2022-2023学年北京市清华大学某中学高一年级上册数学期末试卷含逐题详解

高一第一学期期末试卷

数学

（清华附中高22级）

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.设集合A={X|X<1}1={X［2,训，则AcB等于（）

A.{x|x<0}B,{x|x<l}C.{x|x>0)D.{x|O<x<l}

2.若点尸（1,-2）在角a的终边上，贝ijsintz=（)

1「26D.好

A.-2B.--

255

3计算：21og36-log34=()

A.1B.2C.3D.6

4.为了得到函数y=sin（2x+—）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）

4

TT1T

A.向左平移一个单位长度B.向右平移一个单位长度

44

C.向左平移27T个单位长度D.向右平移2TT个单位长度

88

5.EJ^a=lgl2,b=logo,25,c=43,则”,万，c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>hD.h>a>c

6.下列函数中，以2兀为最小正周期，且在区间［o,：］上单调递增的是（

)

A.y=sinlxB.y=C.y=cos（x+：）

D.y=tan2x

7.下列区间包含函数/0）=2'+犬-4零点的为（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

8.若函数/（x）=cos（3x+e）是奇函数，使得|/（x）|取到最大值时的一个x值为（）

717171

AB.0C.一D.-

643

9.己知实数。，/，则“a=（2Z+l）兀-/7,'eZ"是"cosa=-cos尸”的()

A充分不必要条件B.必要不充分条件C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知函数y（x）=sin"x+cos"x（〃eN*）,则下列说法正确的是（）

①〃=1时，f（x）的最大值为0；

②“=2时，方程/(x)=2sinx+|sinx|［0,2兀］上有且只有三个不等实根;

③〃=3时，f(x)为奇函数：

④〃=4时，/*)的最小正周期为四

2

A.①②B.①③C.@@D.①④

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数〃x)=lg(x-D+—1的定义域为__________.

%—2

已知sin。=！，则sin(兀+。)=

12.

3

13.已知函数〃x)=x"经过点(9,3),则不等式的解集为

(1］对任意的实数x都成立，则”的最小值为

14.设函数F(x)=sin(8+引(0>0),若于(X)〈于

15.已知f(x)=|log“M(a>0，aHl)，给出下列四个结论:

①若/(2)=1,则a=g或2；

②若0<加<〃，且/=/("),则mn=1；

③不存在正数上使得g(x)=/(x)-米-1恰有1个零点;

④存在实数a>\,使得g(x)=/*)-优恰有3个零点.

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.己知二次函数/(X)=X2一/〃X+1,其中7”>0.

(1)若/*)的最小值为0,求〃?的值；

(2)若/(x)有两个不同的零点4七，求证：GF+8〉4.

x1+x2

17.己知函数/0)=2$皿(0%+夕)(。>0,0<夕<5)的图象过点(0,1),相邻的两个对称中心之间的距离为I*.

(1)求Ax)的解析式；

(2)求/5)单调递增区间和对称中心.

18.己知函数/(x)=/，—2优一1,其中。>0且

(1)已知/(x)的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；

(2)若a=2,求/(x)的最小值；

(3)若f(x)在区间［0,1］上的最大值为2,求。的值.

19.已知函数/(x)=-2sin2(：-x］+26cos2x-V5.

(1)求/(：)，并求f(x)的最小正周期;

TT57r

(2)求/(x)在区间-二，一上的最大值和最小值,并求相应的x值.

20.如图，在函数/(x)=1(&x图像任取三点A(a，/⑷),8(8JS)),C(cJ(c)),满足。21"="+2,c=。+2,

分别过A、B、C三点作x轴垂线交x轴于力、E、F.

n

DE

(1)当a=2时，求梯形AQEB周长；

(2)用〃表示一A8C的面积S,并求S的最大值.

21.己知整数团,〃？3,集合X”={(石,工2,%e{0,l},i=l,2,,对于X“中的任意两个元素

A=(4,4，8=(自也,也)，定义A与8之间的距离为d(A,8)=EH-/.若Ad，，A“eX“

且d(A，4)=d(4，A)=.=d(4i，A”)，则称是A，4，,4是X“中的一个等距序列.

⑴若A=(1,o,0,0),4=(1,1,0,0),4=(0,1,1,0),4=(0,1,1,1),判断A，/4，4是否是X4中的一个等距

序列？

(2)设A,B,C是X3中的等距序列，求证：〃(A,C)为偶数；

⑶设4,4，，4,是X6中的等距序列，且4=91’[)，4=9'°'’°),d(A，A)=5.求相的最小

值.

高一第一学期期末试卷

数学

(清华附中高22级)

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.设集合A={X|E}1={X|2*N1},则AcB等于()

A.{x|x<0}B.{x|x<l}C.{x|x>0}D.{x|0<x<l}

【答案】D

【分析】首先解指数不等式得到3={X|XN0},再求AcB即可.

【详解】B={x|2x>l}={x|x>0},A={x\x<l},

则AB={x|O<x<l}.

故选：D

2.若点尸(1,-2)在角a的终边上，则sina=()

A.-2B.--C.-迪D.好

255

【答案】C

【分析】根据三角函数的概念求解即可得到答案.

【详解】。点为坐标原点，|OP|=7I2+(-2)2=V5.

.-2—2275

根据三角函数的概念可得,sinCL------7-—尸

\OP\石

故选：C.

3.计算：21og36-log34=()

A.1B.2C.3D.6

【答案】B

【分析】由对数的运算法则化简即可求得.

【详解】由对数运算法则化简得

362

2log,6-log,4=log336-log34=log3—=log39=log33=2

故选：B

7T

4为了得到函数y=sin(2x+R的图象'可以将函数y=sin2x的图象()

TTTT

'向左平盯个单位长度B向右平移7个单位长度

c.向左平移一TT个单位长度D.向右平移2IT个单位长度

88

【答案】C

【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.

【详解】因为y=sin（2x+—TT）=sin[2（x+」7T）],

48

7T7T

所以由函数y=sin2x的图象向左平移一个单位长度可以得到函数y=sin（2x+—）的图象,

84

故选：C

5.已知“=lgl2,b=logo25,c=445,则小b,c的大小关系为（）

A.a>h>cB.c>b>aC.a>c>bD.h>a>c

【答案】C

【分析】根据题意得到a>l,b<0,0<c<l,即可得到答案.

【详解】«=lgl2>lgl0=l,即a>l.

b=log025<log021=0,即b<0.

0<4一°$<4°,BP0<c<1.

所以a>c>b.

故选：C

6.下列函数中，以2兀为最小正周期，且在区间（0,；）上单调递增的是（）

A.y=sin2xB.y=sinfx-^C.y=cos（_r+：）D.y=tan2x

【答案】B

【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间上的单调性，可得出结论.

【详解】对于A选项，函数y=sin2x的最小正周期为彳=兀，故A错误;

对于B选项，函数y=sin（x-]J的最小正周期为2兀，当xE（0,]）时，X~~^E（

因为y=sinx在（一；,0）上单调递增，所以y=sin[x—：J在（0,弓）上单调递增，故B正确;

对于C选项，函数y=cos卜+1的最小正周期为2兀，当xe0，w时，X+-E\-,-\,

因为y=cosx在上单调递减，所以y=cos（x+；）在上单调递减，故C错误；

对于D选项，函数y=tan2x的最小正周期为四，故D错误.

2

故选：B.

7.下列区间包含函数/(x)=2'+x-4零点的为()

A.(-1,0)B,(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断答案.

【详解】因为函数y=2,在(f,+8)上单调递增，函数y=x-4在(F,+8)上单调递增,

函数/*)=2'+工一4在(-8,+8)上单调递增，

因为/(_1)=2.|_5<0,/(())=1_4<0,/(1)=2_3<0,/(2)=2>0,/(3)=7>0,

所以/⑴/⑵<0,函数零点在区间(1,2)内，

故选：C.

8.若函数/(x)=cos(3x+e)是奇函数，使得|/(x)|取到最大值时的一个x值为()

7T7C71

A.—B.0C.—D.一

643

【答案】A

【分析】根据三角函数的奇偶性求出巴再根据对称轴使得I/(X)l取到最大值，计算即可.

7T

【详解】若函数/(X)=cos(3x+e)是奇函数，所以°=5+€Z.

所以|/(x)|=cos(3x+^-+H)=|sin3x|,

故选:A.

9.已知实数。,夕，则“a=(2Z+l)兀一⑸ZeZ"是"cosc=-cos/?”()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据诱导公式，结合充分性、必要性、余弦型函数的性质进行求解即可.

【详解】当a=(2左+1)兀一⑸1GZ时,cosa=cos[(2左+1)兀一"]=cos(兀-0=-cos。,

当cosa=-cos/?时，cosa--cos/3-cos(兀一/?)=&=2反±(兀一用)(左eZ),

=>a-(2k+l)7t-队keZ),或a=(2k-1)兀+队keZ),

所以“a=(2Z+l)兀一4,AeZ”是“cosa=-cos£”的充分不必要条件,

故选：A

10.已知函数/(x)=sin"x+cos"x(〃eN*),则下列说法正确的是()

①〃=1时，/(x)的最大值为J5；

②〃=2时，方程/(x)=2sinx+1sinx|在[0,2兀]上有且只有三个不等实根;

③〃=3时，〃x)为奇函数;

④〃=4时，/a)的最小正周期为四

2

A.①②B.①③C.②④D.①④

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等

式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦

型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.

【详解】因为f(x)=sin"x+cos"eN'),

所以当〃=1时，/(x)=sinx+cosx=J^sin(x+弓)，此时函数/(x)最大值为、回，命题①为真命题；

当”=2时:/(x)=sin2x+cos2x=l,方程/(x)=2sinx+|sinx|可化为2sinx+|sinx|=I,

当OWxW兀时，3sinx=l,故sinx=g,由正弦函数性质可得方程sinx=g[0,兀]上有两个解，

当7l<xW2兀时，原方程可化为sinx=l,方程sinx=l在(0,2兀]上无解，

所以方程/(x)=2sinx+1sinx|在[0,2K]上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；

当〃=3B寸，/(%)=sin3x+cos3%,+[cos：=等，

/1_；)=sin(_；)+cos3[_?)=0,所以所以f(x)不为奇函数，命题③为假命题;

[31

当"=4时，广(x)=sin1x+cos4x=l-2sin2xcos2x=1一二sin?2x=J+二cos4%,

244

所以/(x)的最小正周期为四，命题④正确；

2

故选：D.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数f(x)=lg(x-1)+-二的定义域为.

X-L

【答案】(1,2)。(2,一)

【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.

/、1x~~l>0

【详解】函数/(x)=lg(x—l)+——需满足c,、，

x-2[x-2^0

解得x>l且xw2,

故函数"X)=lg(x—1)+」的定义域为(1,2)。(2,+<»),

%-2

故答案为：（L2）U（2,E）

12.己知sin。=,，则sin（兀+。）=.

3

【答案】-g

【分析】直接运用正弦的诱导公式进行求解即可.

详解】sin（兀+。）=-sin8=一,，

3

故答案为：-§

13.己知函数/（幻=/经过点（9,3）,则不等式X+1）<1的解集为.

【答案】{xIOvxvl}

【分析】首先代入求出a=g，则利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.

1।

【详解】由题意得9a=3,解得a=耳，故/（幻=尤2,

则y（x2-x+i）<i即为/（f一*+1）</（I）,

根据/（尤）=］在［°，+8）上为单调增函数，则有0«尤2—犬+1<1，

解得O<X<1,故解集为{%|O<X<1},

故答案为：{x［O<x<l}.

14.设函数〃x）=sin（0x+.卜0>0）,若对任意的实数X都成立，则①的最小值为一

【答案】1

【分析】由条件确定当X=g7T时，函数取得最大值，代入即可求。的集合，从而得到。的最小值.

【详解】由条件对任意的实数X都成立，可知，/（三）是函数的最大值，

当尤=工时，ty•—+—=—+2kjt,keZ,

3362

解得：o=6k+l,keZ,a）>0,

所以当上0时，。取最小值为1.

故答案为：1

15.已知/（%）=|108〃水。>0,。。1）,给出下列四个结论:

①若/（2）=1,则。=,或2；

2

②若0</篦v〃，且/（加）=f（〃），则加〃=1；

③不存在正数k,使得g(x)=/(x)—辰—1恰有1个零点；

④存在实数a>\,使得g(x)=f(x)~ax恰有3个零点.

其中，所有正确结论序号是.

【答案】①②

【分析】对于①，解|log“2|=l即可判断；对于②，由对数函数的图象与性质可得-log“机=k)g“〃，由对数的运

算可判断；对于③，分0<x<l与x>l讨论，结合对数函数的图象即可判断；对于④，根据指对数的图象即可判

断.

【详解】对于①，若"2)=1,则|log〃2|=l,解得a=g或2,故①正确；

对于②，若0<加<〃，且/(〃2)=/(〃)，则一log“加=log“〃，

则Iog“机+log“n=log“(mn)=0,解得加?=1,故②正确；

对于③，当0<x<l,易知丁=依+1与y=/(x)的图象有一个交点，

当％.M时，丁=依+1与y=/(x)的图象在(L+oo)上没有交点，

此时g(x)=/(x)-依-1恰有1个零点，故③错误；

..f-logx,0<x<l

对于④，当Q>1时，/(x)=log“x=〈ZJ，

[log„x,x>l

易知y=优与y=/(X)的图象在(0,1)上有一个交点，

因为y="与f(X)=10g“X的图象关于丁=X对称，且没有交点，

故g(X)=/(X)-优恰有1个零点，故④错误.

故答案为:①②.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知二次函数f(X)=无2一3+1,其中〃2>0.

(1)若/(X)的最小值为0,求机的值；

(2)若/(X)有两个不同的零点X.j2,求证：(玉—4)+8>4.

X1+x2

【答案】(1)m=2

(2)证明见解析

【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到/(x).=1--=0,再解方程即可.

(2)首先根据题意得到1^二豆三=加+百，再利用基本不等式的性质求解即可.

%+%m

【小问1详解】

\21(根丫1加2

j(%)=x=lx-■—I+1--—,

rvj

因为J/(\x)/mi.n=1--4--=0,m>0,解得机=2.

【小问2详解】

因为/(x)有两个不同的零点%,左，所以机2一4>0，

又因为加>0,所以加>2.

因为玉+%2=加，％々=1,

所以(％-%)+8=(网+々)一一4用々+8=：^^=加+W224=4,

%)+x2玉+x2mm

4

当且仅当初=—,即根=2时等号成立，

m

因为加>2,所以(%—%)+8〉4,即证.

X,+々

17.已知函数/(幻=2$皿(。龙+。)(口>0,0<8<5)的图象过点(0,1),相邻的两个对称中心之间的距离为

(1)求Ax)的解析式；

(2)求/")单调递增区间和对称中心.

【答案】(1)"x)=2sin(2x+?]

jr7T\(7TK7T।

(--+k/r,—+k7lJ,(ZWZ),对称中心为卜丘+-^-,0J,(%6Z)

【分析】(1)根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案；

(2)利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案.

【小问1详解】

由函数/(x)=2sin(«yx+*)0>0,0<夕<^]的图象过点(0,1),/(0)=2sino=l,贝ijsinw=」，由

-7Cr[TC

0<°<一,则夕=一,

26

7T77,/TT

由相邻的两个对称中心之间的距离为则函数f(x)的周期7=2*5=乃=v，解得力=2,

故/(x)=2sin(2x+"

【小问2详解】

由(1)可知，/(x)=2sin(2x+V],

令+2k7T<2x-\——<—+2々4,(左£Z),解得---\-k7C<X<——Fkjr,(Z£Z),

26236

则函数/(x)的增区间为+Z4N+b1，(ZeZ)；

令2x+£=%肛(左eZ),解得x=—'+/，(攵eZ),则函数/(x)的对称中心为(一专+一,0),(AGZ).

18.已知函数/(幻=。2，一2/—1,其中。>0且

(1)已知/")的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；

(2)若。=2,求/(x)的最小值；

(3)若/*)在区间［0,1］上的最大值为2,求“的值.

【答案】(1)(0,-2)；

(2)-2；

(3)3.

【分析】(1)求出“0)即可得出结果；

(2)由已知/.(X)=22X—2X2'_1,令f=2‘，t>0,可得/")=(—Ip-2,即可求出最小值；

(3)令〃=a1则/(〃)=“2-2〃—1.分类讨论当0<。<1以及a>l时，根据指数函数的单调性求出在

［0,1］上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出〃的值.

【小问1详解】

因为,/1(())=/一2xa。-1=—2,所以定点坐标为(0,—2).

【小问2详解】

当a=2时，/(X)=22X-2X2V-1.

令f=2*,t>0.

则/«)=产—2r—1=«—1『一2,当r=l,即x=0时，函数f(x)有最小值-2.

【小问3详解】

令〃=优，则=

①当0<“<1时，可知M=优在［0,1］上单调递减，所以aW"Wl.

又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，

所以/(〃)=〃2-2"-1在〃=。处取得最大值f(a)=a2-2a-\.

由已知可得，«2-2«-1=2.解得。=-1或a=3.

因为所以两个数值均不满足；

②当。>1时，可知〃=优在［()/］上单调递增，所以

又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增，

所以/(〃)=I一2〃-1在M=。处取得最大值/(a)=Y-2a-1.

由已知可得，/_2a—1=2,解得。=3或a=—1(舍去)，所以。=3.

综上所述，a=3.

71

19.已知函数/(x)=-2sin2--X+2>/3cos-x—>/3.

（1）求并求/*）的最小正周期;

兀5兀

（2）求/"）在区间-W，一上的最大值和最小值，并求相应的x值.

_612_

【答案】（1）/|v|=0-T=n

⑵X十时，〃x）a=l；X=时，小）而「2.

【分析】（1）将函数化简为正弦型函数即可求解；

（2）整体替换法先计算区间内是否含有极值，若有则为最值，若无则最值在端点处取得.

【小问1详解】

/(x)=-2sin2[-^--xj+2>/3cos2x-y/3

=cos—-2x+>/3cos2x-l=sin2x+5/3cos2x-l=2sin2x+--1,

12)I3；

yI—I=2sinl2x—+—I—1=2cos——I=0,

_2兀2兀

I=---=---=7T.

co2

【小问2详解】

由⑴知/(%)=25皿(2%+三)一I,

专2xH—=—F2%兀，得x-Fkit,k€Z,

3212

当％=0时，，

〃%、=/(£|=2"2'色?一1=1,

令21+乌=-二+2而,得了二一空+E"eZ,

3212

与区间-5，二无交集,

612

故X专时，“力2=1；%若时，/(%=-2

20.如图，在函数/。)=嚏2%图像任取三点4(。,/(。)),3(反/(份),。9,/(。))，满足。21"=4+2,。=/?+2,

分别过A、B、C三点作x轴垂线交x轴于。、E、F.

斗

DEFx

(1)当“=2时，求梯形AQEB的周长；

(2)用a表示_ABC的面积S,并求S的最大值.

【答案】(1)5+6；

(2)答案见解析.

【分析】对于(1),由题可得|AZ)|=1,\BE\=|Z)E|=2,\AB\=y/5.,据此可得答案；

对于(2),设AC与8E交点为P,则5=1\BP\■|Z)F|,据此可得答案.

【小问1详解】

由题可得，=log22=1,|£)E|=2,BE=log24=2.

|AB|=J(|BE|-\AD\f+|DE|2=石，则梯形AOEB的周长为5+拓；

【小问2详解】

设AC与BE交点为P,则S=g忸4.|。目.

X|AD|=log2a,\CF\=log,(«+4),且AD〃郎〃CF,E为DF中点.则

2

由梯形中位线定理得|P@=g[log2a+log2(a+4)]=log2y/a+4a(若a=l,|产耳变为三角形中位

线，结论不变.)，

________/\

2

则忸4=|BE|-|PE|=log2(a+2)-log2yja+4a=log2,十一一

cr+4。+4

a2+4a

其中a21.因/+4a=(a+2丫-4,则函数y=+4a在[L+8)上单调递增,

44

得当aZl时，/+4。z5=0<—..........<一

a-+4a5

（4ifQ）

当且仅当a=l时取等号.又函数y=log2%在（O,+8）上单调递增，则log2[1+.2+4,J-岫仁）当且

仅当a=1时取等号.

即的面积S=log,1+一一，其中。之1；

/1a~+4a）

当且仅当a=1时，J3C的面积有最大值log?-.

I5）

21.已知整数〃?，〃之3,集合X“={（4,W，,X”）I可e{0,l},i=l,2,•,〃},对于X“中的任意两个元素

A=（al,a2,,an）,8=（伪也，也），定义4与8之间的距离为d（A,B）=-4.若A，4,…,A”GX“

Z=1

且d（A，4）=d（4，A）==d（Az，A”），则称是44，，4是x“中的一个等距序列.

⑴若A=（1,o,