2023-2024学年四川省成都市区县联考高一下学期7月期末调研考试数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省成都市区县联考高一下学期7月期末调研考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.平面向量a=(m,2)，b=(−2,4)，若a//b，则A.−1 B.1 C.−2 D.22.已知复数z满足(1+i)z=1−2i，则复数z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.将函数f(x)=sin2x的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为A.y=sin2x+π6 B.y=sin2x+4.已知非零向量a,b满足a=b，且a在b上的投影向量为12b，则向量aA.

2π3 B.π6 C.π45.已知tanα=43，则cosA.725 B.−725 C.26.已知m，n是空间中两条不同的直线，α,β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m⊥α，n⊥α，则m//n B.若m//n，n⊂α，则m//α

C.若α⊥β，m⊥α，则m//β D.若m⊥α，m⊥n，则n//α7.已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形A′B′C′O′，且A′B′=1，O′A′=2，O′C′=4，现将梯形ABCO绕OA旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为(

)

A.14πB.25π C.28π D.42π8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是(

)

A.函数f(x)B.函数f(x)的图象关于直线x=π3对称

C.函数f(x)的图象关于点7πD.函数f(x)在区间3π4二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列计算正确的是(

)A.sin75∘cos15∘+cos75∘10.在▵ABC中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点(D,E两点分别靠近B，C两点)，则下列说法正确的是(

)A.AB−AD=AC−AE

B.AB=2AD−AE

C.若|OA|=|11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是线段C1DA.B1N⊥平面ABN

B.正方体的外接球的表面积为12π，体积为43π

C.平面BMP截正方体所得截面的形状是五边形

D.若底面ABCD内的动点Q(包含边界)满足三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=m2−3m+m2−5m+613.某海警船在A处看灯塔B在它的北偏东75∘，距离为36nmile，在A处看灯塔C在海警船的北偏西30∘，距离为23nmile，海警船由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60∘，则灯塔C与14.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘，BA=BC=BB1=1，P四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知向量a=(1,1)，b(1)求|a(2)若向量ka+b与a(3)若向量ka+b与a+b的夹角为锐角，求k16.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E为线段PD的中点．(1)求证：PB//平面AEC；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD17.(本小题12分)已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，目asin(1)求cosA(2)若a=210，b=5，求(3)若b=5，c=3，求▵ABC中BC18.(本小题12分)如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，N为线段AD的中点．(1)求证：PN⊥NC；(2)求二面角D−PN−C的正切值；(3)求异面直线PA与NC所成角的余弦值．19.(本小题12分)已知函数f(x)=(1)若α∈−π2,0，且(2)在锐角三角形中，若f(A)=1，求sinB+(3)设函数g(x)=1−a2f(x)+12sin4x−π答案解析1.A

【解析】由a//b可得4m=−4，所以故选：A2.C

【解析】由(1+i)z=1−2i可得z=1−2i故z对应的点为−1故选：C3.B

【解析】将函数f(x)=sin向左平移π6个单位长度得到y=故选：B4.D

【解析】由题意a在b上的投影向量为a⋅bb所以abcosa,b而a,b∈[0,π]故选：D．5.B

【解析】由题意cos2α=co故选：B．6.A

【解析】m//n，n⊂α时，也有可能m⊂α，B错误；若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，C错误；若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n//α，D错误．由线面垂直的性质定理知A正确，故选：A．7.C

【解析】由题意该梯形为直角梯形ABCO，如图，

其中，AO⊥OC，AB//OC，OC=OA=4，AB=1，∴将梯形ABCO绕OA转一周得到的几何体是圆台，且该圆台的上底面圆半径为r=1，下底面圆半径为R=4，高为4，∴该几何体的体积为V=1故选：C8.D

【解析】由图象可得A=2，34T=1312π−所以ω=2πT=则φ=−π6+2kπ,k∈Z，由φ<π对称轴2x−π6=kπ+π2,k∈Z，则x=kπ当2x−π6=kπ,k∈Z，则x=kπ2所以7π12,0为对称中心，故当2kπ−π2≤2x−所以fx的单调递增区间为kπ−当k=1时，所以fx在5π6,4π3单调递增，观察图象可得f故选：D9.ACD

【解析】对于A，sin75∘cos对于B，sinπ8cos对于C，cos2π对于D，sin45∘1+故选：ACD10.BCD

【解析】对于A：AB−AD=又D，E分别是线段BC上的两个三等分点(D,E两点分别靠近B，C两点)，所以BD=DE=EC，所以对于B：AB−AD=DB，则AB=2AD−对于C：因为|OA|=|OB|=|OC|=1，所以又OA+OB+OC=所以▵ABC为等边三角形，且边长为2sin又AD=AE=所以AD=29×对于D：因为(AB即AB+所以AC=又AB+AC=所以AB2所以AB⋅AC=0所以AD=29×2+故选：BCD11.ABD

【解析】若B1N⊥平面ABN，则正方体ABCD−A1B1CBN2+B1N2≠BB12正方体的体对角线即正方体外接球的直径，根据正方体外接球半径R与正方体棱长a的关系式R=3a2=3如图，延长B1A1,BP，使B1连接PE，延长B1C1,KM，使B1C1∩KM=H，连接BH，使BH∩CC如图，取AB中点为G，连接D1∵M,N分别为D1∴MN//D1C，又MN⊄平面D1GC∴MN//平面D1∵M,G分别为D1又在正方体ABCD−A1B1C∴四边形D1∴MB//D1G，又MB⊄平面D1GC∴MB//平面D1GC，又MN∩MB=B，MN,MB⊂平面∴平面D1GC//平面若底面ABCD内的动点Q(包含边界)满足D1Q//平面则点Q为CG上任一点，且CG=22+1故选：BCD．12.6

【解析】由题意m2−3m=0m2−5m+6≠0，解得m=0故答案为：6．13.2【解析】在▵ABD中，∠DAB=75∘,∠ADB=由正弦定理得ADsin∠ABD=得32AD=在▵ACD中，AD=6，AC=2则由余弦定理得CD所以CD=2故答案为：214.16【解析】由直三棱柱ABC−A1B1C所以A1C1=可得B到平面PA1C则由等体积法可得VP−故答案为：1615.解：(1)由a=(1,1)，b得a+b=(2,3)

(2)∵ka+b∴(ka∴2(1+k)+3(2+k)=0，整理得：5k+8=0，解得k=−8

(3)∵ka+b∴(ka+b)⋅(a即5k+8>0，且3(1+k)−2(2+k)≠0，解得k>−85且综上：当ka+b与a

【解析】(1)根据向量运算及模的坐标表示计算；(2)由(ka(3)由向量ka+b与a+b的数量积大于16.解：(1)连接EO，∵底面ABCD是菱形，∴点O为线段BD的中点，∵E为PD中点，∴OE为▵PBD的中位线，∴PB//EO，∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB//平面AEC；

(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA,AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．【解析】(1)只需证明根据三角形中位线性质证明PB//EO即可；(2)只需证明BD⊥平面PAC，进而转化为证明BD⊥PA和BD⊥AC．17.解：(1)在▵ABC中，由正弦定理得：sinA∵sinB>0，sinA>0，∴由sinA=2cosA

(2)在▵ABC中，由余弦定理得a2得c2−25c−15=0，解得c=3由(1)知sinA=255

(3)设D为BC的中点，则2AD∴4|AD解得|AD|=5，即▵ABC中BC边上的中线长为

【解析】(1)根据正弦定理边角互化可得sinA=2(2)根据余弦定理可得c=3(3)根据向量的模长公式即可求解．18.解：(1)证明：∵▵PAD是边长为2的正三角形，N为AD中点，∴PN⊥AD，且PN⊂平面PAD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD∴PN⊥平面ABCD，又NC⊂平面ABCD，∴PN⊥NC；(2)由(1)知PN⊥ND，PN⊥NC，∴∠DNC为二面角D−PN−C的平面角，∵底面ABCD为正方形，∴DC⊥DN，在Rt▵NDC中，DC=2，DN=1，∴tan

(3)取PD中点M，连接MN，MC，∵N为AD中点，∴MN//PA，∴异面直线PA与NC所成的角是∠MNC或∠MNC的补角，由(1)知，PN⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PN⊥DC，∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥AD，∵PN∩AD=N,PN,AD⊂平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∵PN⊂平面PAD，∴DC⊥PD，在Rt▵MDC中，DC=2，MD=1，∴MC=在Rt▵NDC中，DC=2，ND=1，∴NC=在▵MNC中，MC=NC=5，∴cos∴异面直线PA与NC所成的角的余弦值为5【解析】(1)利用线面垂直证明线线垂直；(2)利用定义法计算得到面面角的正切值；(3)利用中位线找到平行关系，再利用定义法异面直线夹角，结合余弦定理求得；19.解：(1)f(x)=由题意知fα2=2又∵α∈−π2,0则cosα+故cosα+

(2)由f(A)=1得2sin∵0<A<π2，∴π6<2A+故sinB+由▵ABC是锐角三角形，得π6则π3<B+π即sinB+sinC

(3)g(x)==(2−a)=sin当x∈