2023-2024学年河南省信阳市高一下学期7月期末数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省信阳市高一下学期7月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=1+2i31−i(i为虚数单位A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，下列命题中不正确的是(

)A.若m//α，α∩β=n，则m//n B.若m//n，m⊥α，则n⊥α

C.若m⊥α，m⊥β，则α//β D.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β3.已知向量m=2,λ，n=2−λ,−4，若m与n共线且反向，则实数λA.4 B.2 C.−2 D.−2或44.甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为Z甲，Z乙，方差分别为s甲2，s乙2A.Z甲=Z乙，s甲2>s乙2 B.Z甲=5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则A.π8 B.π4 C.3π86.已知α，β∈(0,π2)，3cos (α+β)=cosA.23 B.25 C.7.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1A.12 B.1 C.2 D.8.已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=3EC，AE⋅BD=−1A.0 B.23 C.43 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个平面截正方体所得的截面图形可以是(

)A.等边三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五边形10.若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的

是(

)A.ba<ca B.logb11.在锐角△ABC中，设a，b，c分别表示角A，B，C对边，a=1，bcosA−cosB=1A.B=2A

B.b的取值范围是(2,2)

C.当b=32时△ABC的外接圆半径为277

D.若当A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数y=tanωx在−π4,π413.已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R，均有f(x)=f(x+2)，当x∈[0,1]时，f(x)=1−x，则函数g(x)=f(x)−log5(x+1)的零点有

个14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2.以A1四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知a=4,(1)求a与b的夹角；(2)若a在b方向上的投影向量为c，求c⋅a16.(本小题12分)在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,▵ABC的面积为S，已知c=2，且a2(1)求C；(2)求3b−a17.(本小题12分)为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间40,100内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间70,80内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间80,100内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在70,100内的所有学生测试成绩的平均数和方差．18.(本小题12分)已知函数fx(1)fx(2)若α∈π2,π且f(3)若fx−2m+1=0，在x∈0,π19.(本小题12分)在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD=2AB=22，∠ABC=90∘(如图1)，把△ABD沿BD翻折，使得A∉平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC(1)证明：平面BCD⊥平面AMN；(2)记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ(3)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得APPB=NQQD=λλ∈R(如图3)，令PQ与BD和AN所成的角分别为θ答案解析1.D

【解析】解：∵z=1+2i31−i=1−2i1−i=(1−2i)(1+i)(1−i)(1+i)=3−i2.A

【解析】解：对于A，若α∩β=n，可知n⊂α，又m/​/α，则m/​/n或m与n异面，故A不正确；

对于B，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，故若m/​/n，m⊥α，则n⊥α，故B正确；

对于C，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得若m⊥α，m⊥β，则α/​/β，故C正确；

对于D，如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，即若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故D正确．

故选：A．3.A

【解析】由向量m=2,λ，n=2−λ,−4共线，得λ(2−λ)=−8，解得当λ=−2时，m=2,−2，n=4,−4，当λ=4时，m=2,4，n=−2,−4，所以实数λ的值为4．故选：A4.A

【解析】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则Z甲甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则s甲故选：A5.A

【解析】解：由图象可知，38T=5π8−π4，∴T=π，则ω=2，

∴f(x)=2sin(2x+φ)

∴2×58π+φ=π+2kπ,k∈Z，则φ=−π4+2kπ,k∈Z

∵|φ|<π2，∴φ=−π4，∴f(x)=2sin(2x−π4)，6.C

【解析】解：由3cos (α+β)

得2cos因为α，β∈(0,π2)，

所以tantan (α+β)=tan α+tan当且仅当tan α=故选：C．7.B

【解析】解：因为AB=6，A1B1=2，所以S△ABC=34×36=93，S△A1B1C1=34×4=3，

而正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，

8.D

【解析】解：由BE=3EC，可得设∠DAB=θ，

则AE⋅BD=(AB+BE)⋅(AD−AB)

=以AC与BD的交点O为原点，分别以AC,BD所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A−3,0，E设F0,t，且−1≤t≤1，

则AF=(3,t)，BE=33故选：D．9.ABC

【解析】解：对于A，截面是正三角形，如图甲所示，故A正确；对于B，截面可能是正方形，如图乙所示，故B正确；对于C，截面可能为梯形，如图丙所示，故C正确；对于D，截面有可能是五边形，如图丁所示，但截面五边形不可能是正五边形，故D错误，故选：ABC．10.BC

【解析】对于A：∵0<a<1，幂函数y=xa在且b>c>1，∴ba>对于B：∵0<a<1，∴函数y=logax又∵b>c>1，∴log∴0>1logbc对于选项C：∵0<a<1，则a−1<0，∵幂函数y=xa−1在且b>c>1，∴ba−1<ca−1对于选项D：由选项B可知：0>logba>lo∵b>c>1，∴c(−logba)<b(−logc故选：BC．11.ACD

【解析】解：对于A，因为a=1，bcosA−cosB=1，

由正弦定理知：1sinA=bsinB，b=sinBsinA，

所以sinBsinAcosA−cosB=1，

于是sinBcosA−cosBsinA=sinA，

即sin(B−A)=sinA，

所以B−A=A+2kπk∈Z或B−A=2kπ+π−Ak∈Z，

因为A,B为三角形的内角，

所以由B−A=A+2kπk∈Z知，k=0，B=2A，

而B−A=2kπ+π−Ak∈Z，不可能成立，故A正确；

对于B，由上可知，在锐角△ABC中，

B=2A，又C=π−3A，

所以π6<A<π4，

于是由bcosA−cosB=1，

得b=1+cos2AcosA=2cosA∈2,3，故B错误；

对于C，当b=32时，由b=2cosA，

得：cosA=34，sinA=74，

设△ABC的外接圆半径为R，

则由2R=asin12.0<ω<2

【解析】y=tanωx在−π由于x∈−π4,π因此ωπ4<π故答案为：0<ω<213.4

【解析】解：函数g(x)=f(x)−log5(x+1)的零点个数可转化为函数y=f(x)与y=log5(x+1)的交点个数．

如图所示：

函数y=f(x)与y=log5(x+1)共有4个不同的交点，

即14.2【解析】解：

取

BB1

中点

E

，

CC1

中点

F

，

B1C1

中点

G

，

A由题意可得，

AE=D1F=22+1在平面

B1BCC1

内取一点

P

，使得

GP=2

，且

GE=GF=2

，所以以

A1D1

中点为球心，

6

为半径的球面与侧面

B1BCC1

的交线是以

G

为圆心，

2

为半径的圆弧

EPF

，且

∠B1GE=∠C1故答案为：

2215.解：(1)∵2∴4a2−4∴a⋅b∴a(2)∵c∴c

【解析】(1)根据数量积的运算和性质计算可得；(2)先求投影向量c，然后利用数量积有关性质计算即可．16.解：(1)因为S=12ab在▵ABC中，由余弦定理，得a2因为c=2，所以a2所以cosC=3sinC，所以tan(2)在▵ABC中，由正弦定理，得asin所以=4因为A∈0,5π6，所以所以3b−a∈−2,4，即【解析】(1)利用三角形面积公式及余弦定理计算可得cosC=(2)利用正弦定理结合(1)化简得317.解：(1)由图表可知，这100名学生的平均成绩为10×45×0.005+55×0.02+65×0.025+75×0.03+85×0.015+95×0.005(2)在区间70,80内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，区间70,80的学生频率为0.03×10=0.3，在区间80,100内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，区间80,100的学生频率为0.015+0.005×10=0.2所以在70,100内的所有学生测试成绩的平均数为74×0.3方差为3【解析】(1)根据频率分布直方图直接求平均数即可；(2)利用平均数和方差公式直接计算求解即可．18.解：(1)∵f(x)=(2=1∴f(x)的最小正周期为T=2π4=(2)因为f(α)=22因为α∈(π2,π)，所以所以4α+π4=5π2，解得α=9π16．

(3)当x∈[0,π4]时，π4≤4x+π4≤5π4，令u=4x+π4，则π4≤u≤5π4．

由f(x)−2m+1=0可得2m−1=f(x)，即2m−1=22sinu，即2(2m−1)=sin

【解析】(1)利用三角恒等变换思想化简函数f(x)的解析式为f(x)=22sin(4x+π4)，利用正弦型函数的性质求出f(x)的最小正周期，利用正弦函数的有界性可求得函数f(x)的最大值;

(2)求出4α+π4的取值范围，由f(α)=22可得出sin(4α+π4)=1，可得出4α+π4=5π2，进而求出结果；

19.解：(1)因为AB=AD，且点M是BD的中点，所以AM⊥BD，因为▵ABD是等腰直角三角形，所以BD=2，∠CBD=45∘，又则DC=则BD2+D因为点M,N分别是BD,BC的中点，所以MN//DC，即BD⊥MN，AM∩MN=M，且AM,MN⊂平面AMN，所以BD⊥平面AMN，且BD⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面AMN．(2)取BN的中点E，连结ME,AE，

因为平面BCD⊥平面ABD，且平面BCD∩平面ABD=BD，因为AM⊥BD，所以AM⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，ME⊂平面BCD，所以AM⊥BC，AM⊥ME因为DB=DC，则DN⊥BC，ME//DN，所以ME⊥BC，

AM∩ME=M，且AM,ME⊂平面AME，

所以BC⊥面MAE，且AE⊂面MAE，

所以AE⊥BC，所以∠AEM为二面角A−BC−D的平面角θ，tanθ=

(