高中数学第三章不等式3-4-2基本不等式的应用同步课件新人教A版必修5

第2课时基本不等式的应用

主题基本不等式的应用1.已知x,y都是正数,若x+y=s(和为定值),那么xy的取值范围是什么?提示:方法一:因为x+y=s,所以x=s-y,所以xy=y(s-y)=-y2+sy=又x>0,y>0,所以0<xy≤方法二:由基本不等式,得s=x+y≥2所以xy≤,当x=y时,xy取得最大值,又因为x>0,y>0,所以0<xy≤.2.已知x,y都为正数,若xy=p(积为定值),即x+y的取值范围是什么?提示:由基本不等式,得x+y≥2当x=y时,x+y取得最小值2,所以x+y≥2.3.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大是多少?提示:把矩形菜园的长、宽分别记为x,y,则2(x+y)=36,即x+y=18,由基本不等式得xy≤=81,当且仅当x=y=9时,等号成立,即x=y=9m时矩形菜园的面积最大,最大为81m2.结论:设x,y为正实数.(1)若x+y=s(定值),则当________时,xy有最大值____.(2)若xy=p(定值),则当________时,x+y有最小值____.x=y=x=y=【拓展延伸】求条件最值的方法求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时:①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键;②必须指出等号成立的条件.

【拓展延伸】求条件最值的方法求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时:①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键;②必须指出等号成立的条件.

【对点训练】1.设x>0,y>0且x+4y=40,则xy的最大值是 (

)A.100

B.50

C.40

D.20【解析】选A.x·4y≤=400,即xy≤100,当且仅当x=4y=20时,上式取等号.2.若正数m,n满足2m+n=1,则的最小值为(

)A.3+2 B.3+C.2+2 D.3【解析】选A.由题意,因为2m+n=1,则=·(2m+n)=3+≥3+2=3+2,当且仅当,即n=m时等号成立,所以的最小值为3+2.3.若x>0,则y=4x+的最小值为________.

【解析】因为x>0,所以y=当且仅当4x=,即x=时,y=4x+取最小值.答案:123.若x>0,则y=4x+的最小值为________.

【解析】因为x>0,所以y=当且仅当4x=,即x=时,y=4x+取最小值.答案:12类型一利用基本不等式求最值、范围【典例1】(1)若正数a,b满足ab+a+b=3,则a+b的最小值为________.

(2)(2019·天津高考改编)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为________.

【解题指南】(1)利用基本不等式可得,ab≤,将ab+a+b=3转化成3≤+(a+b),求解a+b的范围并检验等号成立即可.(2)先由x+2y=4,借助基本不等式求出xy≤2,再对化简求解.【解析】(1)因为a,b为正数,所以≤成立.所以ab≤,所以3=ab+a+b≤+(a+b).即(a+b)2+4(a+b)-12≥0,解得:a+b≥2或a+b≤-6(舍去).当

时,等号成立,即a=b=1时,等号成立.所以a+b的最小值为2.答案:2(2)由x+2y=4,得x+2y=4≥2,得xy≤2，

当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.故所求的最小值为.答案:

【方法总结】1.利用基本不等式求最值的方法(1)若“一正二定三相等”中的条件满足时,直接用公式求解.(2)若条件不满足时,则需对条件作适当调整和转化,使其满足.2.利用基本不等式求条件最值的方法【跟踪训练】设x>0,则函数y=x+的最小值为________.

【解析】y=x+

当且仅当x+=,即x=时等号成立.所以函数的最小值为0.答案:0类型二利用基本不等式求参数的值、范围【典例2】(1)若两个正实数x,y满足=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 (

)

A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4) D.(-4,2)(2)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m取最大值时,=________.

【解题指南】(1)根据基本不等式求出x+2y的最小值,从而得到关于m的不等式,进而求得m的取值范围.(2)利用分离常数法和基本不等式求出m的最大值,以及m取最大值时a与b的关系,再计算的值.【解析】(1)选D.x+2y=(x+2y)当且仅当,即4y2=x2时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4<m<2.(2)a>0,b>0时,不等式可化为

(a+4b)≥m,即m≤8+;又≥2=8,当且仅当a=4b时取等号,所以m≤16,且m取最大值时,a=4b,此时.答案:

【方法总结】运用基本不等式求参数的取值范围(1)若已知不等式,则要先将字母参数分离出来,转化为求函数的最值问题,从而求出参数的取值范围.(2)若是已知等式,则要用基本不等式得出关于参数的不等式,从而求出参数的取值范围.【跟踪训练】已知函数f(x)=x++2的值域为(-∞,0]∪[4,+∞),则a的值是 (

)

【解析】选C.由已知若a≤0,则f(x)值域为R,所以a>0,①当x>0时,f(x)=x++2≥2+2,当且仅当x=时取等号;②当x<0时,f(x)=x++2≤-2+2,当且仅当x=-时取等号.所以解得a=1.【补偿训练】1.已知不等式(x+y)≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 (

)A.1

B.2

C.4

D.6【解析】选C.(x+y)=4+a+,因为x>0,y>0,a>0,所以当且仅当时取等号.由已知可得4+a+4≥16,即a+4-12≥0,解得≥2或≤-6(舍去),所以a≥4,即a的最小值为4.2.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.

【解析】因为当且仅当x=1时取等号,所以a∈答案:

类型三基本不等式的实际应用【典例3】(2019·武汉高二检测)已知A,B两地的距离是130km,每辆汽车的通行费为50元.按交通法规规定,A,B两地之间的公路车速应限制在50～100km/h.假设汽油的价格是7元/L,一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比,如果此车的速度是90km/h,那么汽车的耗油率为22.5L/h,司机每小时的工资是70元.从A地到B地最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多少(精确到1元)?【解题指南】先设车速为x(50<x<100),耗油率为m,行车总费用为f(x),根据题意求出m,得到f(x),再由基本不等式求其最值,即可得出结果.【解析】设车速为x(50<x<100),耗油率为m,行车总费用为f(x),因为一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比,所以m=kx2(k>0),又此车的速度是90km/h时,汽车的耗油率为22.5L/h,所以22.5=k×902,解得k=,故m=x2,因此,由题意可得,f(x)=x2×

×7+×70+50=x++50≥2+50=+50≈353,当且仅当x=,即x=60时,f(x)取最小值.因此,从A地到B地最经济的车速是60km/h,此时的行车总费用约为353元.【方法总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大或最小值问题.(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.(4)写出正确答案.【跟踪训练】围建一个360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数.(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.【解题指南】(1)利用矩形的面积将矩形的另一边长也用x来表示,进而写出y与x的函数关系式.(2)在(1)的基础上利用基本不等式求出目标函数的最值.【解析】(1)如图,设矩形的另一边长为am,则y=45x+180(x-2)+180·2a,由已知xa=360,得a=.所以y=225x+-360(2)因为x>0,所以225x+=10800.所以y=225x+-360≥10800-360=10440,当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是10440元.【知识思维导图】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏(2)因为x>0,所以225x+=10800.所以y=225x+-360≥10800-360=10440,当