2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2−i，则zz−z=A.−12+i B.12−i 2.某学校有小学生270人，初中生x人，高中生810人．为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则x为(

)A.270 B.360 C.450 D.5403.已知cos 2α+5sinα=3，则sinα=(

)A.12 B.−12 C.4.已知三条不重合的直线a，b，c和平面α，下列命题中是真命题的为(

)A.若直线a，b和平面α所成的角相等，则a//b

B.若a⊥c，b⊥c，则a//b

C.若a⊥α，a⊥b，则b//α

D.若a⊥α，b⊥α，则a//b5.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7则下列结论正确的是(

)A.甲成绩的平均数较小 B.乙成绩的中位数较小

C.乙成绩的极差较大 D.乙比甲的成绩稳定6.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=30°，a=8，b=83，则△ABC的面积为A.323 B.163 C.327.在三棱锥D−ABC中，AD=2，BC=23，E，F分别是AB，CD的中点，EF=6，则直线AD与BCA.33 B.−33 8.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AC|=1，点A.−14 B.−116 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z满足iz=1−i，下列说法正确的是(

)A.z的虚部为−i B.z=−1+i C.|z|=210.关于函数f(x)=2sin2x−π3A.π6,0是f(x)的一个对称中心

B.函数f(x)在0,π6上单调递增

C.函数f(x)图像可由函数g(x)=2cos 2x+1的图像向右平移5π12个单位得到

D.若方程11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中．F为线段BC1A.不存在点E，使EF//平面ABCD

B.三棱锥B1−ACE的体积不随动点E变化而变化

C.直线EF与AD1所成的角可能等于30°

D.不存在点E三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知p：向量a=(−1,1)与b=(m,2)的夹角为锐角．则实数m的取值范围为________．13.在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为

，方差为

．14.已知三棱锥P−ABC四个顶点在球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则此球的半径是________．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(12分)已知平面向量a=2sinx,3(1)求fπ(2)求函数f(x)的最小正周期；(3)求函数y=f(x)在0,π2上的最大值，并求出取得最大值时x16.(12分)某电力公司需要了解用户的用电情况(单位：度).现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图(用户的用电量均不超过600度)．(1)求a；(2)若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；(3)每户用电量不超过m度的电费是0.5元/度，超出m度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则m至少应为多少(m为整数)？17.(12分)在三棱锥P−ABC中，PA=PC=BA=BC，AC=PB．(1)求证：AC⊥PB；(2)若PA=3，PB=2，求点P到平面ABC的距离．18.(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin2A=asin(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a，△ABC的面积为319.(12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，且∠DAB=60°，AC交BD于点O，PB=PD=3，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点．(1)求证：MN//平面PCD；(2)记二面角B−PC−D的平面角为θ，若cosθ=−①求PA与底面ABCD所成角的大小；②求点N到平面CDP的距离．

参考答案1.A

2.D3.A4.D5.D

6.C

7.A

8.C

9.BC

10.BC

11.ABC

12.(−∞,−2)∪(−2,2)

13.168；46.8

14.315.解：(1)因为a=(2sinx,3sinx)，b=(cosx,2sinx)，

所以f(x)=a⋅b−3

=2sinx⋅cosx+3sinx⋅2sinx−3

=sin2x−3(1−2sin2x)

=sin16.解：(1)由频率分布直方图中各组概率之和为1得，

100×(0.0013+0.0032+0.0034+0.0016+a+0.0002)=1，解得a=0.0003．

(2)根据频率分布直方图中平均值计算公式得平均值为50×0.13+150×0.32+250×0.34+350×0.16+450×0.03+550×0.02=220．

(3)由题意，第一组的频率为0.13，

第二组频率为0.32，

第三组频率为0.34，

所以m在第四组(300,400]之间，m为第80百分位数，

即0.13+0.32+0.34+(m−300)×0.0016=0.8，解得m=306.25，

故m至少应为307．

17.(1)证明：取AC的中点D，连接PD，BD，如图所示．

在ΔPAC中，PA=PC，D是AC的中点，所以PD⊥AC，在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC，

又PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，所以AC⊥PB;

(2)在ΔPAC中，PA=PC=3，AC=2，D是AC的中点，所以PD=22．

在△ABC中，BA=BC=3，AC=2，D是AC的中点，所以BD=22，S△ABC=12×2×22=22．

在△PBD中，PD=22，BD=22，PB=2，所以SΔPDB=12×2×8−1=7，

由(1)知，18.解：因为bsin由正弦定理可得：sinB⋅即sinB⋅2又因为sinA>0，sinB>0，所以∵A∈(0,π)，∴A=(2)由题意S△ABC由(1)知A=π3，又a所以a2又因为b+c=2a即a=2又因为b+c=所以△ABC的周长为219.(1)证明：取PB的中点E，连接ME，NE，

因为M，N分别为PA，BC的中点，

所以ME//AB//CD，NE/​/PC，

又ME∩NE=E，ME、NE⊂平面MNE，CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PCD，

所以平面MNE/​/平面PCD，

因为MN⊂平面MNE，

所以MN/​/平面PCD．

(2)解：取PC的中点F，连接BF，DF，OP，

因为PB=PD=3，BC=CD=3，PC=PC，

所以△PBC≌△PDC，且BF⊥PC，DF⊥PC，

所以∠BFD就是二面角B−PC−D的平面角，即cos∠BFD=cosθ=−17，

在△BDF中，BF=DF，BD=3，

由余弦定理知，cos∠BFD=BF2+DF2−BD22BF⋅DF，

所以−17=2BF2−92BF2，解得BF=374，

所以PC=2PF=2PB2−BF2=92，

①作PG⊥AC于点G，

因为PB=PD，O是BD的中点，所以OP⊥BD，

因为菱形ABCD，所以AC⊥BD，

又OP∩AC=O，OP、AC⊂平