考点21锐角三角函数和解直角三角形-2022四川中考数学试题分类汇编(原卷版+解析)

考点21：锐角三角形和解直角三角形1.(2023广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A. B. C. D.2.(2023泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（）

A. B.C. D.3.(2023德阳）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么______．4.(2023凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．5.(2023绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝_________海里（计算结果不取近似值）．6．(2023内江）（9分）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）7．(2023内江）（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．8.(2023成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，）9.(2023达州）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，；，，）10.(2023广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75

11.(2023广元）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．

12.(2023凉山州）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．13.(2023泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．14.(2023眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）

15.(2023遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：，，，）16.(2023宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，）

17.(2023自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由．（2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米；求树高．（，结果精确到0.1米）（3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点（在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点到地面的距离均为1.5米；求（用表示）．考点21：锐角三角形和解直角三角形1.(2023广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A. B. C. D.答案:B解析：分析：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．

则DE∥AB，

∴∠APC＝∠EDC．

在△DCE中，有，，，∴，∴是直角三角形，且，∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．

故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．2.(2023泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（）

A. B.C. D.答案:D解析：分析：过点E作EG⊥AB于点G，利用三角函数求得EG=8，BG6，AG=4，再求得点E的坐标为(4，12)，根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，根据中点坐标公式以及待定系数法即可求解．【详解】解：过点E作EG⊥AB于点G，

∵矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，∴AB=BE=10，点D的坐标为(0，4)，点C的坐标为(10，0)，在Rt△BEG中，tan∠ABE=，BE=10，∴sin∠ABE=，即，∴EG=8，BG=6，∴AG=4，∴点E的坐标为(4，12)，根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，点H的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，∴点H的坐标为(5，2)，点D的坐标为(2，8)，设直线l的解析式为y=kx+b，把(5，2)，(2，8)代入得，解得：，∴直线l的解析式为y=-2x+12，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，矩形和菱形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3.(2023德阳）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么______．答案:解析：分析：根据D为AB中点，得到AD=CD=BD，即有∠A=∠DCA，根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，再根据CE⊥AB，求得∠A=∠BCE，即有∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，则有∠A=30°，在Rt△ACB中，即可求出AC，则问题得解．【详解】∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵D为AB中点，∴在直角三角形中有AD=CD=BD，∴∠A=∠DCA，根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCE，∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°∴∠A=30°，∴在Rt△ACB中，BC=1，则有，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°是解答本题的关键．4.(2023凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．

答案:解析：分析：取AB中点D，由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，由垂径定理得OD⊥AB，则OB=，cos∠DOB=，再证∠ACB=∠DOB，即可解．【详解】解：取AB中点D，如图，

由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∴OB=，cos∠DOB=，∵OA=OB，∴∠BOD=∠AOB，∵∠ACB=∠AOB，∴∠ACB=∠DOB，∴cos∠ACB=cos∠DOB=，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取AB中点D，得Rt△ODB是解题的关键．5.(2023绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝_________海里（计算结果不取近似值）．答案:##解析：分析：过点D作DE上AB，垂足为E，根据题意求得，进而求得90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC=52海里，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】如图：过点D作DE上AB，垂足为E，依题意得，，，=90°，在中，，设海里，在中，海里，，，在中，海里，海里，海里，海里，海里，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．(2023内江）（9分）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）分析：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝（x+60）米，先利用平角定义求出∠ACE＝45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定义求出∠BCF＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．(2023内江）（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．分析：（1）根据矩形的性质，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的中点，即可证明结论；（2）利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的长，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的长，由（2）同理可得答案．【解答】（1）证明：∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵点E为CD的中点，∴CE＝DE，∴BM＝CE＝DE，∵AB＝CD，∴AM＝CE；（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；（3）解：∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴，∴，∴，∴＝，由（2）同理得，，∴，解得AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．8.(2023成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，）答案:约为解析：分析：在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△中，根据正弦函数求得的值．【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，∴OA=，在Rt△中，，cm，∴cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．9.(2023达州）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，；，，）答案:遮阳篷的长度约为3.4米解析：分析：过点作于点，则四边形是矩形，则，设，则，，解直角三角形求得，进而求得，解，求得，进而求得的长，根据即可求解．【详解】如图，过点作于点，则四边形是矩形，设，则，，在中，，，在中，，，解得：，经检验，x是方程的解，且符合题意，，，．答：遮阳篷的长度约为3.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键．10.(2023广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75

答案:菜园与果园之间的距离为630米解析：分析：过点作，交于点，则，四边形是矩形，在中，求得，CF=240，进而求得AE=210，在中，利用正切进行求解即可．【详解】解：如图，过点作，交于点，则，∵∠B=90°，四边形是矩形，，BC=EF，在中，，∴BE=240，∴AE=AB-BE=210，在中，，，米．∴BC=EF=DF+DE=180+450=630答：菜园与果园之间的距离630米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．11.(2023广元）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．

答案:隧道EF的长度米．解析：分析：过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有，最后问题可求解．【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示：

由题意得：，∴△EAD是等腰直角三角形，∴AG=EG=DG，设AG=EG=DG=x，∴，∴，解得：，∴，∴；答：隧道EF的长度米．【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．12.(2023凉山州）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．答案:米解析：分析：过点作于点，在和中，分别解直角三角形求出的长，由此即可得．【详解】解：如图，过点作于点，由题意得：米，，，，在中，米，米，在中，米，米，则（米），答：压折前该输电铁塔的高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．13.(2023泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．答案:B，D间的距离为14nmile．解析：分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．再根据锐角三角函数即可求出B，D间的距离．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．在Rt△ABC中，AC=BC=8，∴AB=BC=16(nmile)，在Rt△ADE中，AD=10nmile，∠EAD=60°，∴DE=AD•sin60°=10×=(nmile)，AE=AD=5(nmile)，∴BE=AB-AE=11(nmile)，∴BD=14(nmile)，答：B，D间的距离为14nmile．【点睛】本题考查了解直角三角形应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．14.(2023眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）

答案:82米解析：分析：设的长为，可以得出BD的长也为，从而表示出AD的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．【详解】解：设为，∵，∠CDB=90°，∴，∴，在中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，，即，∴∴．答：此建筑物的高度约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确的找准每一个直角三角形中边的关系，利用正弦，余弦，正切列出方程求解是解题的关键．15.(2023遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：，，，）答案:塔顶到地面的高度EF约为47米解析：分析：延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，设，则，根据解直角三角形建立方程求解即可．【详解】如图，延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，∴，．由，可设，则，由可得，解得或（舍去），∴，，设，，在中，即，则①在中，