初中函数经典题型

10.如图，一只蚂蚁从。点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间

为，，蚂蚁到。点的距离为S,则S关于f的函数图象大致为(C)

17.已知一次函数y=x+2与反比例函数y=K,其中一次函数y=x+2的图象经过点

x

P(k,5).

(1)试确定反比例函数的表达式；

(2)若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标.

17.解：(1)•.•一次函数，=工+2的图象经过点，(*.5),

5=A+2.2分

A：=3.

1分

反比例函数的表达式为

.y=x+2,

由，消去九得一

(2)3+2»-3=0.1分

W(«+3)(x-l)=0.

Ax=-3或N=1.

可得y=-1或y=3.

产=

于是-3,或(rx=l,

2分

ly=-1ly=3.

••,点。在第三象限，

点的坐标为(

•••Q-3,-1).1分

12.定义“※/?=〃2—6则(1派2)派3=-2

14.函数)=(x—2)(3—x)取得最大值时;JC=.-|

17.直线y=ax(a>0)与双曲线产1交于A(X[,凶)、B(x2,竺)两点，则标.-3电^=_一3；

18.如图，正方形ABC。边长为1,动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，

当它的运动路程为2009时，点尸所在位置为；当点P所在位置为D点时;点P

的运动路程为(用含自然数”的式子表示).

点B：4〃+3(录入者注：填4”一1(〃为正整数)更合适)

第18题图

24.(本题满分10分)一次函数尸质+。的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).

(1)求该函数的解析式；

(2)。为坐标原点，设。A、A8的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PO的最

小值，并求取得最小值时P点的坐标.

24.解：(1)将点A、B的坐标代入y=fcx+6并计算得k=—2,6=4.

，解析式为：y=—2x+4；.................................................5分

(2)设点C关于点。的对称点为C,连结PC、DC,则尸C=PC.

Z.PC+PD=PC+PD^C'D,即C\P、。共线时，PC+PD的最小值是CD

连结CD,在RtZ\Z)CC中，C'D=VCC2+CD2=2点:

易得点尸的坐标为(0，1)...................................................10分

(亦可作RtZVlOB关于y轴对称的4)

25.(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于4切-2,0),B(/n+2,0)两点，记抛

物线顶点为C,且ACLBC.

(1)若“为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

(3)设抛物线交y轴正半轴于力点，问是否存在实数〃?，使得△BCD为等腰三角形？若存

在，求出，”的值；若不存在，请说明理由.

第25题图

25.解：（1）设抛物线的解析式为：y—a（x—in+2）（x—m—2）—a（x—m）2—4a.........2分

•：AC±BC,由抛物线的对称性可知：/XACB是等腰直角三角形，又AB=4,

C（m,一2）代入得a=/.解析式为：y=；（x—机）2—2.....................5分

（亦可求C点，设顶点式）

（2）•••,“为小于零的常数，.•.只需将抛物线向右平移一机个单位，再向上平移2个单位，

可以使抛物线y=4（X—⑼2一2顶点在坐标原点................................7分

（3）由（1）得0（0,1/7i2-2）,设存在实数根，使得△80。为等腰三角形.

为直角三角形，只能。。=。民..........................9分

：.^m2~2=\m+2\,当机+2>0时，解得加=4或机=一2（舍）.

当,〃+2<0时，解得"?=0（舍）或机=一2（舍）；

当，〃+2=0时，即加=一2时，B、0、。三点重合（不合题意，舍）

综上所述：存在实数%=4,使得△80。为等腰三角形.......................12分

7

2、函数y=’的自变量x的取值范围是（B）

X-1

A、x=lB、x#lC、x>lD、x<l

16、如图7所示，P]（xi，yi）、P2（X2，y2），...Pn（xn,yn）在函数y=2（x>0）的图象

x

上，△OP]Ai，△PzAjA2,△P3A2A3△PnAwAn……都是等腰直角三角形，斜边OAi，

A\Ai……A”|An，都在X轴上，

贝I]yi+y2+-yn=。

16、3&

14.(2009成都)某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如

图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为

(A)20kg(B)25kg(C)28kg(D)30kg

【答案】B

17.(2009年陕西省)若正比例函数的图像经过点(一1,2),则这个图像必经过点【】

A.(1,2)B.(-1,-2)C.(2,-1)D.(1,-2)

【答案】D

15.(2009泰安)如图所示，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,P是线段BC上一点(P不

与B重合)，M是DB上一点，且BP=DM,设BP=x,Z\MBP的面积为y,则y与x之

间的函数关系式为_____________

2

【答案】^^--X2+4X(0<X<6)

(第17题图)

18.已知关于九、y的一次函数丁=(m-1)尤-2的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、

四象限，那么加的取值范围是

【答案】m>\

4.(2009年衡阳市)在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙

地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，

设步行的时间为t(h),两组离乙地的距离分别为，(km)和S2(km),图中的折线分别表示

Si、S2与t之间的函数关系.

(1)甲、乙两地之间的距离为8km,乙、丙两地之间的距离为2km；

(2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？

（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.

【答案】解：（2）第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为:

8-5-[2x（8+2）4-2]=8-10=0.8（小时）

第二组由乙地到达丙地所用的时间为：

2“2x（8+2）+2]=2+10=0.2（小时）

（3）根据题意得A、B的坐标分别为（0.8,0）

和（1,2）,设线段AB的函数关系式为：

S2^kt+b,根据题意得：

0=0.8%+〃k=10

解得：

2=k+bb=-8

，图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式为：S2=10r-8,自变量t的取值

范围是：0.8<Z<l.

2.（2010年山东前泽全真模拟1）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同

一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为「，大

正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与，的大致图象应为（）

答案：A

6.（2010河南模拟）如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄

水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是

（）

1.（2010年山东荷泽全真模拟1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点4（0,4百），点8

在x正半轴上，且NA8O=30°.动点P在线段4?上从点A向点8以每秒个单位的

速度运动，设运动时间为/秒.在x轴上取两点M,N作等边△PMN.

（1）求直线A8的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用『的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动

到与原点。重合时I的值；

（3）如果取。8的中点。，以。。为边在RtaAOB内部作如图2所示的矩形OOCE,

点C在线段A8上.设等边△PMN和矩形OOCE重叠部分的面积为S,请求出当

0W/W2秒时S与，的函数关系式，并求出S的最大值.

答案：解：（1）直线A8的解析式为：y=—4x+40

(2)方法一，：NA08=90°,NAB。=30°,J.AB=2OA=8百，

VAP=yfit，BP=8百—yfit，

•••△PMN是等边三角形，・・.NMP3=90°,

•/tanZPBM=丝,/.PM=(8百-也t)x—=8-/.

PB3

方法二，如图1,过户分别作PQ_Ly轴于。，轴于S,

可求得AQ=；AP=与，

PS=QO=4s/3--,

.-.PM=f4V3-—=8-r,

I2J2

当点M与点。重合时，

•••NBA。=60",

.-.AO=2AP.

(图2)

:.4拒=2品,

:.t=2.

(3)①当OWfWl时，见图2.

设PN交EC于点H,

重叠部分为直角梯形EONG,

作GH_L08于”.

;NGNH=60",GH=2日

HN=2,

•：PM=S-t,

.\BM=l6-2t,

;OB=12,

.".ON=(8-t)-(16-2t-12)=4+t,

；.0H=ON-HN=4+t-2=2+t=EG,

.•.S=；(2+f+4+f)x2G=2M+6VL

S随r的增大而增大，

.•.当r=1时，S最大=8G.

②当l<r<2时，见图3.

设PM交EC于点/,

交E0于点F,PN交EC于点、G,

重叠部分为五边形0/7GN.

方法一，作G”_LOB于"，•.•尸0=4百一26/,

EF=273-(473-2舟=2"-2G,

/.EI=2t—2,

S=S梯形ONGF—S△阳=2y/3t+6\/3——(2f—2)(2—2^3)=—2>/^r+6y/3t+4y/3.

方法二，由题意可得朋0=4—2f,0F=(4—2f)xji,PC=4正-底,PI=4—t,

再计算%FMO=；(4-2f)2x百

22Z2X

S=S^PMN-S^PIG-S&FMO=^-(8-r)-^-(4-/)-^(4-2)V3

=—2内/+6①+4行.

26<0,.•.当f=g时，S有最大值，S最大=为8.

③当r=2时，MP=MN=6,即N与。重合，

设PM交EC于点I,PD交EC于点、G,重叠部

分为等腰梯形/MNG,见图4.

(图4)

S=—x62--X22=873,

44

综上所述：当OWrWl时，S=2j5r+66；

当1<Z<2时，S=—2V§?+6伤+4百;

当£=2时，S—8G.

•包〉85

2

.•.S的最大值是丑®.

14.（本题满分6分）已知：关于x的方程2/+日一1=0.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是7,求另一个根及左值.

14.解：(1)2x2+*r-l=0.

△=ArJ-4x2x(-|)=*J+8....................2分

无论4取何值，左220,所以A?+8>0,即△>().

方程2/+6-1=0有两个不相等的实数根............3分

(2)设2x?+H-l=0的另一个根为x.

则X—1=一一，(-1)*X—----1................4分

22

解得：x=1,Jt=1.

2

.••2x2+匕-1=0的另一个根为k的值为I..................6分

2

k

18.如图，已知点A、8在双曲线y=-(x>0)上，

x

AC，x轴于点C,BD_Ly轴于点。，AC与BZ)交于点P,P

是AC的中点，若△ABP的面积为3,则4=—12；—.

12.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(。，8)，若规定以下三种变换:

◎(a,b)=(-a,h).$n,/(1,3)=(-1,3)；

②g(a,b)=(b,a).如，g(1,3)=(3,1);

③〃(a,b)=(—a,—b).如,/?(L3)=(—1,—3).

按照以上变换有：/配(2,-3))=〃-3,2)=(3,2),那么/伍(5,-3))等于(B)

A.(—5,一3)B.(5,3)C.(5,—3)D.(—5,3)

22.(10分)

响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰

箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超

过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2

000元/台.

(1)至少购进乙种电冰箱多少台？

(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？

22、22.(本小题满分10分)

解：(1)设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台,

丙种电冰箱(80—3x)台，根据题意，列不等式：..................................1分

1200x2x+1600x+(80-3x)x2000W132000................................3分

解这个不等式，得x214......................................................4分

至少购进乙种电冰箱14台....................................................5分

(2)根据题意，得2xW80-3x...............................................6分

解这个不等式，得尤W16......................................................7分

由(1)知lx214.

，14WxW16.

又••,X为正整数，

，x=14,15,16................................................................8分

所以，有三种购买方案：

方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台：

方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；

方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台...........10分

15.如图，直线y=经过A(2,l),8(—1,—2)两点，则不等式

—x>Ax+b>—2的解集为.—1<尤<2

2

11.如图6所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图

/输入x/

象应为(D)

取相反数

X2

+4

/输出y/

图6

*10.如图1,在直角梯形A8C0中，动点P从点B出发，沿BC,CO运动至点。停止.设

点P运动的路程为x,的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示，则

△BCD的面积是（A）

A.3B.4C.5D.6

9.若一次函数〉=依+〃的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的正半轴相交，那

么对左和b的符号判断正确的是(C)

A.k>0,。>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0

13.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数丫=1«+1

9

的图像与反比例函数y=-的图像在第一象限相交于点A,

x

过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C.如果四

边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式.

13.解：正方形°BAC=OB2=9,...0B=AB=3,・••点A的坐标为(3,3)

2

•・•点A在一次函数y=kx+1的图像上，/.3k+1=3,解得：k=—

3

2

・••一次函数的关系式是：y=—x+l.

-3

16.对于任意两个实数对(ci,b)和(c,d),规定：当且仅当a=c且b=d时，

(a,b)=(c,d).定义运算"®"：(a,b)®(c,d)=(ac—bd,ad+be).

若(1,2)⑤(p,q)=(5,0),则/?=1,c/=-2

5.若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点(D).

A.(1,2)B.(—1»—2)C.(2,-1)D.(1,—2)

21.（本题满分8分）

在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回.设汽车从

甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km）,y与无的函数关系如图所示.

根据图象信息，解答下列问题：

（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；

（2）求返程中y与x之间的函数表达式；„

▲y/krn

（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.上

22.55x/h

（第21题图）

21.（本题满分8分）

解：（1）不同.理由如下：

•••往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时,

往、返速度不同.（2分）

（2）设返程中y与x之间的表达式为y=

120=2.54+4

0=5k+b.

上=—48,

解之，得《（5分）

b=240.

y=T8x+240.（2.5xWxW5）（评卷时，自变量的取值范围不作要求）…•（6分）

（3）当x=4时，汽车在返程中，

.•.），=-48x4+240=48.

这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48km.（8分）

24.（本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，且。3=204,点A的坐标是（—1,2）.

（1）求点8的坐标；

（2）求过点A、。、B的抛物线的表达式;

（3）连接48,在（2）中的抛物线上求出点P,使得S“8P=S》8O-

（第24题图）

24.(本题满分10分)

解：(1)过点A作AFLx轴，垂足为点尸，过点8作BE轴，垂足为点E,

则Af=2,OF=\.

:OA.LOB,

ZAOF+ZBOE^90°.

又ZBOE+ZOBE=90°,

:.ZAOF=ZOBE.

RtAAFOsRtAO£B.

.BE_OEOB

"~OF~~AF~~OA~'

BE-2,OE-4.

.•.3(4,2)...........................（2分）

(2)设过点A(—1,2),8(4,2),。(0,0)的抛物线为y=o?+法+c.

1

ci——,

2

a-b+c=2f

16a+4b+c=2,解之,得《b=--,

2

c=0.

c=0.

1i3

:•所求抛物线的表达式为丫=1*2_：儿...................................（5分）

（3）由题意，知AB〃尤轴.

设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d,则S区|出=|ABQ4F.

/.J=2.

・••点P的纵坐标只能是0,或4........................................（7分）

1o3

令y=0,得—f——x=o.解之，得x=o,或x=3.

-22

符合条件的点片（0,0）,6（3,0）.

1,33+V41

令y=4,得上*2-巳*=4.解之，=

222

3-V413+V41

.•.符合条件的点鸟(冶4),/^(-^―>4).

综上，符合题意的点有四个:

3-V413+741

片(0,0),6(3,0),6(—^一,4),《(—^—,4).（10分）

（评卷时,无片（0,0）不扣分）

8.定义：如果一元二次方程以2+公+。=0（。。0）满足a+0+c=0,那么我们称这

个方程为“凤凰”方程.已知以2+区+。=0（。。0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实

数根，则下列结论正确的是：（A）

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

3

8.如图，点A、3是双曲线丁二一上的点，分别经过A、

x

若S阴影=1，则S]+邑=__4_____.

8题图

C矩

Q小：

O设是

，象

示图

A）数

所

B4函

（图的

为如x

示，与

表案y

可图则,

0

致”1

大E

“W

象个x

图一W

用到2

系得若,

关形0

数矩2

函小为

的的积

间样面

之一的

x个分

宽两部

与去去

y剪

剪,

长，

的y

片、

它x

,纸

的为

4别

为形

分

积方

宽

面正

张和

形

一长

矩的

..3

71形A

14

16.已知直线乂=无，必=5%+1，乂=一gx+5的图象如图所示，若无论尤取何值，y

37

总取X、%、当中的最小值，则y的最大值为———«

23.“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，

并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具

的进价和售价如右表所示，

⑴用含X、>的代数式表示购进C种玩具的套数；型号ABC

进价(元/套)405550

售价(元/套)508065

⑵求y与x之间的函数关系式；

⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用

200元。

①求出利润P(元)与工(套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具

各多少套。

411

23.(1)购进C种玩具套数为：50—x—y(或47——x——y)......(2分)

510

(2)由题意得40x+55y+50(x->)=2350整理得y=2x-30……(5分)

(3)①利润=销售收入一进价一其它费用

p=(50-40)x+(80-55)y+(65-50)(50-x-y)-200

又•.•y=2x-30，整理得p=15x+250……(7分)

②购进C种电动玩具的套数为：50-x—y=50—尤一(2尤一30)=80—3x

\>10

7070

据题意列不等式组12%-30210,解得20WxW—.lx的范围为20"4—，且

33

80-3x210

x为整数x的最大值是23

•..在p=15x+250中，攵=15>0，P随x的增大而增大

二当x取最大值23时，P有最大值，最大值为595元.此时购进A、B、C种玩具分别

为23套、16套、11套.（9分）

3.如图，数轴上A、8两点分别对应实数。、b,

则下列结论正确的是（C）4।Y।

A.a+b>0B.ab>0b-10a1

（第3题）

C.a-b>0D.|«|-|/?|>0

9.如图，直线y=（4<0）与x轴交于点（3,0）,关于x的不等式依+8>0的解集是

(A)

A.x<3B.x>3C.x>0D.x<0

20.（本小题8分）

rn—S

己知图中的曲线是反比例函数y=（加为常数）图象的一支.

x

（I）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数"2的取值范围是什么？

（II）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象内限的交点为A,过A点作

x轴的垂线，垂足为8,当△QA8的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式.

所以机一5>0,解得根>5..............................................3分

（H）如图，由第一象限内的点A在正比例函数y=2x的图象上，