2024辽宁省七校协作体高二下学期6月月考数学试题及答案

2023—2024学年度（下）七校协作体高二联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．aa21aa6aa141.在正项等比数列n中，已知，34，则（）A.1B.2C.4D.8，ii6的散点图可知，与ybxa的关系可以用模型yx2.ˆˆbz1.xxxxxx12已知，123456zxyz拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程i1y18，则ˆ（）bi617A.B.C.1D.ee123.图1是第七届国际数学教育大会（简称7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一AAAAAA1连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续1122378n作下去，则第个三角形的面积为（）nn2nA.B.C.D.n2224.下列说法中正确的有（）A.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的分位数可能等于原样本数据的分位数；第1页/共26页,Br97,r99，则A组数据比B组数据的线性相关ABB.若两组成对数据的样本相关系数分别为性强；12512XN3,22EX1,DX12；C.设随机变量，则2D.某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3yfx上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线fxxme5.已知函数x，曲线yxm平行，则实数的取值范围是（）1e21e2,e2,01eD.2,A.B.C.6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（）1PCB.A.事件A与事件B互为对立事件61PBCC.D.事件B与事件C相互不独立132，则下列说法正确的是（6Sn1n1Snn的前项和为）annSn,7.设数列是等比数列aA.B.nS,SS,SS成等差数列，公差为369639C.当且仅当n17时，取得最大值SnSn0n时，的最大值为33D.8.设函数2，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是fxxax(a2)xfx0a6ln3426ln3424242[,)(,),1,1A.B.C.D.12612666二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．的前项和为，下列说法正确的是（SnN）ann*9.已知数列n是等差数列，，则使0Snn的最大正整数的值为15a151615170A.若B.若n是等比数列，（cc1anSn5nc第2页/共26页1a1qn是等比数列，则aSnC.若D.若n1q11an4SS0n2,a为递增等差数列，则数列n1n14Sn10.2部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件A为“恰有两名同学所看电影相同”，事件B为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（）A.四名同学看电影情况共有4种B.“每部电影都有人看”的情况共有72种1PBAC61427D.“四名同学最终只看了两部电影”的概率是f(x)x22xx，g(x)exx2，下列说法正确的是（）11.已知函数12A.函数存在唯一极值点x，且x,1gx00f()g()()h(x)B.令，则函数无零点C.若gx2mm2恒成立，则babaaln(ab)1D.若a0，b0，则2b三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．的前项和为，若Sn，则使的最小正整数的值是an11811S83an0n12.设等差数列______．n1efxx33x2a,gxx对于0,3,x，都有，则实x,e2f1g213.函数.12a数的取值范围是______.,B14.已知有两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白球，这些球除AB22个球全部放入A22个球全部放入BB第3页/共26页盒中恰有7个球的概率是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．x．fxa1xeaR15.已知函数yfx的单调性；（1）讨论函数gxfxsinx（2）设函数ygxa在上为增函数，求实数的取值范围．，若函数为等差数列，，a2，数列的前项和为，且满足Sn2Snn1．a3145bnn16.已知数列n（1）求和的通项公式；abnncab的前项和为cnnn，（2）若，数列nnn①求n；Tnnm对nN恒成立，求实数m的取值范围．n②若n17.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下22列联表：性别男生女生合计不经常锻炼经常锻炼合计7163021注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．（1）请完成上面22列联表，并依据小概率值0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差EX；DX（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．第4页/共26页2nadbc2nabcd，附：abcdacbd0050.10.012.7063.8416.635f(x)x2(a2)xax，常数a0．2f(x)的极大值．18.已知函数（1）当x1时，函数f(x)取得极小值，求函数yh(x)在点P(x,h(x))处的切线方程为l:yg(x)xx，当时，若0（2）设定义在D上的函数00h(x)g(x)0在D内恒成立，则称点P为的“类优点”，若点f是函数f(x)的“类优点”．h(x)x0①求函数f(x)在点f处的切线方程．a②求实数的取值范围．19.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.aaa,a4a4a0（1）已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M-数列”；245321nbn1b2S（2）已知数列{bn}满足：，其中S为数列{b}的前n项和.1nnnn1n①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M-数列”，对任意正整数k，当cbc时，都有kkk1成立，求mcnkm的最大值.第5页/共26页2023—2024学年度（下）七校协作体高二联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．aa21aa6aa141.在正项等比数列n中，已知，34，则（）A.1B.2C.4D.8【答案】B【解析】q【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比，进而化简aa求值即可．41【详解】设等比数列的公比为qanaaaqaqqq6q3（舍）或22q2，34222q1aa2q242则142故选：B与的关系可以用模型，ii6yxybxaxxxxxx12，2.ˆˆbz1.zxyz拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程已知123456i1y18，则ˆ（）bi617A.B.C.1D.ee12【答案】C【解析】【分析】利用已知数据可求得样本中心点，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出b1.ˆ2,3i1i1i【详解】由y18可得：1863，y6i66第6页/共26页xxxxxx12由可得：123456i1zixxxxxxxxxxxx1212，z6123456123456266666ˆz,y2,3，即过点，由回归方程ˆbz1必过样本中心点ˆˆ所以3b1，解得b1，故选：C.3.图1是第七届国际数学教育大会（简称7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一AAAAAA1连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续1122378n作下去，则第个三角形的面积为（）nn2nA.B.C.D.n222【答案】B【解析】是以1,,,aa2n的长度构成的数列为a2na2n1112nnan为首项，1为公差的等差数列，从而求出，再由面积公式计算可得.,,,，a的长度构成的数列为n【详解】记由题意知，12nAAAAAA1A,A,,A122378，且都是直角三角形，11223781a1a2na2n11，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，1所以所以，且a21na21n11n，na0nan.n由，所以1nn1所以第个三角形的面积为a.n22第7页/共26页故选：B．4.下列说法中正确的有（）A.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的分位数可能等于原样本数据的分位数；,Br97,r99，则A组数据比B组数据的线性相关ABB.若两组成对数据的样本相关系数分别为性强；12512XN3,22EX1,DX12；C.设随机变量，则2D.某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的计算方法，可得判定A错误；根据相关系数的概念，可判定B错误，根据正态分布的定义和期望、方差的性质，可得判定CX，得到X的可能取值，求得相应的概率，结合期望公式，求得数学期望，可判定D正确.a,a,a,,a【详解】对于A中，原来30个样本数据，从小到大排列，设为，1239a10可得3030%9，所以分位数为，2a,a,,a若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据，可得，23299a102830%8.4，所以aa，所以A不正确；9可得分位数为，其中92,Br97,r99，AB对于B中，若两组成对数据的样本相关系数分别为rr可得，所以则B组数据比A组数据的线性相关性强，所以B不正确；BAEXDX4，可得，XN3,22对于C中，设随机变量212125111，所以C不正确；则EX1EX1,DX1DX222对于D中，设得分为随机变量X，则X的可能取值为2,4，112121211112P(X2)C0)31()2P(X4)C2()2)C3()333可得，，33222211EX243所以参加游戏得分的期望为，所以D正确.22第8页/共26页故选：D.yfx上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线fxxme5.已知函数x，曲线yxm平行，则实数的取值范围是（）1e21e2,e2,01eD.2,A.B.C.【答案】A【解析】【分析】求导fxmx1ex，问题转化为m1x1e有两个不同的根，利用导数研究函数x的单调性，结合单调性和最值可得结果.fxxme【详解】因为xfxmx1e，x，则x1，整理得m1x1emx1ex，令gxx1e设xgxx2e，x，则gx0；x<2gxx2时，0时，；可知在上单调递减，在上单调递增，gx,2则2e2，gxg时，趋近于，当趋近于gx0时，趋近于x当趋近于xgx，m1x1ex由题意可知：有两个不同的解，ym1与yx1ex的图像有两个不同的交点，即则e2m10，解得1e2m1，令fxmx1e01，则1e1，xmx00000fxxme0xe0可知，00第9页/共26页x,xe0yxe01xx即切点坐标为，则切线方程为，0000代入点0,0可得：xe01xx0,,m2，解得0，0021e2m1e，所以实数的取值范围是.2且故选：A.6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（）1PCB.A.事件A与事件B互为对立事件61PBCC.D.事件B与事件C相互不独立6【答案】C【解析】PBC【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求PC、判断B、C；根据独立事件的判定判断D.【详解】由事件定义，事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，事件B的样本点为,1,3,1,5,2,1,2,3,2,5,,3,3,3,5,4,1,4,3,4,5,共种，,5,3,5,5,6,1,6,3,6,51,2,2,1,1,5,,2,4,4,2,3,3,6,6,3,4,5,5,4,6,618事件C的样本点为共有12种，BC事件所以的样本点为共6种，2,1,1,5,,3,3,6,3,4,5123613616PCPBC，B错误；，C正确；36因为PBCPBPC，所以事件B与事件C相互独立，D错误．故选：C7.设数列Sn1n1Snn的前项和为）anSn,132，则下列说法正确的是（n是等比数列aA.B.nS,SS,SS成等差数列，公差为369639C.当且仅当n17时，取得最大值Sn第10页/共26页Sn0n时，的最大值为33D.【答案】D【解析】SnSnnn是以1为公差，32为首项的等差数列，求出【分析】由题意可得数列，然后利用S,n1n1an可求出，再逐个分析判断即可.SnS,n2n1Sn1n1Snn132【详解】因为，Snn是以1为公差，32为首项的等差数列，所以数列Snn32(n33nSnn，2所以，所以n所以当n2时，S33(n(n2，n1aSSnn2n(n2]342n，所以因为nnn1aS32a2n，所以n，11an1n342(n342n2，对于A，因为所以是以2为公差的等差数列，所以A错误，anSnnn2SS6S9216，对于B，因为，所以3SS16290SS21616254所以，6396因为7290547218，S,SS,SS所以成等差数列，公差为618，所以B错误，363933Snnn2n16.5，对于C，，对称轴为2因为nN*，所以当n16或n17S时，取得最大值，所以C错误，nSnnn200n33n，且nN，所以的最大值为33，所以D正确，对于D，由故选：D，得*2，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是fxxax(a2)xfx0a8.设函数第11页/共26页6ln3426ln3424242,1[,)(,),1D.A.B.C.12612666【答案】A【解析】【详解】函数的定义域为，不等式，即xaxa2x，2fx，fx0xax12yax12恒过定点2，x两边除以，则l,注意到直线：xxgxyax12的上方，由图象可知，这两函数图象上恰有两个横坐标为整数的点落在直线xln333ln2222ln22个点分别为，即B1,0，C，，所以直线l的斜率a的取值范围为a2ln3612ln26a.6故选A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．的前项和为，下列说法正确的是（SnN）ann*9.已知数列n是等差数列，，则使0Snn的最大正整数的值为15a151615170A.若B.若n是等比数列，（cc1anSn5nc1a1qn是等比数列，则aSnC.若n1q第12页/共26页114an4SS0n2,a为递增等差数列D.若，则数列n1n1Sn【答案】BD【解析】n【分析】由等差数列，等比数列的性质与前项和公式逐项判断即可.【详解】若是等差数列，aaaa0，an15161517aaaa0SS0，3031所以，则130131S0nn的最大正整数的值为30.故A错误；所以使若是等比数列，c5n1c45n1，aS5nncaSS5，则nnnnn1所以是首项为5，公比为的等比数列，aa41n415n所以Sn5n15nc，所以c1，故B正确；15a1qn1,q1若是等比数列，则S，故C错误；a1qnn1,q114SS0n2,an1n1SS4SS0n2an若，所以，nn1n1n4SnSSSn1SS4Sn1Sn14，所以，所以nn1nn111144即，所以，Sn1SnSnSn11114为首项，为公差的递增等差数列，故正确；4D所以是以Sn11故选：BD.10.2部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件A为“恰有两名同学所看电影相同”，事件B为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（）A四名同学看电影情况共有4种B.“每部电影都有人看”的情况共有72种第13页/共26页16PBAC.1427D.“四名同学最终只看了两部电影”的概率是【答案】ACD【解析】【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影可判断B；由条件概率可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断D.【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有4种，A正确；C246对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，A336种，由分步乘法计数原理得到6636种，再将其分到三个活动中，共有故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；C243A3349C233A222对于C，由已知有：PA，P，4427PABPA16所以，C正确；PBAC24AC22C23A22C14C23A22对于D，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是2214，D正确.3427故选：ACD.f(x)x22xx，g(x)exx2，下列说法正确的是（）11.已知函数12A.函数存在唯一极值点x，且x,1gx00f()g()()h(x)B.令，则函数无零点C.若gx2mm2恒成立，则babaaln(ab)1D.若a0，b0，则2b【答案】ABD【解析】第14页/共26页1【分析】由g(x)在e20，ge10，即可判断A；由导数判(0,)单调递增，又g2断出恒大于0，恒大于0，即可判断B；由fxg(x)的值域即可判断C；由gxf(x)的单调性即可判断D．112x(0,)单调递增，又e20g(x)eg(x)g【详解】对于A，，显然在，xge10，120,1g00，故A正确；所以，使得12x010,1g0e0x，0对于B，由A得，，使得0，即，00上单调递减，在上单调递增，g(x)x,在0g(x)g(0)022xxx202023020恒大于0；gx，所以所以00h(x)2x2lnxx0，令，f(x)2x2lnx2由22x1，当时，h(x)0，即h(x)在单调递增，x1h(x)2xx当0x1时，h(x)0，即h(x)在单调递减，h(x)h0f(x)0，即f(x)在单调递增，所以又，即x0f(x)0，所以f(x)0，时，由恒大于0，恒大于0，故无零点，B正确；gxfxhxg(x)0恒成立，得在恒成立，gx2mgxm2对于C，由B得，由m2，故m20所以，即C错误；对于D，因为f(x)在单调递增，又a0aba，，b0，则f(a+b)>f(a)(ab)22(ab)ab)a2aa，2所以，即b2abbbab2a12整理得，a第15页/共26页babbaaab1不等式两边同除以b得，故选：ABD．，故D正确，2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．的前项和为，若Sn03，则使an的最小正整数的值是11811S8nan12.设等差数列n______．【答案】10【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得ad11，得到的通项公式anandan9na0，即可求解.n为，令【详解】设等差数列的公差为ad，nd3d1aaSS3因为解得，可得，即，118118aaaa319d19101110ad1的通项公式为，na8(n1n9n，所以数列1a0nn90n9，解得，令，即又因为n，所以故答案为：10.na，所以使n0的最小正整数的值是10.n1efxx33x2a,gxx对于0,3,x，都有，则实,ef1g2x13.函数.212a数的取值范围是______.【答案】ae4【解析】1e【分析】利用导数求出在x[0,上的最小值和在fxgxx,e上的最大值，由题意2，列式求解即可fxgx.【详解】因为fxx33x2a，x[0,fx3x26x3xx2，所以，，，0x2时，f(x)02x3时，f(x)0所以第16页/共26页即在0,2上单调递减，在2,3fxf2a4上单调递增，所以，fx1gxxx因为,egx1x，，，所以e211e1exg(x)0xe1时，g(x)0，所以时，，e21112即在ge，，gx,,ege上单调递减，在上单调递增，又e2eee2e2所以e，gx1x0,3,x,efxgxfxgx对于所以，都有，则，12212ea4eae4.，即故答案为：ae4,B14.已知有两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是______．【答案】【解析】【分析】确定出两次取球后B盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.【详解】若两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；121若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，255第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒装有4个黑球和2个白球，22348第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；565615188此时B盒中恰有7个球的概率为；51575133若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，2510第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒装有3个黑球和3个白球，第17页/共26页332312第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；565631102203此时B盒中恰有7个球的概率为；8377所以B盒中恰有7个球的概率为.7520300故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，B盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．x．fxa1xeaR15.已知函数yfx的单调性；（1）讨论函数gxfxsinx（2）设函数ygxa在上为增函数，求实数的取值范围．，若函数【答案】（1）答案见解析（2）【解析】a12ygx在gxa1ecosx0x在得函数上为增函数，函数的最值即可.【小问1详解】由题意得，fxa1e,xR，xa1时，fxa1exfx，函数在0①当R上单调递增；fxa1exx1a，解得，②当a1时，令0fxa1exx1a，解得，0所以函数在1a,上单调递增，在,ln1a上单调递减；fx综上，当在上单调递增；a1时，函数fxR当a1时，函数在,ln1a上单调递减，fx第18页/共26页上单调递增，1a,在【小问2详解】ygx在上为增函数，因为函数所以，gxa1ecosx0在上恒成立．x上恒成立．即1aexx在令hxexcosxxhxesinx0，x，当时，所以，hxexcosxhxh00．在上单调递增，所以，1a0，解得a1，所以，实数取值范围为．a的为等差数列，，a2，数列的前项和为，且满足2Snn1．a3145bnnSn16.已知数列n（1）求和的通项公式；abnncab的前项和为cnnn，（2）若，数列nnn①求n；Tnnm对nN恒成立，求实数m的取值范围．n②若n2n1nNbn1nNna【答案】（1），nTn13n1；②2（2）①n【解析】1）根据等差数列通项公式可构造方程求得公差d，由此可得an；利用bS与关系可证得数列nn为等比数列，由等比数列通项公式可求得bnn；cT；n（2）①由（1）可得，采用错位相减法可求得nnnm②分别在为奇数和为偶数的情况下分离参数，根据数列单调性可求得的取值范围.【小问1详解】设等差数列，adna3aaa212d32d，即312d33d由，得：，2145第19页/共26页d2，n2n2d32n22n1nN；解得：当n1时，2Sbb1，解得：b1；1111b2S2Sn1n11nn1，当n2且nN时，nnn1b.nn1，nn1nN是以1为首项，为公比的等比数列，3数列n【小问2详解】2n1n1nN；cn①由（1）得：n1333532n332nn1012n2，2n3n12n3n，1n1231322n13122n13n13nn13n13n213n22nn2，nnn1；n131n313nnnnnN对恒成立；m②由①知：n1，当为奇数时，m3nn112，∴m2nn3n131为递增数列，当为奇数时，；n为偶数时，m1n，当1n13138m8；n2为递减数列，当为偶数时，2.m综上所述：实数的取值范围为17.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下22列联表：性别男生女生合计不经常锻炼经常锻炼合计7163021第20页/共26页注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．（1）请完成上面22列联表，并依据小概率值0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差EX；DX（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．2nadbc2nabcd，附：abcdacbd0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）表格见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系535536EXDX（2），（3）分布列见解析，EY2.1【解析】23.5902.706，即可得到结论；1）先根据题意完成22列联表，代入公式可得1P的（2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者概率为，从而12112和；，即可求得X~BEXDX可得（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值．【小问1详解】根据题意可得22列联表如下；性别不经常锻炼经常锻炼合计第21页/共26页男生女生72316393030601421合计H零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；02260716231460730140根据列联表的数据计算可得23.5902.7060.1，213930302139303039根据小概率值0.1的独立性检验，推断H不成立，0即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．【小问2详解】因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，51112PX~B易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，15311155EX20DX20故，．12121236【小问3详解】易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：C07CC331，PY0310120C17CC332217PY1，1204010C27CC1321321，PY231012040C37C01357PY3C10312024故所求分布列为Y0123第22页/共26页1721407P402417217372.1EY0123可得120f(x)x404024102(a2)xax，常数a0．18.已知函数2，求函数f(x)的极大值．（1）当x1时，函数f(x)取得极小值yh(x)在点P(x,h(x))处的切线方程为l:yg(x)xx，当时，若0（2）设定义在D上的函数00h(x)g(x)0在D内恒成立，则称点P为的“类优点”，若点f是函数f(x)的“类优点”．h(x)x0①求函数f(x)在点f处的切线方程．a②求实数的取值范围．512【答案】（1）；4（2）①【解析】1）求出函数f(x)的导数，利用给定的极值点及极值求出，进而求出极大值.g(x)a1；②a2.aF(x)x1x时，0恒（2）①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用给定的定义可得当成立，再利用导数分类探讨函数的单调性及函数取值情况即可判断得解.【小问1详解】f1(