新高考数学一轮复习专题命题点9计数原理、概率与统计练习含答案

命题点9计数原理、概率与统计预测说明计数原理作为高考的常考内容,可单独考查,也会与古典概型结合考查.概率与统计是高考考查的热点,各种题型均有涉及,通常以实际生活为背景命题.主要考查古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望、独立性检验等问题,同时注重概率与统计、概率与其他知识(如数列和函数)结合的综合问题.命题方向:1.二项式定理的应用,考查特定项的系数、系数和的性质等.2.统计数据的分析,多以统计图表形式提供数据,并对数据的数字特征进行分析;统计数据的数字特征与回归分析,独立性检验等的综合.3.计数原理、概率与统计等知识相结合,考查随机变量的分布列和均值、独立事件的概率、条件概率、二项分布和正态分布等.4.统计与概率和函数、数列、不等式等内容结合,这有可能成为新的命题热点.预测探究识透高频考点1.(2024重庆八中5月模拟,7)已知盘子A中有3颗糖,盘子B中有4颗糖,小琨每次随机从其中一个盘子中选择吃一颗糖,直到7颗糖全部吃完为止,则盘子A中的糖先吃完的概率为(C)A.714B.916C.21322.(多选)(2024广东佛山质检(二),11)在一个有限样本空间中,假设P(A)=P(B)=P(C)=13,且A与B相互独立,A与C互斥,则(BCD)A.P(A∪B)=2B.P(C|A)=2P(A|C)C.P(C|AB)=1D.若P(C|B)+P(C|B)=12,则B与C3.(2024山东省实验中学模拟,12)已知(ax-2)1+1x4的展开式中常数项为-2,则实数a的值为4.(2024广东深圳二模,17)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产,质检人员抽样发现:甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%;乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%;若将这两批零件混合放在一起,则合格品率为97%.(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个,用频率估计概率,记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求X的分布列和数学期望;(2)为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A=“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件B=“该大型企业把零件交给甲工厂生产”,已知0<P(B)<1,证明:P(A|B)>P(A|B).基础知识运用离散型随机变量的分布列和数学期望;条件概率公式解析(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件,乙工厂试生产的这批零件有n件,事件M=“混合放在一起零件来自甲工厂”,事件N=“混合放在一起零件来自乙工厂”,事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”,则P(M)=mm+n,P(N)P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94%×mm+n+98%×nm+n=97%所以P(M)=mm+nX的可能取值为0,1,2,3,X~B3,1P(X=0)=C301P(X=1)=C311P(X=2)=C321P(X=3)=C331所以X的分布列为X0123P272791数学期望E(X)=3×14=3(2)证明:因为在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,所以P(B|A)>P(B|A),即P(AB)因为P(A)>0,P(A)>0,所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).因为P(A)=1-P(A),P(AB)=P(B)-P(AB),所以P(AB)(1-P(A))>(P(B)-P(AB))P(A),即P(AB)>P(A)P(B),所以P(AB)-P(AB)P(B)>P(A)P(B)-P(AB)P(B),即P(AB)(1-P(B))>P(B)(P(A)-P(AB)).又因为1-P(B)=P(B),P(A)-P(AB)=P(AB),所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).因为0<P(B)<1,0<P(B)<1,所以P(AB)即得证P(A|B)>P(A|B).5.(2024湖南长沙长郡中学适应性测试(四),16)为了研究学生每天整理数学错题情况,某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生,调查他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况,并绘制了两个统计图,图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀,将一个星期内有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”,少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中,经常整理错题的学生占70%.整理错题情况数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理不经常整理合计(1)求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数;(2)根据图1、图2中的数据,补全上方2×2列联表,并根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?(3)用频率估计概率,在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层随机抽样,随机抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.附:χ2=n(α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828综合知识考查统计图表;独立性检验;分布列和数学期望解析(1)由题意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1,解得m=0.015,因为(0.0025+0.005+0.0175)×20=0.5,(0.0025+0.005+0.0175+0.015)×20=0.8,所以学生期中考试数学成绩的上四分位数在区间[110,130)内,所以学生期中考试数学成绩的上四分位数为110+20×0.75−0.50.3=3803(2)数学成绩优秀的有100×50%=50人,不优秀的有100×50%=50人,经常整理错题的有100×(40%+20%)=60人,不经常整理错题的有100-60=40人,经常整理错题且成绩优秀的有50×70%=35人,则2×2列联表为整理错题情况数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100零假设为H0:数学成绩优秀与经常整理数学错题无关,χ2=100×(35×25−15×25)250×50×60×40=256>3.841=x根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.(3)由分层随机抽样知,随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人,不经常整理错题的有2人,则X的可能取值为0,1,2,经常整理错题的3名学生中,恰抽到k人记为事件Ak(k=0,1,2),则P(Ak)=C3k·C22−kC参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件Bm(m=0,1,2),则P(B0|A0)=1,P(B0|A1)=512,P(B0|A2)=5122=25144,P(B1|A1)=712,P(B1|A2)=C21P(B2|A2)=7122=P(X=0)=P(A0)·P(B0|A0)+P(A1)·P(B0|A1)+P(A2)·P(B0|A2)=C22C52×1+C31C2P(X=1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=C31C21C52×P(X=2)=P(A2)·P(B2|A2)=C32C52故X的分布列如下:X012P19323849所以E(X)=0×193480+1×238480+2×49480=0悟透新型考法(2024河北邯郸三模,17)2021年教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出,中小学校要保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间,每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有40%的人满分,而该校有20%的学生每天运动时间超过两个小时,这些人体育项目测试满分率为50%.(1)从该校随机抽取三人,三人中体育项目测试相互独立,求三人中满分人数的分布列和期望;(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生,求他体育项目测试满分的概率;(3)体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练,每次传球,传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,第1次由甲将球传出,求第n次传球后球在乙手中的概率.创新考法概率与数列相结合解析(1)从该校随机抽取三人,每个人满分的概率为40%.设抽取的三人中满分人数为X,则X=0,1,2,3.则P(X=0)=1−253P(X=1)=C312P(X=2)=C322P(X=3)=C332则X的分布列为X0123P2754368因为X~B3,2所以数学期望E(X)=3×25=6(2)用A表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”,则P(A)=20%,P(A)=1-20%=80%.用B表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”,则P(B)=40%,P(B|A)=50%.又P(AB)=P(A)P(B|A)=20%×50%=10%,P(B)=P(AB)+P(AB)=10%+P(AB)=40%,故P(AB)=30%.P(B|A)=P(AB)P(3)记An表示事件“经过n次传球后,球在乙的手中”,设n次传球后球在乙手中的概率为pn,n∈N*,则有p1=12,An+1=AnAn+1+AnAn所以pn+1=P(AnAn+1+AnAn+1=P(AnAn+1)+P(AnAn+1=P(An)P(An+1|An)+P(An)P(An+1|A=(1-pn)·12+pn=12(1-pn即pn+1=-12pn+12,n∈N所以pn+1-13=-12pn−13,且所以pn−13是以16为首项所以pn-13=16×所以pn=16×−12n−1即n次传球后球在乙手中的概率是13参透创新情境(2024湖北武汉武昌5月质检,19)利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数,例如将0.3·1·化为分数的方法如下:设0.3·1·=x,则31.3·1·=100x,即31+x=100x,解得0已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜m局指的是一方比另一方多胜m(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率.(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜i(i=-3,-2,-1,0,1,2,3)局,设甲在净胜i局时,继续比赛甲获胜的概率为Pi,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为Xi,期望为E(Xi).(i)求甲获胜的概率P0;(ii)求E(X0).创新情境利用无限过程的方程求解思想,解决题设问题解析(1)若4局结束比赛时甲获胜,则在前2局甲、乙各胜一局,并且第3,4局甲胜.概率为C21×23×13×若4局结束比赛时乙获胜,则在前2局甲、乙各胜一局,并且第3,4局乙胜.概率为C21×23×13×所以恰好4局结束比赛的概率为1681+481=(2)(i)在甲净胜-2局的前提下,继续比赛一局:若甲赢,则甲的状态变为净胜-1局,继续比赛获胜的概率为P-1;若甲输,则甲的状态变为净胜-3局,比赛结束.根据全概率公式,得P-2=23P-1同理P-1=23P0+13P-2,P0=23P1+13P-1,P1=23P2+13P0,P2=联立解得P0=89,