初中数学-反比例函数复习教学设计学情分析教材分析课后反思1

教学设计

一、教学内容分析

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念，是研究

现实世界变化规律的重要内容和数学模型.反比例函数在前面已经复习了“图形与坐标”“一

次函数”基础上研究一类基本函数。本专题复习在反比例函数单元复习基础上展开的，以函

数图象为载体，以数形结合思想为主线，围绕“比较大小、图象法解方程与不等式、面积问

题”核心内容进行，学生在解决问题过程中进一步领悟反比例函数的概念并积累研究函数性

质的方法及用函数观点解决问题的经验，为后继复习二次函数等产生积极的影响.

二、学情分析

反比例函数是函数的重要知识，核心知识是反比例函数的概念、图象、性质与应用

.从学生学习情况分析，反比例函数的增减性与一次函数增减性容易相混，用函数观点看待

方程、不等式、函数间的关系在理解上、思维方式上存在一定困难，基于以上分析，从学习

函数最本质的思想一一数形结合思想为立意，设计脚手架一一函数图象，在学生疑难问题解

决过程中加深对反比例函数乃至对三类函数的理解

.三、教学目标

知识目标：

1.理解反比例函数的概念，会求反比例函数解析式；

2.理解并掌握反比例函数图象与性质，能运用反比例函数图象与性质解决有关函数值比较

大小问题；

3.理解并掌握关于k的面积问题；

4.在解决问题过程中，体会数形结合思想在解决函数问题中作用，提高利用函数思想探究

问题的积极性.

能力目标：培养学生的数形结合能力

四、教学重难点

重点：反比例函数的图象性质与数形结合思想

难点：k的几何意义

五、教学过程

知识点一：概念和关系式的确定

1、概念：一般地，形如尸,（k是常数,K三。）的函数称为反比例函数，其中x是自变量,y是函

X

数.（提醒学生k、X、y都不能为0）

2、三种表现形式

y=—（k是常数,kWO）

x

例一：1、下列函数中，y是x的反比例函数的是（）

Ax（y-1）=2B.y=---.C.y=^-1

D.y=—

x-2x7x

y=kx-l（k是常数,kNO）

2c

例二：若函数y=（n-l）x〃-2是反比例函数,则n的值是（）

A.±lB.-1C.1D.2

xy=k（k是常数,kWO）

例三：已知反比例函数的图象经过点（m,2）,和（2,3）,则m的值为（）

教师：提问学生三种表达方式，让学生自己讲解例题。简单的例题提高学生自信，带动学生

的学习积极性。

学生：课下已独立完成学案，通过不同学生的回答注意易出错的地方。

知识点二：反比例函数的图像与性质

1.大致特征

反比例函数y=L（%WO）的图象是.

因为x#0,kWO,相应地y值也不能为0,所以

X

反比例函数的图象无限接近X轴和y轴，但永不与X轴、y轴.

k的符号k>0k<0

图像的大致位置心

十、

所在象限第__________象限第________象限

在每一象限内y随x的增大在每一象限内y随x的增大

性质

而_________而____________

2所在象限

2m-1

例四..如果反比例函数产（m为常数）的图象在第二、四象限内，则m的取值范

X

围（）

11、1

A.m>0B.m>—C.m<—D.m》一

222

3、增减性

2

例五：点A（xi，yi）、Bg,y2）、C（X3，y3）都在反比例函数y=——的图象上，且xi<X2<0

X

<X3，则yi、y2、y3的大小关系是【

A.y3<yi<y2B.yi<y2<y3C.yj<y2<yiD.y2

<yi<y3

教师：提醒学生注意增减性是在每一象限内，只有点在同意象限内才可以用增减性比较。

学生：不同学生有不同的结果，提醒怎么能不抽象。形象的比较大小。

教师:展示用数形结合思想在数轴上比较大小。，如图所示。

4、对称性

轴对称

例六:.正比例函数产kx（k>0）的图象与反比例函数产士2的图象的交点位于第（）

象限，若一点的坐标为（1,2）,则另一点的坐标是（）

知识点三：k的几何意义

面积性质一

k

设尸（桃，九）是双曲线y=—（左n0）上任意一点

x

⑴过尸作X轴（或y轴）的垂线,垂足为A,则

111

S^OAP=--OA-AP=-\m\^\n\=-\k\

例七.已知反比例函数y=L如图所示

（2）过产分别作x轴,y轴的垂线垂足分别为4,B,

贝US矩形=OA-A尸=|加|•|九|=|左|（如图所示）.

例八.求下列各图的面积

（以上是知道k的值求面积，同样也有知道面积求k,所以设计了第九题）。

例九.（2014•遵义）如图，反比例函数产上（k>0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E,

1判定图像经过的象限

.例十：函数y=—与y=kx+l（kW0）在同一坐标系内的大致图象是（）

2.反比例函数与一次函数的交点问题

例十一：已知一次函数y=2x-k的图象与反比例函数y=生二的图象相交，其中有一个交

X

点的纵坐标为4,求这两个函数的解析式及交点坐标？

3.函数观点看待不等式

rn

例十二：（2014•潍坊）已知一次函数yi=kx+b（k<0）与反比例函数y2=—（m#0）的图象

x

相交于A、B两点，其横坐标分别是-2和1,当yi>y2时，实数x的取值范围是（）

4.一次函数与反比例函数结合的面积问题

教师：己两个典型求面积的题为例，让学生讨论不同的解决方法。

学生：思考以后，小组比赛，多种比较那个又快有简单。

（以上三个问题往往在一个大题同时出现，所以接着练习下边的综合体）

例十三、（2014•自贡）如图，一次函数产kx+b与反比例函数行图（x>0）的图象交于A

x

（m,6）,B（3,n）两点.

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出kx+b-的x的取值范围；

x

（3）求aAOB的面积

（知识点复习完以后，学生基本掌握了反比例函数的几个考点，接着趁热打铁，加深训练）

趁热打铁，攻破难点（变行训练）

n

1.（2014•凉山州）函数尸wr+〃与尸，其中止<）,那么它们在同一坐标系

mx

中的图象可能是（）

ABCD

2

2..（2014•随州）关于反比例函数尸一的图象，下列说法正确的是（）

x

A.图象经过点（1,1）

B.两个分支分布在第二、四象限

C.两个分支关于x轴成轴对称

D.当xVO时，y随x的增大而减小

3（2014•孝感）如图，RtmAOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=K（x>0）经过斜

X

边OA的中点C,与另一直角边交于点D.若S0OCD=9,则SaoBD的值为

4.(2014♦内江)如图，一次函数户1«+1?的图象与反比例函数产工(x>0)的图象交于点P

x

(n,2),与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,PB_Lx轴于点B,且AC=BC.

(1)求一次函数、反比例函数的解析式；

(2)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐

标；如果不存在，说明理由.

总结：学生讨论总结本节课的收获，总结本节中出现的几种数学思想。

六.板书设计

反比例函数

数形结合

不规则图形

割补

七.教学效果

本节基本完成课前设定的教学目标，学生对反比例函数的概念和关系式的确定这一知

识点掌握较好。在用图像增减性比较大小时较容易出错，在关于k的面积问题时，简单的题

目很快得出答案，复杂点的则较困难，几种求面积是的方法不能灵活运用，例如：不规则图

形时的割补、等积转换等。在用数形结合比较反比例函数和一次函数时，效果比预想的好。

同时通过典型例题的讲解，可以掌握中考的主要知识点，并且效率很高。学生在讲解

例题时也可以充分的梳理知识脉络，提高自己的语言表达能力，带动学生的主动积极性。

学情分析

学生在九年级上册已经学过反比例函数全章的知识，掌握了反比例函数的概念、图像

和性质。初步具有对反比例函数的有关问题进行合作探究的意识与能力，也会用反比例知识

解决一些简单的实际问题。

虽然经过一段时间有些知识点已经忘记，但因为本章的概念、性质不多，基本内容的复

习并不困难。难点是对前后知识的综合运用，解决问题时把代数式、方程、函数、图形、

直角坐标系结合起来，怎样用函数观点看待方程、不等式，如何掌握并灵活运用数形结合这

一思想。因为九年级学生已初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力，另外学生个性

活泼，思维活跃，积极性高，大部分学生复习起来并不困难，但要注意学生的个体差异，对基

础知识差的学生要重点关注。

效果分析

本节基本完成课前设定的教学目标，学生对反比例函数的概念和关系式的确定这一知

识点掌握较好。在用图像增减性比较大小时较容易出错，在关于k的面积问题时，简单的题

目很快得出答案，复杂点的则较困难，几种求面积是的方法不能灵活运用，例如：不规则图

形时的割补、等积转换等。在用数形结合比较反比例函数和一次函数时，效果比预想的好。

同时通过典型例题的讲解，可以掌握中考的主要知识点，并且效率很高。学生在讲解

例题时也可以充分的梳理知识脉络，提高自己的语言表达能力，带动学生的主动积极性。

教材分析

“反比例函数复习”是复习北师版九年级上册第六章反比例函数，位于中考复习第一轮

中的函数部分，介于一次函数和二次函数之间，有着承上启下的作用。

课本教材主要分为三个部分：1、反比例函数概念2、反比例函数的图像3、反比例函

数应用。因为已经复习了一次函数，已经掌握用待定系数法求解析式，所以本节目标主要是

使学生掌握数形结合这一重要思想。在反比例函数增减性和反比例函数与一次函数结合中练

习。根据新课标要求，结合近几年中考出题方向和内容，为了提高复习效率和复习质量，把

反比例函数的中考知识点分为四个部分：

1、反比例函数概念和关系式的确定（主要是三种表现形式和待定系数法求解析式）。

2、反比例函数的图像和性质，（重点是在增减性问题上使学生体会数形结合思想）

3、k的几何意义（k的面积问题是反比例函数特有的，主要分为知道k求面积和知道

面积求k两种）

4.反比例函数和一次函数结合(分为图像所在象限、交点问题、比较大小和面积四个

方面)

通过先复习知识点，让学生讲解例题，然后趁热打铁做练习，使学生掌握反比例函数。

争取在中考发挥最好的水平，取得最好的成绩。

评测练习

【基础过关】

1.下列各点中，在函数尸一自图象上的是()

X

A.(-2,-4)B.(2,3)C.(-6,1)D.3)

2

2.下列函数中，当%>0时;y值随x值增大而减小的是()

A.y=x.B.y=x—\.

〃31

C.y=—xDn.y=—

4x

3.双曲线尸纹」的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是()

x

A.k>-B.k<-C.k=-D.不存在

222

4.若函数尸丝上2的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，

X

则m的取值范围是()

A.m>—2B.m<—2,C.m>2

D.m<2

()

二,、填空题

1.双曲线/、角在第一象限的图象如图，过与上的任意一点A,作也

的平行线交及于B,交y轴于C,若S,AA0B=1.5,则方的解析式是

2.(2011陕西)如图，过y轴上任意一点P,作x轴的平行线，分别与

42

反比例函数y=——和7=—的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC,

xx

BC,则△ABC的面积为.

3.(2010陕西)已知A(xby2),B(x2,y2)都在y=—图像上。若Xix2=-3则y2y2的值为.

x

Q

4.已知A(xi,y2),B(X2,y2)都在y=——图象上。若y2•ya=16,则

x

Xi•X2的值为.

三、解答题

m

如图，已知A(-4,2)、B(n,-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数尸x的图

象的两个交点.

(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围

【强化训练】

1.(2014•自贡)关于x的函数y=k(x+1)和y=§(k¥0)在同一坐标系中的图象大致是

2.(2014•绥化)如图，过点0作直线与双曲线y=5(k#0)交于A、B两点，过点B作BCJ_x

轴于点C,作BDLy轴于点D.在x轴上分别取点E、F,使点A、E、F在同一条直线上，且

AE=AF.设图中矩形ODBC的面积为S”AEOF的面积为Sz,则8、S?的数量关系是()

2题图3题图4题图5题图

3（2014•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，梯形0ACB的顶点0是坐标原点，0A边在y轴

正半轴上，0B边在x轴正半轴上，且0A〃BC,双曲线y=§（x>0）经过AC边的中点，若S

悌影（»CB=4,则k值为（）

A.5B.4C.3D.2

4（2014•黔东南州）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=§的图象相交于A、B两点，BC工x

轴于点C,则4ABC的面积为（）

-5_

A.1B.2C.2D.2

♦

5（2014•聊城）如图，一次函数yi=Lx+b的图象和反比例函数yz=x的图象交于A（1,2）,

B（-2,-1）两点，若yi<yz,则x的取值范围是

k

6.若A。[,%）,B（x2,y2）,。（七，九）是双曲线y=——（kVO）上的两点，且X]Vx,V0<X3，

x

则y”巳，y5的大小关系是.

7.（2012陕西）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6

的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即可）

Q

8.（2013陕西）如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=-?的图象交于

x

A*”M）、8（X2,%）两点，那么（/一左2）（必一乂）的值为.

9.（2014陕西）已知9（再,凶），幽（七,打）是同一反比例函数图象上的两点若“2=再+2,

且‘-='+工，则这个反比例函数的表达式为______

力M2

10.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标系原点，矩形OABC的边OA,0C分别在x轴和

y轴上，其中0A=6,0C=3.已知反比例函数y=§（x>0）的图象经过BC边上的中点D,交

AB于点E.

（1）求k的值；

（2）猜想AOCD的面积与aOBE的面积之间的关系，请说明理由.

11.(2014•南平)如图，已知反比例函数丫=一与一次函数丫=1«+13的图象相交于人(4,1)、

x

B(a,2)两点，一次函数的图象与y轴的交点为C.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式：

(2)若点D的坐标为(1,0),求4ACD的面积.

课后反思

本节课上完以后，有精彩的地方但也有不足之处。

我认为本堂课成功的做法有以下几方面：

一、定位较准，立足于本校学情。由于学生基础较差，本节复习是按知识点复习，目是

落实知识点和掌握一些基本的题型，通过教学来看目标已达成。

二、习题设计合理，立足于思维训练。本节课每个知识点都设计了针对性的变式练习，

通过练习学生的解体技巧、方法、