高中数学第三章三角恒等变换3-1-1两角差的余弦公式课件新人教A版必修4

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式必备知识·自主学习两角差的余弦公式公式:cos(α-β)=_______________________

(1)简记符号:C(α-β)(2)适用条件:公式中的角α,β都是任意角.导思(1)两角差的余弦公式是什么?(2)公式中的α,β是任意的吗?cosαcosβ+sinαsinβ.【思考】1.公式的结构特征是怎样的?提示:左端为两角差的余弦,右端为角α,β的同名三角函数积的和,即差角余弦等于同名积之和.2.公式中的角α,β可以为几个角的组合吗?提示:可以.公式中α,β都是任意角,可以是一个角,也可以是几个角的组合.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)cos(70°-40°)=cos70°+cos40°. (

)(2)对任意α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立. (

)(3)对任意α,β∈R,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立. (

)(4)cos30°cos60°+sin30°sin60°=1. (

)提示:(1)×.cos(70°-40°)=cos30°≠cos70°+cos40°.(2)×.当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cosα-cosβ=cos(-45°)-cos45°=0,此时cos(α-β)=cosα-cosβ.(3)√.结论为两角差的余弦公式.(4)×.cos30°cos60°+sin30°sin60°=cos(60°-30°)=cos30°=.2.(教材二次开发:练习改编)cos45°cos15°+sin45°sin15°等于 (

)

【解析】选B.原式=cos(45°-15°)=cos30°=.关键能力·合作学习类型一两角差的余弦公式的简单应用(数学运算、直观想象)【题组训练】1.sin+cos的值为 (

)

A. B.1 C. D.2.(1)coscos+cossin.(2)cos105°+sin105°.【解析】1.选C.原式=2=2=【解析】1.选C.原式=2=2=(2)=cos60°cos105°+sin60°sin105°=cos(60°-105°)=cos(-45°)=.【解题策略】利用两角差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.【补偿训练】求下列各式的值:(1)cos.(2)sin460°sin(-160°)+cos560°cos(-280°).【解析】(1)(2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin100°sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60°=-.类型二给值求值问题(直观想象、数学运算)

角度1同角关系式求值

【典例】(2020·成都高一检测)已知cosα=,α是第四象限角,sinβ=,β是第二象限角,求cos(α-β)的值.【思路导引】先利用角的象限及同角三角函数关系求另一三角函数,再利用两角差的余弦公式求值.类型二给值求值问题(直观想象、数学运算)

角度1同角关系式求值

【典例】(2020·成都高一检测)已知cosα=,α是第四象限角,sinβ=,β是第二象限角,求cos(α-β)的值.【思路导引】先利用角的象限及同角三角函数关系求另一三角函数,再利用两角差的余弦公式求值.【解析】因为cosα=,α是第四象限角,所以sinα=-=-因为sinβ=,β是第二象限角,所以cosβ=则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

【变式探究】已知sinα=,α∈,则cos的值为________.

【解析】因为sinα=,α∈,所以cosα=所以cos=coscosα+sinsinα=×+×=.答案:角度2变角代换求值

【典例】设α,β都是锐角,且cosα=,sin(α+β)=,则cosβ= (

)

【思路导引】考虑如何用已知角α,α+β的差来表示所求角β,进而利用两角差的余弦公式解决.【解析】选A.依题意得sinα=cos(α+β)=又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cosα>cos(α+β).因为所以cos(α+β)=-.于是cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα

【解题策略】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.给值求值的解题策略有:①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,【题组训练】1.已知α为锐角,β为第三象限角,且cosα=,sinβ=-,则cos(α-β)的值为 (

)

【解析】选A.因为α为锐角,且cosα=,所以sinα=因为β为第三象限角,且sinβ=-,所以cosβ=-所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×2.已知cos则cosα+sinα的值为________.

【解析】因为cos=coscosα+sinsinα=cosα+sinα=,所以cosα+sinα=.答案:

类型三给值求角问题(数学运算、逻辑推理)【题组训练】1.已知α,β均为锐角,且sinα=,sinβ=,则α-β=________.

2.(2020·长沙高一检测)已知cosα=,cos(α+β)=-,α,β∈,则β=________.

3.已知cos(α-β)=-,sin(α+β)=-,<α-β<π,<α+β<2π,求β的值.【解析】1.因为α,β均为锐角,所以cosα=,cosβ=.所以cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ=×+又因为sinα>sinβ,所以0<β<α<,所以0<α-β<.故α-β=.答案:

2.因为α,β∈,所以α+β∈(0,π).因为cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα=,sin(α+β)=,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=-×+×=.因为0<β<,所以β=.答案:3.因为<α-β<π,cos(α-β)=-,所以sin(α-β)=.因为π<α+β<2π,sin(α+β)=-,所以cos(α+β)=.所以cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+×=-1.因为<α-β<π,π<α+β<2π,所以<2β<,所以2β=π,所以β=.【解题策略】解决给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值;(2)确定角的范围;(3)根据角的范围写出要求的角.【补偿训练】已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),α,β∈(0,π)且a⊥b,求α-β的值.【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,即cosαcosβ+sinαsinβ=0.从而cos(α-β)=0.因为α,β∈(0,π),所以-π<α-β<π,所以α-β=或-.1.cos20°= (

)A.cos30°cos10°-sin30°sin10°B.cos30°cos10°+sin30°sin10°C.sin30°cos10°-sin10°cos30°D.cos30°cos10°-sin30°cos10°【解析】选B.cos20°=cos(30°-10°)=cos30°cos10°+sin30°sin10°.课堂检测·素养达标2.(2020·济南高一检测)化简= (

)

【解析】选C.原式

3.(教材二次开发:练习改编)已知cos=cosα,则tanα=________.

【解析】cos=cosαcos+sinαsin=cosα+sinα=cosα,所以sinα=cosα,所以=,即tanα=.答案:4.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,求证:cos(α-β)=-.【证明】由sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0得(sinα+sinβ)2=(-sinγ)2,①(cosα+cosβ)2=(-cosγ)2.②①+②得,2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即2+2cos(α-β)=1,所以cos(α-β)=-.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏3.(教材二次开发:练习改编)已知cos=cosα,则tanα=________.

【解析】cos=cosαcos+sinαsin=cosα+sinα=cosα,所以sinα=cosα,所以=,即tanα=.答案:1.cos20°= (

)A.cos30°cos10°-sin30°sin10°B.cos30°cos10°+sin30°sin10°C.sin30°cos10°-sin10°cos30°D.cos30°c