2.3用公式法求解一元二次方程（培优版） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。2.3用公式法求解一元二次方程（培优版）黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。一、选择题1．已知关于x的一元二次方程(p+1)x2+2qx+(p+1)=0A．1可能是方程x2+qx+p=0的根 B．−1可能是方程C．0可能是方程x2+qx+p=0的根 D．1和-1都是方程2．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法：①当b=a+c时，则方程ax2+bx+c=0一定有一根为x=−1；②若ab>0，bc<0，则方程ax2+bx+c=0A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③4．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0A．若方程ax2+bx+c=0B．如果m是方程ax2+bx+c=0的一个根，那么1C．如果方程ax2+bx+c=0D．如果方程ax2+bx+c=05．设m是整数，关于x的方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（）。A．x1=C．x1=−1，6．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（）。A．有两相等实根 B．有两相异实根C．无实根 D．不能确定7．已知关于x的一元二次方程x2A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根C．方程没有实数根 D．方程的根为x1=18．已知关于x的一元二次方程(k−1)xA．k>2 B．k>2且k≠1 C．k<2 D．k<2且k≠19．从−4，−2，−1，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a.若数a使关于x的一元二次方程x2−2(a−4)x+aA．−6 B．−4 C．−2 D．210．一元二次方程x2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．没有实数根宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。二、填空题11．若一元二次方程x2+mx+2=0有两个相等的实数根，则m的值是12．若关于x的方程x2−4x+k−1有两个不相等的实数根，则k的取值范围是13．关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个实数根，则实数m的取值范围是14．关于x的方程x2−2x+m=p15．若是方程x2−2mx+m2−m−1的两个实数根，且，则m书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三、计算题16．解方程：5x2+2x-1=0.17．解下列方程（1）x2-6x-16=0（配方法）；（2）2x书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。四、综合题18．已知关于x的一元二次方程x2（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根.19．已知关于x的方程x2-4x+3a-1＝0有两个实数根.（1）求实数a的取值范围；（2）若a为正整数，求方程的根.20．（1）解方程：x2（2）解方程：x(x−2)=5；（3）关于x的一元二次方程ax

1．答案:D解析：解：∵方程(p+1)x∴Δ=(2q)2−4∴q=±(p+1)，当q=p+1，即1+p−q=0时，∴x=−1是x2当q=−(p+1)，即1+p+q=0时，∴x=1是x2∵p+1≠0，∴p+1≠−(p+1)，∴x=−1和x=1不能同时是方程x2当x=0时，p=0，∴q=±1，∴当p=0，q=±1时，x=0是方程x2故答案为：D.分析：根据方程有两个相等的实数根可得△=(2q)2-4(p+1)2=0且p+1≠0，化简可得q=±(p+1)，当q=p+1时，有1+p-q=0，此时x=-1，据此判断A；当q=-(p+1)时，有1+p+q=0，此时x=1，据此判断B；根据p+1≠0可得p+1≠-(p+1)，据此判断D；当x=0时，p=0，q=±1，据此判断C.2．答案:C解析：解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），△＝b2−4ac，①将x＝−1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a−b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2−4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．④若b＝2a＋3c，△＝b2−4ac＝（2a＋3c）2−4ac=4（a＋c）2＋5c2＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．所以正确的是①②④，故答案为：C．分析：根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．3．答案:B解析：解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝−b+b2∴2ax0+b＝b2−4ac或2ax0∴b故④正确.故答案为：B.分析：按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.4．答案:C解析：解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴a+b⋅1m+c(1m)2=0，∴C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．故答案为：C．分析：根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．5．答案:C解析：（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，解得x1=-1，为有理根；

（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，∵方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，∴△=b2-4ac为完全平方数，即△=（m-1）2-4m=（m-3）2-8为完全平方数，而m是整数，∴设（m-3）2-8=n2，即（m-3）2=8+n2，∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，∴n=1，∴m-3=3，即m=6，所以方程为：6x2-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，∴x1=12，x2=13，

综上所述方程的根为x1=-1，x2=12，x故答案为：C．分析：可分为m=0与m≠0两类，当方程为一元二次方程时，有理根可从判别式为完全平方数入手，进而求出m的值，再求出根.6．答案:C解析：∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a2≠0．∴△=（c2-a2-b2）2-4a2•b2，=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），又∵三角形任意两边之和大于第三边，所以△＜0，则原方程没有实数根．答案为：C．分析：算出判别式，进行分解因式，再根据两边之和大于第三边，得出答案△＜0，则原方程没有实数根．7．答案:B解析：解：∵x2∴Δ=b∴方程有两个不相等的实数根，故答案为：B

分析：利用一元二次方程根的判别式求解即可。8．答案:D解析：解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x∴Δ＝4−4×1×（k−1）＝8−4k>0且k−1≠0，∴k<2且k≠1.故答案为：D.分析：根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac>0且k-1≠0，联立求解可得k的范围.9．答案:C解析：解：方程x2∴△=4(a−4)2−4a2⩾0，解得a⩽2∴满足条件的a的值为−4，−2，−1，0，1，2方程y+a解得y=a2∵y有整数解∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，符合条件的a的值的和是−2故答案为：C.分析：根据方程有实数根可得△=4(a−4)2−4a2≥0，求出a的范围，求解分式方程可得y=a210．答案:A解析：∵由题意得：x2−3x+1=0中：a=1，b=−3，∴Δ===5，∵Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：A

分析：利用一元二次方程根的判别式求解即可。11．答案:±2解析：解：∵一元二次方程x2∴Δ=b解得：m=±22故答案为：±22分析：根据一元二次方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值.12．答案:k＜5解析：解：∵关于x的方程x2∴Δ=b∴k<5，故答案为：k＜5．

分析：利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。13．答案:m≥-4解析：∵关于a的一元二次方程x2∴Δ=4解得：m≥-4，故答案为：m≥-4．

分析：利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。14．答案:m<1解析：解：原方程可化为x2当该方程总有两个不相等的实数根时，则其根的判别式Δ=(−2)解得m<1+p∵无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式m<1+p∴m小于1+p由偶次方的非负性得：p2∴1+p∴1+p∴m<1，故答案为：m<1.分析：由于无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，可得Δ=−4m+4+4p2>0，从而得出m<1+p215．答案:1解析：若是方程x2−2mx+m2−m−1的两个实数根；

∴x1+x2=2m；x1·x2=m2−m−1因为

∴2m=1-（m2−m−1）

解得m1=-2；m2=1

又因为∆≥0

∴得（2m）2-4(m2−m−1)≥0

解得m≥-1

因此m=1

故答案应为：1

分析：易由韦达定理得到两个关系，借助可得m的值，又因为由两个实数根，所以得到判别式大于等于零，从而得到m取值范围，最终得到答案。16．答案:解：∵a=5，b=2，c=-1，∴Δ=b2-4ac=22-4×5×(-1)=24>0，所以x=解得：x解析：先求出b2-4ac的值，再代入一元二次方程的求根公式进行计算，可求出方程的解.17．答案:（1）解：xx2x2−6x+9=25，即∴x−3=±5，∴x1（2）解：2x∵a=2，∴Δ=(∴x解析：（1）利用配方法求解一元二次方程即可；

（2）利用公式法求解一元二次方程即可。18．答案:（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=2∴m<2.（2）解：∵m为正整数，又m<2，∴m=1.当m=1时，原方程为x2解得x=−2+2因此，原方程的根为x1=−1+2解析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac>0，代入求解可得m的范围；

（2）根据m的范围结合m为正整数可得m=1，则原方程化为x2+2x-1=0，然后利用公式法求解即可.19．答案:（1）解：∵方程x2-4x+3a-1＝0有两个实数根，∴Δ＝（-4）2-4×1×（3a-1）≥0，a≤53（2）解：∵a≤53∴a＝1，∴x2-4x+2＝0，x2-4x+4＝2，（x-2）2＝2，x-2＝±2，x＝2±2.解析：（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，可列出关于字母a的不