专题03解题技巧专题：利用等腰三角形的‘三线合一’作辅助线(原卷版+解析)(重点突围)

专题03解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【题型一底边有中点时，连中线】 1【题型二底边无中点时，作高】 7【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 14【典型例题】【题型一底边有中点时，连中线】例题：(2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，，．D为边的中点，E，F分别在上，于点D．(1)求证：是等腰三角形．(2)求的最小值．【变式训练】1．(2023春·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F．(1)求证：；(2)若，求的周长．2．(2023春·北京大兴·八年级统考期末）已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．3．(2023春·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，点O为的中点．(1)若，两边分别交于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．【题型二底边无中点时，作高】例题：(2023春·江苏·八年级期末）如图，点D、E在的边上，，，求证：．【变式训练】1．(2023春·北京门头沟·八年级统考期末）已知：如图，在中，，．求边上的高的长．2．(2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，与均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．3．(2023春·北京海淀·八年级统考期末）已知在中，，且=．作，使得．(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：(2023春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．求证：(1)；(2)．【变式训练】1．(2023春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．专题03解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【题型一底边有中点时，连中线】 1【题型二底边无中点时，作高】 7【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 14【典型例题】【题型一底边有中点时，连中线】例题：(2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，，．D为边的中点，E，F分别在上，于点D．(1)求证：是等腰三角形．(2)求的最小值．答案:(1)见解析(2)最小值为分析：（1）连接，证明，解题即可；（2）先根据勾股定理求得，则，取中点G，连接，则，即即可解题．【详解】（1）如图，连接．∵为直角三角形，且，D为的中点，∴，且平分，，∴．

又∵，∴，∵，∴，

∴，

∴，∴是等腰直角三角形．（2）∵，∴，∴，取中点G，连接，∵，∴，∴，∴最小值为．【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题的关键．【变式训练】1．(2023春·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F．(1)求证：；(2)若，求的周长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）连接，可得平分，再根据证明，即可得到结果；（2）根据已知条件证明为等边三角形，再根据直角三角形的性质得到，即可得到结果；【详解】（1）证明：连接，∵，为边的中点，∴平分，∴，∵，，∴，又，∴，∴；（2）解：，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴的周长为．【点睛】本题主要考查了三线合一，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．2．(2023春·北京大兴·八年级统考期末）已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．答案:(1)；(2)，理由见解析．分析：（1）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，根据可推导，进而证明，即可得到线段与线段的数量关系；（2）连接，利用（1）中的证明思路，再次证明，证得，即可利用等量代换得到．【详解】（1）解：连接，∵，，点是的中点∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：连接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA）∴∵∴．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．3．(2023春·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，点O为的中点．(1)若，两边分别交于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．答案:(1)①见解析；②18(2)2分析：（1）①由“”可证，可得；②由“”可证，可得，即可求解；（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．【详解】（1）①证明：如图1，连接，∵，，∴.∵点O为的中点，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如图2，连接，同理可证：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：18；（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，∵，，点O为的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【题型二底边无中点时，作高】例题：(2023春·江苏·八年级期末）如图，点D、E在的边上，，，求证：．答案:见解析分析：过点A作于P，根据等腰三角形三线合一，即可得到答案．【详解】证明：如图，过点A作于P，∵，，∴；∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查等腰三角形性质：三线合一，解题的关键是作辅助线．【变式训练】1．(2023春·北京门头沟·八年级统考期末）已知：如图，在中，，．求边上的高的长．答案:边上高的为分析：过作于，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理，得出，即可得出边上高的长．【详解】解：如图，过作于，在中，∵，，∴，在中，∵，，∴，∴边上高的为．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等腰三角形三线合一的性质．2．(2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，与均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．答案:(1)20°(2)见解析(3)分析：（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出，即可由求解；（2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，，进而求得，，即可得出，从而得出结论；（3）由（2）可知，，从而有，再根据，则有，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）证明：过点作于点，过点作于点，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，设、交于点，则又，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）可知，，∴，∵，∴．．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．3．(2023春·北京海淀·八年级统考期末）已知在中，，且=．作，使得．(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．答案:(1)；(2)见解析；(3)与相等或互补分析：（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得，由即可求出的度数；（2）作根据AAS证明≌,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补．【详解】（1）解：中，，且=,

．（2）如图，过点作于E点，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如图，作于，于，∵与的面积相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如图，作于，作垂直于的延长线于．则．∵，，∴，∵与的面积相等，∴．∴≌．∴．，∴，综上，与相等或互补．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：(2023春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．求证：(1)；(2)．答案:(1)见解析(2)见解析分析：（1）根据证明，即可得出；（2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：过点C作交于点M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1．(2023春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．答案:(1)(2)(3)，证明见解析(4)的面积是分析：（1）证（），得，即可；（2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论；（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论．【详解】（