初中数学勾股定理综合题训练

初中数学勾股定理综合题专题训练

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一、综合题(共10题)

1、如图已知：等边AABC和点P,设点P到AABC三边AB、AC、BC的距离分别为储、h2.

h3,则Z\ABC高为h。若点P在一边BC上如图(1),此时113=0。可得结论h+hz+hkh。(1)

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P在AABC内如图(2)，点P在AABC外如图(3)时，上述结论是否还成立？若成立,

请给予证明，若不成立，'、h2、h3与h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，

不需证明.

(2)若不用上述信息，你能用其他方法证明吗？

P

图(1)图(2)图(3)

2、如图(1),已知aABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,

使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG.

(1)试猜想线段BG和AE的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论:

(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度a后(0°<a(90°),如图(2),通过观察或测

量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由：

(3)若BC=DE=m,正方形DEFG绕点JD逆时针方向旋转角度a(0°<a<360°)过程中，当AE

为最大值时，求AF的值.

图⑵

3、如图，在aABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，ADLBC于点D,动点P从点A出发

以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动。设动点运动时间为t秒。

(1)求AD的长。

(2)当aPDC的面积为15平方厘米时，求t的值。

(3)动点M从点C出

发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动。点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时,

点M也停止运动。是否存在，使得S&MD=^S△祝？若存在，请求出t的值；若不存在，请说

明理由。(、血肉17)

4、如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=^+1,AD=^3.

(1)如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D'处，压平折痕交CD于

点E,则折痕AE的长为；

(2)如图③，再将四边形BCED'沿D'E向左翻折，压平后得四边形B'C'ED',B'C'交

AE于点F,则四边形B'FED'的面积为；

(3)如图④，将图②中的AAED'绕点E顺时针旋转a角，得AA，ED",使得EA'恰好

经过顶点B,求弧D'D"的长.(结果保留JT)

5、如图，矩形口的中，A5=l玩楼BC=Cem,动点P、◎分别以女那/£、2制Hs的

速度从点过、c■同时出发，点◎从点C向点门移动.

⑴若点P从点H移动到点B停止，点尸、0分别从点£、b同时出发，问经过瑞时尸、口两

点之间的距离是多少。朋？

⑵若点F从点A移动到点以停止，点0随之停止移动，点尸、R分别从点d、C同时出发，

问经过多长时间户、。两点之间的距离是1。匕理？

⑶若点P沿着用FfECfC门移动，点P、Q分别从点W、仃同时出发，点Q从点C移动

到点冷停止时，点尸随之也停止移动，试探求经过多长时间△内。的面积为1在那？

6、已知AABC和4ADE是等腰直角三角形，NACB=NADE=90°,点F为BE中点，连结DF、

CF.

B

(1)如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位

置关系(不用证明)；

(2)如图2,在(1)的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的

结论是否仍然成立，并证明你的判断；

(3)如图3,在(1)的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1,AC=2贬,求此

时线段CF的长(直接写出结果).

7、如图，已知aABC和4ECD都是等腰直角三角形，4=固=9炉,

点D为AB边上一点.

(1)求证：△ACE^^BCD；

(2)求证：^ADE是直角三角形；

(3)已知4ADE的面积为3位1加DS=13cm,求乩5的长.

8,已知：如图，△.<!£0r中，ZX5C,=45\月百于万客平分/43C,

且即于E,与S相交于点露.寸是30r边的中点,

连结。发与成相交于点G.

(1)判断AC与图中的那条线段相等，并证明你的结论;

(2)若©£的长为君，求BG的长.

9、山■C与ACQN是共顶点的等边三角形.直线BE与直线AD交于点M,点D、E不在瓦4EC

的边上.

(1)当点E在瓦图C外部时(如图1),写出AD与BE的数量关系.

(2)若CDVBC,将合印总绕着点C逆时针旋转，使得点E由山遁。的外部运动到生第C的内

部(如图2).在这个运动过程中，/闻题的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求

出目的度数，若变化，说明理由.

(3)如图3,当B、C、D三点在同一条直线上，且BC=CD时，写出BM,ME与BC之间的数量

关系.

10、我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.如

图1,四边形48⑦中，若ZJ=60°,则四边形加力是“准筝形”.

(1)如图2,“是△48C的高线，N4=45°，N4吐120°,48-2.求幽

(2)在(1)条件下，设〃是△/a'所在平面内一点，当四边形/颇是“准筝形”时，请直

接写出四边形力腼的面积；

(3)如图3,四边形力腼中，B(=2,C店4,4>6,/BCD=120°,且皿=加)，试判断

四边形/以力是不是“准筝形”，并说明理由.

延长EP,过B作BG垂直EP于G

vFSLAC,BP±AC,BG±GS

：,GE=BF

-ZABC=ZOSC

N卫0尸=NG胪=9即

&3DP-£,BGP

-PD=me

"GP^PE=PD+PE=SF

：,耳+%=电

F

(2)当P在三角形内时，此结论仍成立

当P在三角形内时，如图，此结论为：

hx+hi-h1=h

(3)如图，作辅助线有

BE=GH

PG=PD+PE

:.GH=PG-PH=PD+PF-PH

:一%+%—%=h

27.解：(I)相等且垂直------2'

(2)成立.如图②.连接，。并延长以分别交DG、BG于N、M两点

•••△/<配'是等腰直角三角形，XBAC=90°,点。是BC的中点.二/血=90°,

且BD=/<D.VZBDG=ZADB^ZADG=90e+ZADG=ZADE.DG=DE.

:小BDG22DE,：.BG=AE,ZDEA^^DGB,...................4r

,:NDEA+NDNE~9Q度,，DNE=ZMNG,二NMVG+NDGM90度.

即BGA.AE且BG-AE-.............S'

(3)由(2)知.要使4E最大,只要将正方形绕点。逆时针旋转270度,即，DE在一直

_p

一卤为正方形%EFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圈心•DE为半径的

故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形DEFG绕点D逆时针方

向旋转270°)时,3G最大，如图③.

若3C*=QE=/w.则40=巴，E^=m.

12

在RtAylEF中.AFJ-AE2+EF2-(XD+DE)^EF^—m2..................T

4

2、

3、解：（1）YAB=AC,AD±BC

j.

，BD=2BC=5cm,且NADB=90

AD=J/炉一即2=1幽)

即AD的长为12cmo--3分

(2)AP=t,PD=12-t,

=［尸。-qC=：•义5(12

22

解得，”5—4

1

（3）假设存在3使得S&M产石S△畋。

5

0名£二一

①若点M在线段CD上，即2时，PD=12-t,DM=5-2t

11

—9XQNT父5-次)=5

由SAPMD—12s△ABC，即2

-29i-+50=0

，尸1£口（舍去）；“二上（2分）

5

邑t<[2

②若点M在射线DB上，即A""i

21

得严-岫/空

由SAPMD=12SAABC

2f5-29^+70=0

生避L心

(2分)

1

综上，存在t的值为2或11.5或3,使得S.D=IiSAABC（1分）

4、（1）ao

(-tanZBEC=—=^

(3)VZC=90°,BC=V3,EC=1,ACEo.,.ZBEC=60°o

由翻折可知:ZDEA=45°,.*.ZAEA,=75°=ZD,ED"。

目，p，_75k庄_5召*

180\2~

【解析】

试题分析：(D先根据图形反折变换的性质得出AD，，DE的长，再根据勾股定理求出AE的长冲可:

•「△AD三反折后与AAD三重合，「.AD=AD=DE=DE=G。

：.AE=.AD-DE：=J、5T-(后\=示。

(2)由(1)知，&>=#，故可得出BD的长，根据图形反折变换的性质可得出5D的长，再由等

腰直角三角形的性质得出BT的长，根据梯形的面积公式即可得出结论：

/

•.•由(1)知AD'=百，.\BD=10

..•将四边形BCED'沿D'E向左翻折，压平后得四边形B'CEDf,.,.BzDz=BD'=1。

•.,由(1)知AD'=AD=DZE=DE=^3,四边形ADED，是正方形。

.,.B'F=ABZ=也-lo

££F_1

，S梯彩B,M—，(B'F+D'E)•B,DZ=2(石-1+石)X1=2。

(3)根据直角三角形的性质求出/BEC的度数，由翻折变换的性质可得出NDEA的度数，故

可得出NAEA'=75°=ND'ED",由弧长公式即可得出结论。

.(1W=6&....(2‘)

(2)设xs后，P、Q相£巨10cm

222

(16-5x)+6=10....(1')X1=g,x2.(1,)

或(5x-16)、6、10,(只写一种即得全分)

⑶设xs后面积为12c/(3种情况共5分，缺一种扣2分)

①0<*4"时,x=4……(1,)

3

②"vx4二时,x(=6»x2=--(舍去)...(1‘)

333

鳄<小时，18(舍去)……(1，)

5、

而

6、(1)相等和垂直；(2)成立，理由见试题解析；(3)三.

11

【解析】(1)VZACB=ZADE=90°,点F为BE中点，.*.DF=2BE,CF=2BE,.*.DF=CF.

•.'△ABC和4ADE是等腰直角三角形，/.ZABC=45°,VBF=DF,AZDBF=ZBDF,

VZDFE=ZABE+ZBDF,AZDFE=2ZDBF,同理得：NCFE=2NCBF,

/.ZEFD+ZEFC=2ZDBF+2ZCBF=2ZABC=90°,；.DF=CF,且DF_LCF.

(2)(1)中的结论仍然成立.

证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G.

图2

VZADE=ZACB=90°,...DE〃BC./.ZDEF=ZGBF,ZEDF=ZBGF.

•.•F为BE中点，，EF=BF.AADEF^AGBF..\DE=GB,DF=GF.

VAD=DE,/.AD=GB,VAC=BC,AAC-AD=BC-GB,/.DC=GC.VZACB=90°,.'.△DCG是等腰

直角三角形，VDF=GF,，DF=CF,DF±CF.

(3)延长DF交BA于点H,

B

图3

•.,△ABC和ZkADE是等腰直角三角形，，AC=BC,AD=DE.AZAED=ZABC=45°,

,由旋转可以得出，ZCAE=ZBAD=90°,：AE〃BC,ZAEB=ZCBE,AZDEF=ZHBF.

•；F是BE的中点，，EF=BF,/.ADEF^AHBF,/.ED=HB,

,.,AC=?0,在Rtz^ABC中，由勾股定理，得：AB=4,

VAD=1,.\ED=BH=1,.*.AH=3,在RtZXHAD中由勾股定理,得:DH=师，

辰叵叵

/.DF=—,.*.CF=~,I.线段CF的长为W".

7、1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）17cm

【解析】（1）:△ABC和aECD都是等腰直角三角形，，砥=C2工

•；ZAC8=ZDCE=90°,Z.4O5-Z.4CZ）=乙DCS-,即ZZCT=,

/.AACE丝LBCD

（2）'：LACE,：.^B=^EAC,：和都是等腰直角三角形，

.•.NO接=与=乙期C=450,：.Z£AD=^50+45*>=90°,AAZ庭是直角三角形

-AD-AE-=30,BP^W-AB=60

（3）由题意得：2,在血W喧中，由勾股定理得：

(4)血+加=*=13=159,

/.(AD+AS)2=AD3+AEi+2AD-AE=169+2x60=289,:.Q+Ag=17

由⑴得：,.•.BD=AS,：.^=AD+BD=AD+AE=17©唠.

8、(1)证明：CD1AB,.•.N3aC=9T,

•.•/■CW,

c"".△BCa是等腰直角三角形.

：.BD^CD...........2分

•.•6豆1.40于区，3c=go",

：£BFD=/国8,/■SB更=ZDCA.

/■RtAD更5gRtAMC.

工EF=AC...........3分

(2)解：*."WE平分/A3C,/•ZABS22.5°.

•.•6314白于£,.,.Z^Z=Z^(7-90a,

又•.•BE=BE,/•^ABEAgRt&B£C.

......4分

连结CG.「△BCQ是等腰直角三角形，

又及是3c边的中点，"”.阳_13仃

垂直平分，一BG=CV.

vZ^C=22.5°,/,ZGG«=22.5°

/.Z^G£C=45°,Rt&CNb是等腰直角三角形，

•.♦理的长为七，，EG=布，

利用勾股定理得：理*+GE2=G72,：.(厨+W3)2=OC2,

.*.GC=痴，BG的长为忑.....................6分

9、(1)AD=BE

(2)不变，/血43=6口。

可证：KBEC修监口0/MC=Z£UC

-ZSBC+ZABM=600ZM^C+ZZW=600

：,ZAMB=180o-(Z^^+/氏Uf)=60c.

(3)BM+ME=43BC(或=30^+皿工)

10、(1)设班T=x,

VZ/1^6=120°，阳是△/6C的高线，

：.Z£CH-3Qa,

又•.,N4=45°,/.HA^HC,VAB^2,=

解得：或二忑+1,

，的=m=3+避；

(2)在(1)条件下，四边形4?缪的面积是3+2g+1行或12+7#.----10分

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下