向量三大定理及三角形四心2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题02向量三大定理及三角形四心

目录

【题型一】奔驰定理..............................................................................1

【题型二】奔驰定理综合应用......................................................................4

【题型三】极化恒等式............................................................................6

【题型四】等和线................................................................................7

【题型五】四心之重心..........................................................................10

【题型六】四心之外心...........................................................................12

【题型七】四心之内心...........................................................................13

【题型八】四心之垂心...........................................................................15

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................18

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................22

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................27

热点题型归纳

【题型一】奔驰定理

【典例分析】

已知。为，ABC内一点，且OA+3OB+40c=0，则A6O与二ABC面积比为（）

A.-B.-C.1D.-

6323

333【详解】设线段AC,8c的中点分别为。，E,如图所示，

由OA+3OB+4OC=0，得OA+OC=-3OB-30c=-3（OB+OC）,

即2OZ）=-3x2OE，故OO=-3OE，

所以点。在A8C的中位线DE上，即"即=??.，

=

SABO万AS-hAB0,SABC=—AB-h,

故SABO=ABC1故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

SSA

P为AABC内一点，axPA+bxPB+cxPC=O>则^AC-^AB=-尻c.

重要结论.2峥=---=一11_8建=£

^HABCa+b+cSMBCa+b+cS4ABea+b+c

结论1：对于AABC内的任意一点P,若AP8C、APC4、A/MB的面积分别为臬、5八Sc,贝!J：

SAPA+SBPB+SCPC=O.

即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.

结论2：对于A4BC平面内的任意一点P,若点尸在AABC的外部，并且在㈤C的内部或其对顶角的

内部所在区域时，则有—S“BC•R4+Sm1c•=0.

结论3：对于AA3C内的任意一点P,若4%+4尸8+4尸3=0,则AF3C、APC4、的面积

之比为4：4：4.

即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.

结论4：对于AABC所在平面内不在三角形边上的任一点P,4%+为PB+4PC=0,则△/归C、

APC4,A/刈?的面积分别为同：他卜|闵.

即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对

值之比.各向量所

【变式训练】

1.在平面上有A8C及内一点。满足关系式：SMSC•必++即称为经典的“奔驰定理”,

若.ABC的三边为a,b,c,现有“QA+从O8+c-OC=0则。为ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】利用三角形

面积公式，推出点。到三边距离相等。

【详解】记点。到A8、BC、CA的距离分别为加电，％,S0Bc=；a•运,S0AC=^b-h.,S0AB=^c-h},

____._111

因为S^OBC-OA+SMACOB+S40AB•OC=0,则］〃也•。4+万8・4・08+3c•4・OC=0,即

a-h2OA+bh,OB+ch,OC=0,a-OA+bOB+cOC=0<所以％=也=质，所以点？是△ABC的内

心.

故选：B

2.设AG=g（A8+AC）,过G作直线/分别交AB,AC（不与端点重合）于P,Q,若AP=LW，

2

AQ=〃AC,若A7%G与AQAG的面积之比为则〃=

1235

A.-B.—C.—D.一

3346

【答案】D

【分析】根据面积比得出的关系，根据AG=；（AB+AC）,从而可以AP，AQ表示出AG，

利用共线原理列方程，解出即可得到答案

【详解】连接AG并延长，则通过的中点M，过尸，。分别向AG所在直线作垂线，垂足

oPD2

分别为。，E,如图所示/AG与ZWG的面积之比为了正下

根据三角形相似可知与='，则PG=女PQAG=AP+PG=AP+^（AQ-AP）

355v7

即AG=|AP+1AQ=14A3+1〃AC由平行四边形法则得AG=2AM=，（AB+AC）

2I5

根据待定系数法有则〃=2故选。

536

3.已知点尸为A5C内一点，PA+2PB+3PC=0,则△4尸8，AAPC,△8PC的面积之比为（）

A.9:4:1B.1:4:9C.1:2:3D.3:2:1

【答案】D

【分析】

先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面

枳公式确定面积之比

•,PA+PC=PD=2PF.PB+PC=PE=2PG

PF=-2PG-

.•.尸、P、G三点共线，n.PF=2PG,G尸为三角形ABC的中位线

\APB-AAPC.ABPC的面积之比等于3:2:1。故选：D.

【题型二】奔驰定理综合应用

【典例分析】

2121

如图，设P,Q为ZVLBC内的两点，且AQ=-AB+-AC＞则的面积与

AABQ的面积之比为()

【答案】B

【详解】

试题分析：本题以面积之比为背景，考查平面向量的初等运算和平面向量的基本定理，难度较难.连QP,

21

延长QP交AB于E,设AE=/IA6，EP^AP-AE=(--A)AB+-AC,

21.4SEP4

EQ=AQ—AE=(——A)AB+-AC,又A3,AC不共线，所以EP=—EQ.又于MB处P=访=£.故选

SfMQEQ5

【变式训练】

1.已知。为正三角形ABC内一点，且满足。4+403+(1+4)OC=0,若_。钻的面积与AOAC的面积

之比为3,贝4/1=()

1133

A.—B.—C*—D.一

2442

【答案】A

【分析】

分别取AC、8C的中点。、E，连接OE、AE，由平面向量的线性运算可得O£i=_；lOE，进而可得

S,c=gs△.，即可得解・

【详解】

分别取AC、3。的中点。、E，连接AE-如图，

D

所以OE是二ABC的中位线，

因为Q4+XQ8+(l+；l)OC=0,所以。4+0C=—/(OB+OC),所以。。=_丸0E，所以。、E、0

三点共线，所以SMAC=！S△加所以0。=即即0。=一:OE，所以一九=一g即

363322

彳=2.故选：A.

2

2.已知点P为一ABC内一点，2P4+3PB+5PC=0,则-APB,APC,BPC的面积之比为.

【答案】5:3:2

【分析】

先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量的数乘运算的儿何意义，三角形

面积公式，确定面积比.

【详解】因为2PA+3尸B+5PC=0，所以2(PA+PC)=-3(PB+PC),设F为AC中点，G为8c中

3

点，因为PA+PC=2PF,PB+PC=2PG,可得2P户=-3PG，所以F、P、G三点共线，且PF=—PG,

S。XPCx4,pF3

GF为三角形ABC的中位线所以不"=-j-----------=a=不二=3，

SBPCIxPCx/^%PG2

而SMPB=gS&ABC，所以^-APB^APC^BPC的面积之比等于5:3:2

故答案为:5:3:2

3.已知6为白ABC的重心，过点G的直线与边分别相交于点RQ.若则AABC与

AAPQ的面积之比为.

自.43A—1

【答案】下一

【分析】

APAQ

根据=2求得「的比值，然后利用三角形的面积公式，求得两个三角形面积的比值.

ABAC

【详解】

A。

设AG^X^(AB+AC)^M^AP+-AQ\^^-AP+^-AQ,由于P,G,Q三点共线,

AC32、/3(/1〃)3Z3〃

1114八

故正十而=L〃=豆二T由于由与AAPQ有公共角A'由三角形面积公式得

ABAC•sinA_i_3A-1

SAAPQAPAQ•sinA办A2

【题型三】极化恒等式

【典例分析】

如图，在平面四边形4?切中，ABLBC,ADLCD,ZBCD=60°,CB=CD=26若点M为边比1上

iuuilIILIUU,,L....

的动点，则AMDM的最小v值为.

用极化不等式的解法如下:

设E是AD的中点，作EN上BC丁N.延长CB交D4的延长线于产，

由题意可得：FD=y/3CD=6,FC=2CD=48nBF=26nAB=2,FA=4

=32用嗯="硒=|

21

则AM•DM=MA.MD=版『-同=-\>EN2-\=

1~4

_21

所以｛AM.DM

min4

【提分秘籍】

基本规律

.\22,2

a+b\=a+2ab+b

\2.22

a-b\=a-2ab+b

在△ABC中，。是边BC的中点，则

AB.AC=|AZ)|2-|DB|2.

BD

【变式训练】

1.在△ABC中，已知45=6，C=y,则C4.C8的最大值为.

解析:设。是AB的中点，连接CD，点。是△A5C的外心,连接DO并延长交圆。于C',

由△ABC'是等边三角形,AD4=C，D=£

33

42

所以（CA.C8）=-.

\）max2

2.如图，在平面四边形ABC。中，AC=A£>=2,ZZ14C=120°,ZABC=90°.则8。.的最大值

为一；

B

解析：取C。的中点E，连接E4，EB，

由AC=AD=2,ZDAC=120°=AE_LCD,DE=ADsin600=百，

由ZABC=ZAEC=90°n4,氏C七四点共圆，且直径为AC.

则BD.BC=|5£|2-|ED|2=|S£|2-（V3）2<AC2-3=22-3=l

所以（BD.BC）=1.

\/max

3.如图放置的边长为1的正方形ABCO,顶点分别在x轴，y轴正半轴（含原点）滑动，则。&OC

点E,F

03.00=；［（08+"『一（06一"）［=；（2OE^-BC2=OE~

因为］3--91

OE<OF+EF=\+-=-^OB-OC<------=2

2344

【题型四】等和线

【典例分析】

如图，在边长为2的正六边形A8CDEE中，动圆。的半径为1,圆心在线段8（含端点）上运动,P

是圆。上及内部的动点，设向量+（in,n为实数），则机+〃的取值范围是（）

A.（1,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

【答案】C

【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则

8（2,0）,尸（-1,@,「Q:（x-a『+（y+岛-4可=1,（2<〃w3）

所以尸（2加一〃,,即（2加一〃一〃）~+（J5〃+百〃一4>国<1

2m-n-a=rcos仇6n+43a-4>/3=rsin0,re[0,l]

a+rcos。3（4一3rsin，.（八兀、,「।,c1,ci「c3

加+〃=----------1-------1---j=———rsin[e+（J+6-aG[-1+6-3,1+6-2]=[2,5J选C.

方法二：【解析】如图所示,①设点。为正六边形的中心，则AO=46+人尸

当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P,点P为边BC的中点。连接OP,则AP=AO+OP，

•••OP与丽共线，，存在实数t,使得OP=tFB.•.此时m+n=l+t+l-t=2,取得最小值

②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与Q的交点P时，AP=-AB+-AF

22

此时m+n=5取得最大值。故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

等和线原理

OA=20B+(2£R)o2+/z=1

OF=AOB+〃0C,（九wR）o/l+〃=m

则m=O"P

OE

【变式训练】

1.如图，/.BAC=圆M与AB、AC分别相切于点D、E,A0=1,点P是圆M及其内部任意一点，且

AP工=xAD+yAE（_x.yG/?）,贝h+y的取值范围是（）

.■»DU

A.[1,4+2V3]B.[4-2封4+2网C.[1,2+V3]D.[2-V3,2+V3]

【答案】B

【解析】

连接4M并延长分别交圆M于Q、T,连接DE,DE与AM交于R,显然版=工而+工荏，此时x+y=l,分

别过Q、7作DE的平行线，由于4。=AE=1/BAC=120'）,则AM=2,DM=V3,贝IJ4Q=2-⑰,AR=三，

AQ==（4-2次）荏=（2-y/3）AD+（2-遮）荏,此时x+y=4-2V3,同理可得：荷=（2+

2

V5）荷+（2+遮）福x+y=4+2V3,选2.

2.如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合建。且三组对吵别平行.点4B是“六芒星”（如

图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若而=x瓦？+y而，则x+y的取值范围是（）

如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3,则赤，瓦？=-|f+巧力可得了=而,1=

^0A+V30B,由图知当P在C点时有，OP=V3j^2OA+3OB,此时x+y有最大值5,同理在与C

相对的下顶点时有丽=-何=-2耐-3丽，此时x+y有最小值-5.故本题答案选C.

3.AABC中，。为AB的中点，点厂在线段C。（不含端点）上,且满足A尸=xAB+yAC（x,yeR）,

则上1+士2的最小值为（）

xy

A.3+2近B.2+20C.6D.8

【答案】D

【解析】AF=xAB+yAC=2xAD+yAC,因为C,F,。三点共线，所以2x+y=1且x>0,y>0,

则_L+2=[L+2]（2x+y）=4+t+”N4+2口?把=,当且仅当上=生，即*=l，y时，

xy\xy）xyyxy42

12

上式取等号，故士+4有最小值8,故选D.

【题型五】四心之重心

【典例分析】

如图，点。为△A8C的重心，且Q4LO8,co|=4,则A。8c的值为.

tonuunzuuuuuinxuunuuw

【答案】32取AB的中点“，则C阴O=-2>OnMu,\|rCn0\=021|O用M3|=A4,AC-BC^1（AO+OC）]（BO+OC）

/iiuwuun、uunuucuuiruuinuuin

22222

=（A0+80'OC+OC=2MO-OC+OC=2|W|.|3c|+|3c|=2|3c|=2x4=32

【提分秘籍】

基本规律

重心：三角形三条中线交点

重心向量性质：若。为A43c的重心o+QB+℃=6.

重心性质：

1.在△ABC中，中线AD交BC于D,G是重心，则AG=2GD

X]++x3

「二3

y=y+)'2+)'3

2.在A4BC中，人。1»1)8a2,丫2)(2g3,丫3)的重心6坐标公式13

1

3.若0是AABC的重心，则SABOC=SAAOC=S.MOB=3SMBC

【变式训练】

1.已知A、B.。是平面上不共线三点，。是AABC的重心，动点P满足而=+；而+2而),

则P一定为AA3C的()

A.46边中线的三等分点(非重心)B.A5边的中点

C.43边中线的中点D.重心

,11-----1,•

OP=—(—OA+—05+20。)

【答案】A因为°是AA5C的重心，所以。4+°8+℃=0.由322可得

OP=-OC

6°P=Q4+°B+4℃,所以2，所以尸一定为A43C的边45上的中线的非重心的三等分点，

故选A.

2.已知点G是aABC的重心，若NA=120°,AB-AC^-2,则AG的最小值是()

,V3V223

A.-----B.-----C.-D.一

3234

【答案】C在AABC中，延长AG交BC于D,・・,点G是aABC的重心，・・・AD是BC边上的中线，且

2--2

AG=-AD.VAB^AC=\AB||AC\cos120°=-2,：.\AB\\AC\=4.VAG=-AD,2AD=AB+AC,：.

33

lr2

12112214

AG=§(AB+AC),..AG=-(AB+AC)=-(AB+2AB.AC+AC)>-[2|AB||AC|+2x(-2)]=-,..

24.77

AG2§,.\|46|>§,.\|46|的最小值是§,故选C.

3.过,MC的重心任作一直线分别交A3、AC于点。、E,若AD=xAB，AE=yAC,且孙工0,则工+'=

xy

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】作出图形，设4BC的重心为点G,延长AG交BC于点M,则M为线段3c的中点，设。G=ADE，

根据平面向量的线性运算可得出AG=(1-/l)xAB+2)，AC,根据三角形重心的性质可得出AG关于45、AC

的表达式，根据平面向量的基本定理可求得结果.

【详解】设ABC的重心为点G,延长AG交8c于点拉，则M为线段8c的中点,

因为。、G、E三点共线，设。G=/IOE，^AG-AD=A(AE-AD),

所以，AG=(\-X)AD+A.AE=(\-X)xAB+A.yAC,

因为M为BC的中点，则AM=AB+8M=AB+，BC=A8+L(AC-A3)=,A3+，AC,

22、>22

2I]

因为G为ABC的重心，贝IJAG=§AM=§AB+3AC,

所以，(1-A)x=2y=^,所以，」+L=3(l-/l)+3/l=3.故选：B

3xy

【题型六】四心之外心

【典例分析】

已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为点。，且304+4O3+5OC=O,则△ABC的面积为()

,8c7c6八4

A.-B.-C.-D.一

5555

【答案】C由题意知网=画=|困=1,由304+403+5"=。可得3。4+40»=—50C,两边

平法可得9+24凉・08+16=25,所以厉。8=0,因此凉J_。以，同理，3OA+5OC=—4。8,

4OB+5OC=-3OA,两边分别平方可得costOB,。0=-1,cos(。4,0C)=-|,根据同角三角函数基

本关系可得sin(0B,04=],sin(0A,0C)=；所以之殷=5鹏+%。。+5.=；xlxl+gxlxl

x2lxlxlxl6

+故选C.

5255

【提分秘籍】

基本规律

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

0是AABC外心=10川=|0叫=|OC|

—2—2—2

。为AABC的夕卜心oOA=OB=OC.

若。是AABC外心，则sin2AOA+sin28OB+sin2coe=0.

【变式训练】

1.若点P是AA8C的外心，且PA+PB+，PC=0,NC=120,则实数2的值为（）

【答案】C由题设可知NAPB=120°,所以结合图形可知直+丽=正，即砺+而—正=6,故

—应选C.

2.在AABC中，AB=5,AC=9,若。为A4BC内一点，且满足|。4|=|°即=|℃|，则A01C的值

是_________.

【答案】28如图所示，取3C的中点£),连接8,AO,则AD=g(AB+AC),。。J_BC,

即ODBC=0,所以AOBC=(AD+DO)BC=ADBC+DOBC

11-2-2J、、

=ADBC^-(AB+AC)(AC-AB)=-(AC-AB)=-x(92-52)=28.

3.已知A4BC外接圆的圆心为。，AB=26,AC=2亚,A为钝角，M是6C边的中点，

则AMMO=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C在三角形MBC中，AM=1（AB+AC）,AM-AO=^AB+AC^-AO

=；（AB.AO+A5AO）,

0是圆心，：.2\AO\-cosZOAB=\AB\,因为AB-AO=\AB\\AO\cosZOAB,所以

|AB|2

ABAO=1~匚=6,同理可得AB-AO=4,AM-AO=5故选D.

2

【题型七】四心之内心

【典例分析】

在,4BC中，AB=4,AC=6,点Q,E分别在线段A8,AC上，且。为A3中点，AE=3EC,若ap=AE,

则直线AP经过ABC的（）.

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】A

【分析】根据题意，可得四边形4）PE为菱形，即可得到4P平分/BAC,从而得到结果.

A

E

D,

【详解】BC

1一

因为AB=4,AC=6,且。为A8中点，AE=-EC,

则,平朋=2,

又因为AP=AO+AE，则可得四边形4）PE为菱形，

即AP为菱形4）尸E的对角线，

所以AP平分/B4C,即直线”经过,"C的内心。故选:A

【提分秘籍】

基本规律

三角形三内角的平分线相交于一点.是三角形的内切圆的圆心，称内心。

。为A4BC的内心=厉・（*4£一~4^）=为•（普--瓦•（乌——S-）=0

|AB|\AC\\BA\\BC\|G4|\CB\

【变式训练】

’ARAC、

L已知点。是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足0P=0A+2--+-^-,

\\AB\\AC\J

2e（0,+«））,则点尸的轨迹一定通过，相。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】由题设条件得到4尸=兄卜+4）,从而判断出点尸在NGAA的平分线上，由此得到点P的轨迹一定

通过.A3C的内心.

ABACABACiiii

【详解】网，河分别表示A8,AC方向的单位向量，令网=%同=02,匐=,卜1,

则OP=OA+A（冢+动,g|JAP=A（ex+动,

乂同=同，以";为一组邻边作一个菱形AB£P，则点P在该菱形的对角线明上，

所以点P在/。①。瓦-，即NC4B的平分线上，故动点尸的轨迹一定通过—ABC的内心.

故选：B?B

2.在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,。为△ABC的内心，若AO=/AB+〃BC,则4+〃=（）

2r3c5-3

A.-B.—C.-D.—

3465

【答案】c

【3■析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.

【详解】由AO=%AB+〃8c得A。=2（0B-OA）+//（OC-。8）,

贝ij(1-4)0A+(2)08+〃OC=0,

因为0为4ABC的内心，所以怛qa4+|AC|O8+|相|OC=0,

从而(1-4)：(4-〃)：〃=5：4:3,

715

解得a=j"=；,所以2十〃=，故选：C.

1246

3

3.在AABC中，cosA=-,。为AABC的内心，若AO=xA3+yAC(x,yeR),则x+y的最大值为()

A26-7607-币8-2贬

A.-15.------C.------Un.-------

【答案】D

14DAD

【分析】设A。=AAO=AxAB+AyAC,根据三点共线可得x+y=：=黑=—^―,结合图像分析运算.

2ADAO+OD

【详解】如图：圆。在边AB,BC上的切点分别为E/,连接OE,OF,延长AO交8C于点O

3

设则cosAucosZOul-Zsireu二，则sin9=J

44

设A。=AAO=AxAB+AyAC

：B,Q,C三点共线，则为v+2y=l,即x+y=；

\AOAO<AO_]_[_[_[_8-2夜

W―茄-AO+OD~AO+OF-T~OF-.OE-1+sin"-,夜~-7-

AOAO4

f；

即x+y4殳0也。故选：D.

【题型八】四心之垂心

【典例分析】

奔驰定理：已知点。是ABC内的一点，若/OC,..AOC,JLO8的面积分别记为E，邑，5,则

S「04+S2.O8+S3-OC=O.“奔驰定理''是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔

驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知。是二A8C的垂心，且Q4+2O8+3OC=0，

贝lJcosC=()

C

35/10B.画

D

"w-10-T

【答案】B

【分析】延长8交AB于点R则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得5,:S2:S3=tanA:tanB:tanC,

再利用5「。4+5「05+53・。7=0和。4+2。5+3(%;=0可得3114颂8:1211。=1:2:3,不妨设

lanA-k,tanB=2k,tanC=3k,利用tanA=-tan(B+C)=-■tan'+tanC可求出卜的值，从而可求出cosC的

1-tanBtanC

值.

【详解】延长CO交A8于点P,O是ABC的垂心，.•。尸工他，.,忑：邑=(?℃期):(!℃乂尸|

=BP:AP=(OPtan/POB):(OPtanZPOA)=tan/COB:tanZ.COA=tan(^-A):tan(4-B)=tan>4:tanB.

同理可得E:S3=tanA:tanC,S(:S2:S3=tanA:tanB:tanC.

又S、-O4+S2OB+S3OC=0,.・.tan4QA+tan8O8+tanCOC=0.

XOA+2OB+3OC=0，/.tanA:tan:tanC=1:2:3.

不妨设tan4=Z,tan8=2A,tanC=3Z,其中k手0.tanA=-tan(B4-C)=-■,a"B+tanC,

1-tanBtanC

2上+北

：.k=--------解得上=±1.当2=-1时，tanA<0,tanB<0,tanC<0,贝ijA,B,。都是钝角，不合

\-2k・3k

题意，舍掉.

sinC=3i—

故&=1,则tanC=3>0,故C为锐角，/JcosC-',解得cosC=Mi,故选：B.

sin2C+cos2C=l10

BC

【提分秘籍】

基本规律

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

O是MBC垂心<=>OAOB+OBOC+OC-OA,

【变式训练】

1.若”为；ABC所在平面内一点，且网\|BC卜阿『+倒匕阿卜卜可则点”是MC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】D

【分析】由同『+取『=|阿/得至uW+（8“+沅）2=］囤?+（由+砌;从而得到“CL8A,同

理证明即可.

【详解】|WAp+|BC『=|««|2+|C4『=|网。+(B"++(C”+网。,

得BH-HC=CH•HAnHCBA=Q，即”C_L8A：

|叫+收1=|时+(BH+Hcj=|时+[AH+HB^,

得BH•HC=AH•HBnBH•AC=0，即8H_LAC:

|阿+喇=|时+网2nl阿+(C“+/M)2=|呵+(A”+砌2,

CH-HA=AH-HB=HA-CB=Q，即H4_LC8，所以“为，ABC的垂心.

故选：D.

2.已知。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

/、

AR

OP=OA+A「——+|~L一,/le(0,4^),则动点尸的轨迹一定通过ABC的()

|AB|COSB|AC|cosC

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】D

【分析】计算AP-BC的值，可得出结论.

【详解】因为”

,DD„\ABBCACBC〕(网•闸cosB|AC|-|«C|COSC

==

..Ai'XJC/t；；---------+,；；-----------A--------；；--------------H；；---------------

卜@cosB|?!C|cosCI[hqcosB|AC|cosC

APrI3C＜因此，点户的轨迹经过45c的垂心，

故选：D.

12

3.已知H为ABC的垂心，^AH=-AB+-AC9则sinN84C=()

A.巫B.巫

55

L•LJ.

33

【答案】C

29一13______31Ad

【分析】BH=--AB+-AC,CH=-AB--AC,利用BH-AC=0、CH-AB=0^cosZBAC=-^~J

35355AB

5AB解得再利用平方共线可得答案

cosZ.BAC=-------cos2/8AC=g,.

9AC

2213

【详解】依题意，BH=BA+AH=--AB+-AC,同理O/=C4+A"=§AB—gAC.

由〃为AA8C的垂心,得8，.AC=0,BP(-|AB+|AC\AC=O,

可知21Ad2=2|AC||48|COSNBAC,即COSNBAC=J_j