2025版新教材高中数学章末质量检测五概率湘教版必修第二册

章末质量检测(五)概率考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列说法正确的是()A．甲、乙两人竞赛，甲胜的概率为eq\f(3,5)，则竞赛5场，甲胜3场B．某医院对一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人肯定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中预报某天降水的概率为90%，是指降水的可能性是90%2．某人打靶时连续射击两次，下列事务中与事务“至少一次中靶”互为对立的是()A．至多一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都没中靶3．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片，并登记号码，统计如下：卡片号码12345678910取到的次数138576131810119则取到的号码为奇数的频率是()A.0.53B．0.5C．0.47D．0.374．新高考综合改革实施方案将采纳“3＋1＋2”模式，“3”为语文、数学、英语全部学生必考；“1”为必需在物理、历史中选一科；“2”为再选科目，考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科．若不考虑主观因素的影响，选择各科是等可能的，则某同学选择含有地理学科组合的概率为()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(7,15)D．eq\f(8,15)5．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、激励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中激励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为()A.0.16B．0.12C.0.18D．0.586．甲、乙两人参与“社会主义核心价值观”学问竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A.eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,12)D．eq\f(5,7)7．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参与“《论语》学问大赛”，决出了第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成果，回答者对甲说：“虽然你的成果比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是()A.eq\f(1,5)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,6)8．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参与．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为()A.eq\f(2,5)B．eq\f(12,25)C．eq\f(16,25)D．eq\f(4,5)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为eq\f(1,3)，甲不输的概率为eq\f(3,4)，下列说法正确的是()A.和棋的概率是eq\f(5,12)B．乙不输的概率是eq\f(2,3)C.乙胜的概率是eq\f(1,3)D．甲输的概率是eq\f(1,4)10．某学校共3000名学生，为了调查本学校学生携带手机进校内状况，对随机抽出的500名学生进行调查，调查中运用了2个问题，问题1：你生日的月份是否为奇数？问题2：你是否携带手机？调查人员给被调查者打算了一枚质地匀称的硬币，被调查者背对着调查人员掷一次硬币，假如正面朝上，则回答问题1；假如反面朝上，则回答问题2.共有175人回答“是”，则下列说法正确的有()A.估计被调查者中约有175人携带手机B．估计本校学生约有600人携带手机C.估计该学校约有20%的学生携带手机D．估计该学校约有10%的学生携带手机11．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，则()A.第一次摸到红球的概率为eq\f(2,5)B．其次次摸到红球的概率为eq\f(2,5)C.两次都摸到红球的概率为eq\f(1,20)D．两次都摸到黄球的概率为eq\f(3,10)12．某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放状况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾的投放质量400200100可回收物的投放质量3014030其他垃圾的投放质量202060依据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放状况，下列结论正确的是()A.“厨余垃圾”投放正确的概率约为eq\f(4,7)B.“可回收物”投放错误的概率约为eq\f(3,5)C.该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低D.该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．对某产品进行抽样检查，数据如下：抽查件数50100200300500合格件数4792192285475依据表中的数据，假如要从该产品中抽到950件合格品，则大约须要抽查________件产品．14．为迎接2024年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________．15．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为________．16．甲、乙二人进行射击嬉戏，目标靶上有三个区域，分别涂有红、黄、蓝三色，已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(1,5)，乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是eq\f(1,6)，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，二人射击状况互不影响，若甲、乙各射击一次，则二人命中同色区域的概率为________，二人命中不同色区域的概率为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想指的是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如16＝3＋13.现从不超过16的素数中，随机选取两个不同的数(两个数无序).(注：不超过16的素数有2，3，5，7，11，13)(1)列举出满意条件的全部基本领件；(2)求事务“选取的两个数之和等于16”发生的概率．18．(本小题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值．(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)19．(本小题满分12分)新冠肺炎疫情已经对人类生产生活带来严峻挑战，对将来也将产生特别深远的影响，为适应疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫学问，拟成立一个由3人组成的科学防疫宣讲小组，现初步选定2名女生，3名男生为候选人，每位候选人当选的机会是相同的．(1)求当选的3名同学中恰有1名女生的概率；(2)求当选的3名同学中至多有2名男生的概率．20．(本小题满分12分)溺水、校内欺凌等与学生平安有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及平安教化，某市组织了一次学生平安学问竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为eq\f(2,3)，乙队每人回答问题正确的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．21．(本小题满分12分)某快餐配送平台针对外卖员送餐准点状况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟状况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次嘉奖3元、嘉奖0元、罚款3元、罚款6元．假定评定为等级A，B，C的概率分别是eq\f(3,4)，eq\f(1,8)，eq\f(3,32).(1)若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；(2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的嘉奖之和为0元的概率．22．(本小题满分12分)某校设计了如下有奖闯关嬉戏：参赛选手按第一关，其次关，第三关的依次依次闯关，若闯关胜利，分别获得5个学豆，10个学豆，20个学豆的嘉奖，嬉戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束嬉戏；也可以选择接着闯下一关，若有任何一关没有闯关胜利，则全部学豆归零，嬉戏结束．设选手甲第一关，其次关，第三关闯关胜利的概率分别为eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，选手选择接着闯关的概率均为eq\f(1,2)，且各关之间闯关胜利与否互不影响．(1)求选手甲第一关闯关胜利且所得学豆为零的概率；(2)求该选手所得学豆总个数不少于15的概率．章末质量检测(五)概率1．解析：概率只是说明事务发生的可能性大小，其发生具有随机性．答案：D2．解析：“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满意条件；“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满意条件；“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满意条件；“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满意条件．答案：D3．解析：eq\f(13＋5＋6＋18＋11,100)＝0.53.答案：A4．解析：依据“3＋1＋2”模式选科详细组合如下：(物理，化学，生物)、(物理，化学，地理)、(物理，化学，政治)、(物理，生物，政治)、(物理，生物，地理)、(物理，政治，地理)、(历史，化学，生物)、(历史，化学，地理)、(历史，化学，政治)、(历史，生物，政治)、(历史，生物，地理)、(历史，政治，地理)，共12种组合，其中含地理学科的组合有6种，所以某同学选择含地理学科组合的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).答案：B5．解析：由于奖项一等奖、二等奖、激励奖和不中奖四个事务是相互独立，且构成事务为必定事务，∴不中奖的概率为1－0.1－0.32－0.42＝0.16.答案：A6．解析：恰有一人获得一等奖包括甲获得、乙没有获得和甲没有获得、乙获得，则所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).答案：C7．解析：甲、乙都不行能是第一名，第一名只可能是丙、丁、戊，又考虑到全部的限制条件对丙、丁都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事务，所以丙是第一名的概率是eq\f(1,3).答案：B8．解析：设甲同学收到李老师的信息为事务A，收到张老师的信息为事务B，A、B相互独立，P(A)＝P(B)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为1－P(∩)＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(16,25).答案：C9．解析：和棋的概率是eq\f(3,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(5,12)，A对；乙不输的概率是1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，B对；乙胜的概率是eq\f(2,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4)，C错；甲输的概率是1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，D对．答案：ABD10．解析：随机抽取的500名学生中，回答第一个问题的概率为eq\f(1,2)，生日月份为奇数的概率也是eq\f(1,2)，所以回答第一个问题且回答是的人数为500×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝125，所以回答其次个问题且回答是的人数为175－125＝50，所以随机抽取的500名学生中，带手机的学生人数的比例为eq\f(50,250)＝20%，故该学校3000名学生中，带手机的学生人数为3000×20%＝600.所以BC正确．答案：BC11．解析：易知A正确；第一次黄球其次次红球或者两次均是红球，概率为：eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(2,5)，B正确；两次都摸到红球的概率为：eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,10)，C错误；两次都摸到黄球的概率为：eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(3,10)，D正确．答案：ABD12．解析：“厨余垃圾”共有400＋200＋100＝700kg，其中400kg投放正确，概率为eq\f(4,7)，所以A选项说法正确；“可回收物”共有30＋140＋30＝200kg，其中60kg投放错误，概率为eq\f(3,10)，所以B选项说法错误；“厨余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放正确的概率依次为eq\f(4,7)，eq\f(7,10)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)最小，所以C选项说法正确；“厨余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放错误的概率依次为eq\f(3,7)，eq\f(3,10)，eq\f(2,5)，eq\f(3,7)最大，所以D选项说法错误．答案：AC13．解析：依据题表中数据可知合格品出现的频率为0.94，0.92，0.96，0.95，0.95，因此合格品出现的概率约为0.95，因此要抽到950件合格品，大约须要抽查1000件产品．答案：100014．解析：设抽到一等品、二等品、三等品的事务分别为A，B，C.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＋P（B）＝0.93,P（A）＋P（C）＝0.85,P（A）＋P（B）＋P（C）＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（C）＝0.07,P（B）＝0.15,P（A）＝0.78))，则抽到一等品的概率为0.78.答案：0.7815．解析：若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数的全部状况为：123，132，213，231，312，321；124，142，214，241，412，421；134，143，314，341，413，431；234，243，324，342，423，432.共24个．其中满意题意的“凹数”全部状况为：213，312，214，412，314，413，324，423.共8个．依据古典概型的概率公式得所求概率为eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)16．解析：设甲射中红、黄、蓝区域的事务分别为A1，A2，A3，乙射中红、黄、蓝区域的事务分别为B1，B2，B3，则P(A1)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(2,5)，P(A3)＝eq\f(1,5)，P(B1)＝eq\f(1,6)，P(B2)＝eq\f(1,2)，P(B3)＝eq\f(1,4).∵二人射击状况互不影响，∴二人命中同色区域的概率为P(A1∩B1＋A2∩B2＋A3∩B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(17,60)；二人命中不同色区域的概率为P(A1∩B2＋A1∩B3＋A2∩B1＋A2∩B3＋A3∩B1＋A3∩B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B1)＋P(A3)P(B2)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,6)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(9,20).答案：eq\f(17,60)eq\f(9,20)17．解析：(1)不超过16的素数有2，3，5，7，11，13共6个，随机选取两个不同的数，所以基本领件为(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(2，13)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(3，13)，(5，7)，(5，11)，(5，13)，(7，11)，(7，13)，(11，13)共有15个基本领件；(2)记“选取两个数之和等于16”为事务A，因为3＋13＝5＋11＝16，所以其和等于16的有2个基本领件，故概率为P(A)＝eq\f(2,15).18．解析：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟).(2)记A为事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事务“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).19．解析：将2名女生，3名男生分别用A，B；a，b，c表示，则从5名候选人中选3名同学的试验的样本空间为Ω＝[(A，B，a)，(A，B，b)，(A，B，c)，(A，a，b)，(A，a，c)，(A，b，c)，(B，a，b)，(B，a，c)，(B，b，c)，(a，b，c)]共10种，(1)设A＝“恰有一女生”，则A＝{(A，a，b)，(A，a，c)，(A，b，c)，(B，a，b)，(B，a，c)，(B，b，c)}，∴P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)设B＝“至多有两个男生”，C＝“全部都是男生”，事务B，C为对立事务，因为C＝{(a，b，c)}，∴P(C)＝eq\f(1,10)，∴P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).20．解析：(1)记“甲队总得分为3分”为事务A，记“甲队总得分为1分”为事务B，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P(A)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为P(B)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).∴甲队总得分为3分与1分的概率分别为eq\f(8,27)，eq\f(2,9).(2)记“甲队得分为2分”为事务C，记“乙队得分为1分”为事务D，事务C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则P(C)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，事务D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则P(D)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，由题意得事务C与事务D相互独立，∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：P(C∩D)＝P(C)P(D)＝eq\f(4,9)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,9).21．解析：(1)设事务A，B，C，D分别表示“被评为等级A，B，