,且y1+y2=4AM:y-n=y1−nx1−1(x-1),令x同理可得Q−1,n−2(y2−则|BP|=|yP|,|BQ|=|yQ|,因为yP+yQ=n-2(y1−n)x1−1=2n-2(=2n-4ty1y2−(2所以|yP|=|yQ|,故|BP|=BQ|.(10分)(3)解法一:设点A到直线PQ,MN的距离分别为d1,d2,易知d1=2.由(2)可得,d2=|2−nt|t2+1,|MN|=(t2+1)[(y1+y2)2−4y1y2]=4(t2S1=12|MN|d2=12×4(t2+1)(t2−1)·|2−nt|t由S1=2S2得t2-1=2,解得t=±3,所以直线l的方程为x±3y+1=0.(17分)解法二:S1S2=12|AM|·|AN|·sin∠MAN12|AP|·|AQ|·所以S1S2=|(ty1−2)(ty2−2)由S1=2S2得t2-1=2,解得t=±3,所以直线l的方程为x±3y+1=0.(17分)11.(2024湖北武汉四调,18)已知抛物线E:y=x2,过点T(1,2)的直线与抛物线E交于A,B两点,设抛物线E在点A,B处的切线分别为l1和l2,已知l1与x轴交于点M,l2与x轴交于点N,设l1与l2的交点为P.(1)证明:点P在定直线上;(2)若△PMN面积为2,求点P的坐标;(3)若P,M,N,T四点共圆,求点P的坐标.解析(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP).由y=x2,得y'=2x,所以l1的方程为y=2x1(x-x1)+y1,整理得y=2x1x-x12.同理,l2的方程为y=2x2x-联立得y=2x1x−x12,y=2x2x设直线AB的方程为y=k(x-1)+2,联立得y消y得x2-kx+k-2=0,故x1+x2=k,x1x2=k-2,所以xP=k2,yP=k-2,有yP=2xP-2所以点P在定直线y=2x-2上.(6分)(2)在l1,l2的方程中,令y=0,得Mx12,0,所以△PMN的面积S=12|MN|·|yP|=14|(x1-x2)x1x2|=故(x1-x2)2(x1x2)2=32,即[(x1+x2)2-4x1x2](x1x2)2=32,则(k2-4k+8)(k2-4k+4)=32.即[(k-2)2+8][(k-2)2-4]=0,解得k=0或k=4.所以点P的坐标为(0,-2)或(2,2).(11分)(3)抛物线的焦点坐标为F0,14,由Mx12,0得直线MF的斜率kMF=-12x1同理NF⊥NP,所以PF是△PMN外接圆的直径.若点T也在该圆上,则TF⊥TP.由kTF=74,得直线TP的方程为y=-47(x-1)又