2023-2024学年福建省福州市格致中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市格致中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.P为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p=A.2 B.4 C.4或9 D.2或182.已知p：0<x<2，那么p的一个必要不充分条件是(

)A.0<x<3 B.−1<x<1 C.0<x<1 D.1<x<33.已知集合A={(x,y)|y=x+1，0≤x≤1}，集合B={(x,y)|y=2x，0≤x≤10}，则集合A∩B=(

)A.{1,2} B.{x|0≤x≤1} C.{(1,2)} D.⌀4.在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°,AE=xAB+1−x3A.−2 B.−43 C.−25.若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a+lna>b+lnb”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.(2x2−5x)(2+1A.1984 B.960 C.660 D.7047.已知sinα=267，cos(α−β)=105，且A.91535 B.1110358.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为(

)

①当点P为BC中点时，平面PEF⊥平面GMN

②异面直线EF、GN所成角的余弦值为14

③点E、F、G、M、N在同一个球面上

A.0 B.1 C.2 D.3二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.

某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则(

)A.a=0.008 B.X=120

C.70分以下的人数约为6人 D.本次考试的平均分约为93.610.已知函数f(x)=sin(3x+π4A.函数f(x)的一个周期为23π B.直线x=π12是y=f(x)的一条对称轴

C.点(−π12,0)是y=f(x)11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过A.∠AF1B=∠F1AB

B.双曲线的离心率e=333

C.双曲线的渐近线方程为y=±12.已知数列{an}满足a2n+1+a2n=4n−1，a2n−A.(a3+a5)，(a7+a9)，…，(a47+a49三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.已知曲线f(x)=x3+x−3x13在x=1处的切线与g(x)=acosx在14.已知tanα=12，且α∈(π,3π2)15.如图，在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD与BE交于点P，AB=2，AC=4四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

如图1，在平面四边形PBCD中，已知BC⊥PB，PD⊥CD，PB=6，BC=2，DP=2CD，DA⊥PB于点A.将△PAD沿AD折起使得PA⊥平面ABCD，如图2，设MD=λPD(0≤λ≤1)．

(1)若λ=23，求证：PB/​/平面MAC；

(2)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为17.(本小题12分)

已知三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，BB1=2BC，AA1⊥平面ABC，AC=BC，E为AB的中点，D为A1B1上一点．18.(本小题12分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，m=(2b−c,cosC)，n=(a,cosA)，且m//n．

(1)求角A的大小；

(2)19.(本小题12分)

如图所示，多面体ABCDEF中，AD//EF//BC，平面ADEF⊥平面BCEF，AD⊥EC，且AD=CD=2，CB=EF=1，∠BCD=π3．

(1)证明：BF⊥DE；

(2)若FB=2，求直线DC20.(本小题12分)

某网店经营的一种商品进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P(件)与单价x(元)之间的关系如图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．

(Ⅰ)根据周销量图写出周销量P(件)与单价x(元)之间的函数关系式；

(Ⅱ)写出周利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．21.(本小题12分)

已知函数f(x)=eax⋅cosx，其中a∈R．

(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)已知f(x)在区间(0,π)上存在唯一的极小值点．

(ⅰ)求实数a的取值范围；

(ⅱ)记f(x)在区间(0,π)上的极小值为g(a)，讨论函数答案解析1.D

【解析】解：由抛物线y2=2px(p>0)可得准线l的方程为：x=−p2，

设点P(x1,y1)，∴y12=2px1，

∵点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，

∴x1+p2=10，|y1|=62.A

【解析】解：因为p：0<x<2，

所以只有A选项是p的一个必要不充分条件．

故选：A．

3.C

【解析】解：集合A={(x,y)|y=x+1，0≤x≤1}，

集合B={(x,y)|y=2x，0≤x≤10}，

由y=x+1y=2x，解得x=1y=2，其中0≤x≤1；

∴集合A∩B={(1,2)}．

故选：C4.B

【解析】解：已知在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°,AE=xAB+1−x3AD,x∈[0,1]，

则AB⋅AD=2×2×12=2，

则DE⋅DC=(AE5.C

【解析】解：设f(x)=x+lnx，显然f(x)在(0,+∞)上单调递增，

∵a>b，

∴f(a)>f(b)，

∴a+lna>b+lnb，

故充分性成立，

∵a+lna>b+lnb”，

∴f(a)>f(b)，

∴a>b，

故必要性成立，

故“a>b”是“a+lna>b+lnb”的充要条件，

故选：C．

6.D

【解析】解：因为(2+1x)7的展开式的通项为Tr+1=C7r⋅27−r⋅x−r2，r=0，1，27.A

【解析】解：由sinα=267，0<α<3π4，可得0<α<π2，cosα=1−sin2α=1−2449=57，

由0<α<π2，0<β<3π48.D

【解析】解：结论①，取AD中点Q，连接PQ，FQ，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，

E、F、G、M、N均为所在棱的中点，

易知GM⊥PQ，∵FQ//DD1，∴FQ⊥平面ABCD，

又GM在面ABCD内，∴GM⊥FQ，

∵FQ，PQ⊂平面PQF，PQ∩FQ=Q，

∴GM⊥平面PQF，又PF⊂面PQF，∴GM⊥PF，

连接BA1，ABB1A1是正方形，GN⊥A1B，

∵FA1⊥平面ABA1B1，GN⊂平面ABA1B1，∴GN⊥A1F，

FA1⊂平面PFA1B，A1B⊂平面PFA1B，A1B∩FA1=A1，

∴GN⊥平面PFA1B，PF⊂平面PFA1B，∴GN⊥PF，

综上，GN，GM⊂平面GMN，又GM∩GN=G，

所以PF⊥平面GMN，又PF⊂平面PEF，

故平面PEF⊥平面GMN，故①正确；

结论②，取A1B1中点T，连接ET，FT，则ET//GN，

∴∠TEF是异面直线EF，GN所成的角，

又EF=FT=ET=2，则∠TEF=π3,cos∠TEF=12，故②错误；9.AD

【解析】解：对于A，(0.002×2+0.004+a+0.014+0.02)×20=1⇒a=0.008，A正确；

对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，

所以130−X130−110=40160⇒X=125，B错误；

对于C，70分以下的人数为(0.002+0.004)×20×1000=120人，C错误；

对于D，平均成绩X−=40×0.04+60×0.08+80×0.28+100×0.4+120×0.16+140×0.04=93.6，10.AB

【解析】解：对于选项A，ω=3，所以最小正周期T=2π3，故选项A正确；

对于选项B，将x=π12代入函数解析式得：f(π12)=sin(3×π12+π4)+2=sinπ2+2，

所以x=π12是一条对称轴，故选项B正确；

对于选项C，因为f(x)可以看作是函数y=sin(3x+π11.ABC

【解析】解：如图，

设|AF1|=|BF2|=2|AF2|=2m，则|AB|=|AF2|+|BF2|=3m，

由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2m−m=2a，即m=2a；|BF1|−|BF2|=2a，即|BF1|−2m=2a，

∴|BF1|=3m=|AB|，∴∠AF1B=∠F1AB，故选项A正确；

由余弦定理知，在△ABF1中，cos∠AF112.ACD

【解析】解：由a2n+1+a2n=4n−1，a2n−a2n−1=4n−3，

得a2n−1+a2n+1=2，

则(a3+a5)，(a7+a9)，…，(a47+a49)是各项均为2的常数列，A正确；

由a2n−a2n−1=4n−3，得a2n+2−a2n+1=4n+1，

又a2n+1+a2n=4n−1，

所以a2n+a2n+2=8n，

则(a4+a6)，(a8+a10)，13.−3

【解析】解：f′(x)=3x2+1−x−23，g′(x)=−asinx

由题意可知，g′(π2)=f′(1)14.−【解析】解：∵tanα=12=sinαcosα，且α∈(π,3π2)，

∴cosα=2sinα，

又∵cos2α+15.2

【解析】解：令BP=mBE，CP=nCD，

则AP=AB+mBE=AB+m(−AB+13AC)=(1−m)AB+m3AC，

AP=16.解：(1)证明：在平面四边形PBCD中，∵BC⊥PB，PB=6，BC=2，

∴CP=210，tan∠BPC=13，又PD⊥CD，DP=2CD，

∴CD=22，PD=42，tan∠DPC=12，

∴tan∠BPD=tan(∠BPC+∠DPC)=12+131−12×13=1，∴∠BPD=45°．

∴在Rt△PAD中，易得PA=AD=4．

∵DA⊥PB，BC⊥PB，∴AD//BC．

在四棱锥P−ABCD中，连接BD，设BD∩AC=F，连接MF，

∵λ=23，∴DMMP=2，又ADBC=DFFB=2，

∴MF/​/PB，又MF⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，

∴PB/​/平面MAC．

(2)由题意易知AB，AD，AP两两垂直，故建系如图：

则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，

∴CD=(−2,2,0)，PD=(0,4,−4)．

【解析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；

(2)利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解．

17.(1)证明：因为AC=BC，E为AB的中点，

所以CE⊥AB.因为AA1⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，

所以AA1⊥CE.因为AA1∩AB=A，

所以CE⊥平面ABB1A1．

因为AD⊂平面ABB1A1，所以AD⊥CE．

(2)解：以C点为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设AC=BC=1，则A(1,0,0)，C(0,0,0)，D(12,12,2)，E(12,12,0)．

所以CA=(1,0,0)，CD=(12,12,2)．

【解析】(1)证明CE⊥AB.AA1⊥CE.推出CE⊥平面ABB1A1.即可证明AD⊥CE．

(2)以C点为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y18.解：(1)由m//n得(2b−c)⋅cosA−acosC=0，

由正弦定理得2sinBcosA−sinCcosA−sinAcosC=0，2sinBcosA−sin(A+C)=0，

∴2sinBcosA−sinB=0，

∵A,B∈(0,π)∴sinB≠0,cosA=12，∴A=π3

(2)y=sin2B+cosπ3cos2B+sinπ3sin2B【解析】(1)用向量的共线的充要条件及三角形中的正弦定理求得角A．

(2)用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用正弦函数的图象求出范围．

19.(1)证明：∵EF/​/BC且EF=BC，

∴四边形EFBC为平行四边形，

∴BF//EC，

又AD/​/EF，AD⊥EC，

∴BF⊥EF，

∵平面ADEF⊥平面BCEF，且平面ADEF∩平面BCEF=EF，BF⊂平面BCEF，

∴BF⊥平面ADEF，

又DE⊂平面ADEF，

∴BF⊥DE．

(2)解：连接DF，

在△BCD中，由余弦定理知，BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=1+4−2×1×2×12=3，

∴CD2=BC2+BD2，即BC⊥BD，

∵BC⊥BF，且BD∩BF=B，

∴BC⊥平面BFD，

∵EF/​/BC，∴EF⊥平面BFD，

由(1)知BF⊥平面ADEF，

∵DF⊂平面ADEF，∴DF⊥BF，

故FD，FE，FB两两垂直，

∵BD=3，FB=2，∴FD=1，

以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则F(0,0,0)，A(−2,0,1)，B(0,2,0)，C(1,2,0)，D(0,0,1)，

∴DC=(1,2,−1)，FA=(−2,0,1)，【解析】(1)先证四边形EFBC为平行四边形，可得BF//EC，结合AD/​/EF，AD⊥EC，可得BF⊥EF，再利用面面垂直的性质定理，推出BF⊥平面ADEF，从而得证；

(2)先证FD，FE，FB两两垂直，再以F为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角即可．

20.解：(Ⅰ)当x∈[12,20]时，P=k1x+b1，代入点(12,26)，(20,10)，

得k1=−2，b1=50，∴P=−2x+50；

同理x∈(20,28]时，P=−x+30，

∴周销量P(件)与单价x(元)之间的函数关系式P=−2x+50,12≤x≤20−x+30,20<x≤28；

(Ⅱ)y=P(x−10)−25

=(−2x+50)(x−10)−25,12≤x≤20,(−x+30)(x−10)−2520<x≤28,

当x∈[12,20]时，y=−2(x−352)【解析】(Ⅰ)根据函数图象，求出解析式，即可写出周销量P(件)与单价x(元)之间的函数关系式；

(Ⅱ)分段求出函数的最值，即可得出结论．21.解：(1)当a=2时，f(x)=e2x⋅cosx，

f′(x)=e2x(2cosx−sinx)，

f(0)=1，f′(0)=2，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x+1．

(2)(ⅰ)f′(x)=eax(acosx−sinx)，

当a=0时，f(x)=cosx，在区间(0,π)上单调递减，不存在极值点，

当a>0时，在[π2,π)时，acosx−sinx<0，f′(x)<0，

由函数y=tanx的图象及性质，可得存在x1∈(0,π2)，使得tanx1=a，即acosx1−sinx1=0，

所以当x∈(0,x1)时，aco