2021-2022学年浙江八年级第二学期数学竞赛冲刺卷04(原卷版+解析)

2021-2022学年浙江八年级第二学期数学竞赛冲刺卷04一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）若a+|a|＝0，则化简的结果为（）A．1 B．﹣1 C．2a﹣1 D．1﹣2a2．（4分）已知abc≠0且a+b+c＝0，则a（）+b（）+c（）的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣33．（4分）已知函数y＝，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（4分）若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（）A．14 B．15 C．16 D．不能确定5．（4分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为（）A．64 B．128 C．132 D．2566．（4分）已知43x＝2021，47y＝2021，则[（x﹣1）（1﹣y）]2021＝（）A．1 B．2021 C．﹣1 D．220217．（4分）如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA＝，PB＝，PC＝，则PD＝（）A．2 B． C．3 D．8．（4分）已知△ABC的三条高的比是3：4：5，且三条边的长均为整数，则△ABC的边长可能是（）A．10 B．12 C．14 D．16二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）9．（4分）若关于x的分式方程有整数解，整数m的值是．10．（4分）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为．11．（4分）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值等于．12．（4分）按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是．13．（4分）使得n2﹣19n+95为完全平方数的自然数n的值是．14．（4分）在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．如图，当点A的横坐标为﹣时，则点B的坐标为）．15．（4分）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于．16．（4分）方程组的解是．三．解答题（共4小题，满分36分）17．(本题8分)如图，已知直线y=x+1与双曲线y=交于A(a，2)、B(−2，b)两点，过点A作AC⊥x轴于点C．(1)A点的坐标为________，B点的坐标为________，双曲线解析式为________．(2)直接写出关于x的不等式：的解集；(3)若点P在直线上，是否存在点P，使．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．18．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，线段OB，OC（）的长是关于x的方程的两个根，且满足CO＝2AO．(1)求直线AC的解析式；(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，设△CPQ的面积为S（），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；(3)点M的坐标为，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．19．(本题10分)如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F．(1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______．(2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数．20．(本题10分)定义，若关于x的一元二次方程的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的的衍生点．(1)若方程为，写出该方程的的衍生点M的坐标．(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．(3)是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．2021-2022学年浙江八年级第二学期数学竞赛冲刺卷04一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）若a+|a|＝0，则化简的结果为（）A．1 B．﹣1 C．2a﹣1 D．1﹣2a分析：根据绝对值求出a≤0，根据二次根式的性质开出来，即可求出答案．【解答】解：∵a+|a|＝0，∴|a|＝﹣a，∴a≤0，∴+＝|a﹣1|+|a|＝1﹣a﹣a＝1﹣2a，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质和绝对值的应用，主要考查学生的化简能力．2．（4分）已知abc≠0且a+b+c＝0，则a（）+b（）+c（）的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣3分析：先利用乘法的分配律得到原式＝+++++，再把同分母相加，然后根据abc≠0且a+b+c＝0得到a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，把它们代入即可得到原式的值．【解答】解：原式＝+++++＝++∵abc≠0且a+b+c＝0，∴a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，∴原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故选：D．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式根据已知条件进行变形，然后利用整体代入的方法进行化简、求值．3．（4分）已知函数y＝，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3分析：大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到它们的交点为（3，3），所以直线y＝3与两抛物线有三个交点，则得到k＝3．【解答】解：如图，当y＝k成立的x值恰好有三个，即直线y＝k与两抛物线有三个交点，而当x＝3，两函数的函数值都为3，即它们的交点为（3，3），所以k＝3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．4．（4分）若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（）A．14 B．15 C．16 D．不能确定分析：由已知得y2＝﹣2x2+6x，代入x2+y2+2x中，用配方法求最大值．【解答】解：由已知得：y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x，＝﹣x2+8x，＝﹣（x﹣4）2+16，又y2＝﹣2x2+6x≥0，解得：0≤x≤3，∴当x＝3时，y＝0，所以x2+y2+2x的最大值为15．故选：B．【点评】根据已知条件将所求式子消元，转化为二次函数求最大值．关键是根据自变量的取值范围确定式子的最大值．5．（4分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为（）A．64 B．128 C．132 D．256分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2＝2a1，得出a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1B2是等边三角形，∴∠A1B1B2＝∠A1B2O＝60°，A1B1＝A1B2，∵∠O＝30°，∴∠A2A1B2＝∠O+∠A1B2O＝90°，∵∠A1B1B2＝∠O+∠OA1B1，∴∠O＝∠OA1B1＝30°，∴OB1＝A1B1＝A1B2＝1，在Rt△A2A1B2中，∵∠A1A2B2＝30°∴A2B2＝2A1B2＝2，同法可得A3B3＝22，A4B4＝23，…，AnBn＝2n﹣1，∴△A8B8B9的边长＝27＝128，故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．6．（4分）已知43x＝2021，47y＝2021，则[（x﹣1）（1﹣y）]2021＝（）A．1 B．2021 C．﹣1 D．22021分析：先表示x，y，再计算．【解答】解：∵43x＝43×47，47y＝43×47，∴43x﹣1＝47，47y﹣1＝43，∴x﹣1＝log4347，y﹣1＝log4743，∴1﹣y＝﹣log4743．∴[（x﹣1）（1﹣y）]2021＝＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查多项式乘以多项式，将x，y表示出来是求解本题的关键．7．（4分）如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA＝，PB＝，PC＝，则PD＝（）A．2 B． C．3 D．分析：用EF，BE，AB分别表示AP，BP，用CF，PF，DC分别表示DP，CP，得AP2+CP2＝DP2+BP2，已知AP，BP，CP代入上式即可求DP．【解答】解：延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF＝BE，AP2＝AE2+EP2，BP2＝BE2+PE2，DP2＝DF2+PF2，CP2＝CF2+FP2，∴AP2+CP2＝CF2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2＝DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2＝DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP＝＝2，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边相等的性质，本题中求证AP2+CP2＝DP2+BP2是解题的关键．8．（4分）已知△ABC的三条高的比是3：4：5，且三条边的长均为整数，则△ABC的边长可能是（）A．10 B．12 C．14 D．16分析：根据△ABC的面积的求解方法即可求得S△ABC＝Xa1＝Ya2＝Za3，由△ABC的三条高的比是3：4：5，易得X：Y：Z＝20：15：12，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案．【解答】解：设三边为X，Y，Z三条对应的高为a1，a2，a3，可得：S△ABC＝Xa1＝Ya2＝Za3，已知a1：a2：a3＝3：4：5，可得X：Y：Z＝20：15：12，∵三边均为整数．又∵4个答案分别是10，12，14，16．∴△ABC的边长可能是12．故选：B．【点评】此题考查了三角形面积的求解方法．此题难度较大，解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是3：4：5，求得三条边的比．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）9．（4分）若关于x的分式方程有整数解，整数m的值是4或3或0．分析：首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解．【解答】解：，∴mx﹣1﹣1＝2（x﹣2），∴x＝﹣，而分式方程有整数解，∴m﹣2＝1，m﹣2＝﹣1，m﹣2＝2，m﹣2＝﹣2，但是m﹣2＝﹣1时，x＝2，是分式方程的增根，不合题意，舍去∴m﹣2＝1，m﹣2＝2，m﹣2＝﹣2，∴m＝4，m＝3，m＝0．故答案为：m＝4，m＝3，m＝0．【点评】此题主要考查了解分式方程，其中：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．10．（4分）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为．分析：根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，再根据在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，即可求出他遇到绿灯的概率．【解答】解：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，∵在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，∴遇到绿灯的概率为1﹣＝；故答案为：．【点评】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．11．（4分）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值等于4．分析：首先把x2+y2当作一个整体，设x2+y2＝k，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值．【解答】解：设x2+y2＝k∴（k+1）（k﹣3）＝5∴k2﹣2k﹣3＝5，即k2﹣2k﹣8＝0∴k＝4，或k＝﹣2又∵x2+y2的值一定是非负数∴x2+y2的值是4．故答案为：4．【点评】此题注意把x2+y2看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍．12．（4分）按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是7＜x≤19．分析：根据运算程序，列出算式：3x﹣2，由于运行了四次，所以将每次运算的结果再代入算式，然后再解不等式即可．【解答】解：前四次操作的结果分别为3x﹣2；3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8；3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26；3（27x﹣26）﹣2＝81x﹣80；由已知得：，解得：7＜x≤19．容易验证，当7＜x≤19时，3x﹣2≤4879x﹣8≤487，故x的取值范围是：7＜x≤19．故答案为：7＜x≤19．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过程序表达式，将程序转化问题化为不等式组．13．（4分）使得n2﹣19n+95为完全平方数的自然数n的值是5或14．分析：先讨论n＝1，2，3，4，时的情况，然后讨论n≥5时的情况，运用夹逼法确定n2﹣19n+95的范围，从而得出n的可能值．【解答】解：①当n＝1，2，3，4时显然不符合题意；②当n≥5时，（n﹣10）2≤n2﹣19n+95≤n2，∴（1）n2﹣19n+95＝（n﹣10）2⇒n＝5；（2）n2﹣19n+95＝（n﹣9）2⇒n＝14，只有这两种情况符合题意，故n可取5或14．故答案为：5或14．【点评】本题考查完全平方数的知识，难度较大，注意夹逼法的运用，也要掌握讨论法的运用．14．（4分）在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．如图，当点A的横坐标为﹣时，则点B的坐标为（2，4）．分析：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，当x＝﹣时，y＝（﹣）2＝，即OE＝，AE＝，∵∠AOE+∠BOF＝180°﹣90°＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB，∴＝＝＝，设OF＝t，则BF＝2t，∴t2＝2t，解得：t1＝0（舍去），t2＝2，∴点B（2，4），故答案为：（2，4）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是作出辅助线并将线段的长根据点所在的象限确定点的坐标．15．（4分）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于7．分析：过A作AD⊥BC，交BC于D．解直角△ABD可求得AD、BD的长度，计算DE的长度，根据DE、DE求AE的长度．【解答】解：过A作AD⊥BC，交BC于D，△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4，则CD＝1，ED＝1．∴AE＝＝＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了勾股定理的运算，本题中作辅助线AD，并计算DE、AD是解题的关键．16．（4分）方程组的解是．分析：先设u＝x+2，v＝y+3，把方程组化简为，然后再设u+v＝s，uv＝t，利用完全平方公式化简后，再用加减消元可以求出方程组的解．【解答】解：设x+2＝u，y+3＝v，则原方程组变为又设u+v＝s，uv＝t，则原方程组又变形为：由（2）除以（1）得由（1）（3）得∴解之得或∴或∴原方程组之解为【点评】本题考查的是高次方程组，利用换元的方法把方程化简降次，然后用加减消元法可以求出方程组的解．三．解答题（共4小题，满分36分）17．(本题8分)如图，已知直线y=x+1与双曲线y=交于A(a，2)、B(−2，b)两点，过点A作AC⊥x轴于点C．(1)A点的坐标为________，B点的坐标为________，双曲线解析式为________．(2)直接写出关于x的不等式：的解集；(3)若点P在直线上，是否存在点P，使．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．答案:(1)（1，2），（-2，-1），y=(2)-2≤x≤0或x≥1；(3)点P的坐标为（3，4）或（-1，0）．解析：分析：（1）由直线y=x+1过点A和B，可求出点A和点B的坐标，又点A在反比例函数上，可求出k得出结论；（2）根据图象的交点坐标即可求得；（3）根据点A和点C的坐标可得出△OAC的面积，进而可得△ACP的面积，设点P的坐标为（x，x+1），根据题意得AC•=2，解方程即可求解．(1)解：∵直线y=x+1经过点A（a，2），B（-2，b），∴2=a+1，b=-2+1，∴a=1，b=-1．∴A（1，2），B（-2，-1）．∵双曲线y=经过点A（1，2），∴k=2．∴双曲线解析式为：y=．故答案为：（1，2），（-2，-1），y=；(2)解：由图象可知：不等式的解集为：-2≤x≤0或x≥1；(3)解：存在，理由如下：∵A（1，2），AC⊥x轴，∴C（1，0）．∴S△AOC=×1×2=1，∴S△ACP=2S△AOC=2．设点P的坐标为（x，x+1），根据题意得：∴AC•＝2，即＝2，解得x=3或x=-1，∴点P的坐标为（3，4）或（-1，0）．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，解题关键是学会作辅助线，结合图象分析问题．18．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，线段OB，OC（）的长是关于x的方程的两个根，且满足CO＝2AO．(1)求直线AC的解析式；(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，设△CPQ的面积为S（），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；(3)点M的坐标为，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．答案:(1)；(2)；(3)m的值为－3或－1或2或7；解析：分析：（1）根据一元二次方程的解求出OB和OC的长度，然后得到点B，点C坐标和OA的长度，进而得到点A坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC的解析式；（2）根据点A，点B坐标使用待定系数法求出直线AB的解析式，根据直线AB解析式和直线AC解析式求出点P，Q，D坐标，进而求出PQ和CD的长度，然后根据三角形面积公式求出S，最后对a的值进行分类讨论即可；（3）根据△MAB的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．(1)解：解方程得，，∵线段OB，OC（）的长是关于x的方程的两个根，∴OB＝1，OC＝6，∴，，∵CO＝2AO，∴OA＝3，∴，设直线AC的解析式为，把点，代入得，解得，∴直线AC的解析式为；(2)解：设直线AB的解析式为y=px+q，把，代入直线AB解析式得，解得，∴直线AB的解析式为，∵PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，点P的横坐标为a，∴，，，∴，，∴，当点P与点A或点C重合时，即当a=0或时，此时S=0，不符合题意，当时，，当时，，当时，，∴；(3)解：∵，，，∴，，，当∠MAB=90°时，，∴，解得，当∠ABM=90°时，，∴，解得m=7，当∠AMB=90°时，，∴，解得，，∴m的值为－3或－1或2或7．【点睛】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．19．(本题10分)如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F．(1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______．(2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数．答案:(1)45°(2)60°解析：分析：（1）连接CG，BG，证△DCG≌△BEG（SAS），得到BG=DG，∠CDG=∠EBG，再证△BGD是直角三角形，即得△BGD是等腰直角三角形，即可由等腰直角三角形的性质求解；（2）延长AB、FG相交于H，连接DH，先证四边形ADFH是平行四边形，再证平行四边形ADFH是菱形，得∠HDF=∠ADF=60°，△DGF≌△DBH（SAS），得∠GDF=∠BDH，即可得∠BDG=∠HDF，可求解．(1)解：∵平行四边形，，∴四边形为矩形，∴∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD，∴∠ECF=90°，连接CG，BG，如图2，∵G是EF的中点，∴CG=EG=GF，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB，∴BE=CD，∴∠FEC=∠BEA=45°，∴∠BEG=135°，∴∠EFC=∠FEC=45°，∴∠GCF=∠EFC=45°，∴∠DCG=135°，∴∠DCG=∠BEF，在△DCG和△BEG中，，∴△DCG≌△BEG（SAS），∴BG=DG，∠CDG=∠EBG，∵∠CDG+∠GDB+∠CBD=90°，∴∠EBG+∠GDB+∠CBD=90°，∴∠BGD=90°，∴△BGD是等腰直角三角形，∴∠BDG=45°；故答案为：45°；(2)解：延长AB、FG相交于H，连接DH，如图，∵FGCE，∴ADHF，∵