专题03分式和分式方程十种题型归类(原卷版+解析)

专题3分式和分式方程十种题型归类目录一、热点题型归纳【题型一】分式有意义的条件【题型二】分式值为0【题型三】分式的值与基本性质【题型四】分式的约分与通分【题型五】分式的混合运算【题型六】分式的化简求值【题型七】解分式方程【题型八】分式方程的含参问题【题型九】分式方程的增根问题【题型十】分式方程的实际应用二、最新模考题组练【题型一】分式有意义的条件【典例分析】1．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣52.若代数式+在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【提分秘籍】设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.【变式演练】1.同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）2.若对于任何实数x，分式总有意义，则c的值应满足（）A．c＞4 B．c＜4 C．c＝4 D．c≥43.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠04.式子有意义，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2【题型二】分式值为0【典例分析】1.若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±12.若分式的值为零，则x的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【提分秘籍】分式有无意义的条件：在分式中，

①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．

②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．

③当B≠0且A=0时，分式的值为零．无理数：无限不循环小数叫无理数．【变式演练】1.已知若分式的值为0，则x的值为．2.已知分式的值为0，那么x的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣23.函数y＝中自变量x的取值范围是；若分式的值为0，则x＝．【题型三】分式的值与基本性质【典例分析】1.若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A． B． C． D．2.已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于．【提分秘籍】1.直接代入法：将对应数值相应扩大n倍的题，分子分母各字母直接扩大n倍，对比原看扩大了多少倍，即为所求。2.整体代入法：将等于特殊值的整式或分式当成一个整体，并将原式化成含一个或多个该整体的整式，代入特殊值求解即可。【变式演练】1.如果，则＝（）A． B．1 C． D．22.若分式（a，b＞0）中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（）A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变3.若+＝2，则分式的值为．4.已知＝，则分式的值为．【题型四】分式的约分与通分【典例分析】1.计算的结果为（）A．1 B． C． D．02.下列三个分式、、的最简公分母是（）A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2 C． D．4（m﹣n）x2【提分秘籍】一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．约分和通分都一样，分母能先因式分解的，需要先进行因式分解。【变式演练】1.下列分式中，最简分式是（）A．B．C． D．2.化简：＝．3.（呼和浩特）分式与的最简公分母是，方程﹣＝1的解是．【题型五】分式的混合运算【典例分析】1.试卷上一个正确的式子（+）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（）A． B． C． D．2.化简：•+＝．【提分秘籍】分式的化简，先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，一般需要先进行因式分解，再合并，最后能约分的要约到最简分式为止。【变式演练】1.计算：•﹣．2.计算：÷﹣．3.计算：（1+）÷．4.以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：上面的运算过程中第步出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．【题型六】分式的化简求值【典例分析】1.先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．2.先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．【提分秘籍】先进行因式分解，再根据混合运算法则进行运算化简，最后根据题意，（选择使分母不为0的数）代入数值求原式的值即可。【变式演练】1.先化简，再求值：÷+，其中x＝（）﹣2．2.先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．3.先化简，再求值：，其中．4.先化简，再求值：÷（+），其中a＝+1，b＝﹣1．【题型七】解分式方程【典例分析】1.小明解分式方程＝﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①去括号，得3＝2x﹣3x+3．②移项、合并同类项，得﹣x＝6．③化系数为1，得x＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A．① B．② C．③ D．④2.解分式方程：＝．【提分秘籍】解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注意：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．【变式演练】1.定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝2.解方程：＝+1．3.解方程x2﹣2x+＝8．【题型八】分式方程的含参问题【典例分析】1.若关于x的分式方程：2﹣＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠02.已知关于x的分式方程﹣＝1的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1【提分秘籍】根据题意，列出方程或不等式，解出不等式（方程）后，看是否满足令分母不为0，再根据题意写出或选择答案。【变式演练】1.若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程＝﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣132.关于x的分式方程+＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．13 B．15 C．18 D．20【题型九】分式方程的增根问题【典例分析】1.分式方程有增根，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6【提分秘籍】增根就是令分母为0的未知数的值，当含有参数时，要注意两层：①令原式中所有的分母为0的x的值；②令解出来x的值中分母为0；一定要考虑充分，避免错误。【变式演练】1.若关于x的方程＝3无解，则m的值为（）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或32.若关于x的方程＝无解，则m的值为（）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【题型十】分式方程的实际应用【典例分析】1.某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．（1）篮球和排球的单价各是多少元？（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？2.在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【提分秘籍】列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审——仔细审题，找出等量关系；

(2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)验——检验增根；

(6)答——答题．分式方程中常见的数量关系：速度差=V甲-V乙=甲路程甲时间-时间差=T甲-T乙=甲路程甲速度-数量差=甲数量-乙数量=甲总价甲单价-单价差=甲单价-乙单价=甲总价甲单价-总工程量（1）=甲工效×甲时间+乙工效×乙时间【变式演练】1.为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？2.为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．（1）绳子和实心球的单价各是多少元？（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？3.为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？4.某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？

一．选择题（共10小题）1．（2023•余姚市校级模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣12．（2023•济阳区一模）化简：÷＝（）A．1 B．x C． D．3．（2023•长安区模拟）如图，若a＝2b，则表示的值的点落在（）A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段4．（2023•南岗区校级一模）分式方程的解为（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝15 D．x＝﹣155．（2023•西乡塘区校级一模）下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3 B．a2÷a×＝a2 C．（﹣3a3）3＝﹣9a9 D．2a2⋅（﹣2ab2）2＝8a4b46．（2023•镇海区校级模拟）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（）A．4 B．6 C．7 D．87．（2023•耿马县一模）某班为筹备迎新晚会，班长用420元到甲商店购买A材料，学习委员用300元到乙商店购买B材料，两人买回的A、B两种材料的数量一样多．已知A材料的单价比B材料贵2元，求B材料的单价是多少元？若设B材料的单价为x元，则可列方程为（）A．＝ B．＝ C．＝ D．8．（2023•广西模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝7 B．x＝6 C．x＝5 D．x＝49．（2023•双桥区模拟）若的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（）A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b210．（2023•江油市模拟）已知方程，且关于x的不等式a＜x≤b只有2个整数解，那么b的取值范围是（）A．1＜b≤2 B．2＜b≤3 C．1≤b＜2 D．2≤b＜3二．填空题（共6小题）11．（2023•鹿城区校级一模）计算：＝．12．（2023•东胜区模拟）计算：＝．13．（2023•铁东区一模）甲、乙两人都要走路3km，甲的速度是乙的速度的1.2倍，甲比乙少用6min，设乙的速度是xkm/h，则可列方程为．14．（2023•九龙坡区模拟）若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程+＝﹣1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是．15．（2023•富裕县模拟）若关于x的分式方程无解，则m＝．16．（2023•东港区校级一模）观察下列各式：a1＝1，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足则，则a2023＝．三．解答题（共5小题）17．（2023•焦作一模）（1）计算：（﹣）0﹣+3﹣1；（2）化简：÷（1﹣）．18．（2023•姑苏区校级模拟）先化简再求值：，其中a＝﹣3．19．（2023•阿城区一模）先化简，再求代数式（1﹣）÷+的值，其中x＝tan60°+1．20．（2023•九龙坡区校级模拟）在全民健身运动中，骑自行车越来越受到市民青睐，从A地到B地有一条自行车骑行车道．小明从A地出发骑行去B地，小军从B地出发骑行去A地．（1）小明和小军相约在上午8时同时从各自出发地出发，匀速前行，到上午10时，他们还相距30km，到中午12时，两人又相距30km．求A、B两地间的自行车道的距离．（2）因骑自行车的市民越来越多，政府决定重新改建一条自行车道，改建的自行车道比A、B两地的距离多30km，某工程队由于采用了更加先进的修路技术和修路机器，每天可以比原计划的改建里程多20%，结果完成此项修路工程比原计划少用了5天．若每天付给工程队的施工费用为4万元，则完成工程后，一共付给工程队的费用是多少？21．（2023•温江区校级模拟）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动，学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步，若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达B地．根据以上信息，解答下列问题：（1）小明每分钟跑多少米？（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．专题3分式和分式方程十种题型归类目录一、热点题型归纳【题型一】分式有意义的条件【题型二】分式值为0【题型三】分式的值与基本性质【题型四】分式的约分与通分【题型五】分式的混合运算【题型六】分式的化简求值【题型七】解分式方程【题型八】分式方程的含参问题【题型九】分式方程的增根问题【题型十】分式方程的实际应用二、最新模考题组练【题型一】分式有意义的条件【典例分析】1．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5分析：根据分式成立的条件列不等式求解．【解答】解：根据分式成立的条件，可得：x+5≠0，∴x≠﹣5，故选：A．【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式成立的条件是分母不能为零是解题关键．2.若代数式+在实数范围内有意义，则x的取值范围是．分析：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得，解得x≥﹣1且x≠0，故答案为：x≥﹣1且x≠0．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键．【提分秘籍】设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.【变式演练】1.同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x＝﹣4，或x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝2分析：让第一个分式的分母不为0，第二个分式的分母为0即可．【解答】解：由题意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9＝0，（x+2）（x+4）≠0，x+1＝3或﹣3，x≠﹣2且x≠﹣4，x＝2或x＝﹣4，∴x＝2，故选D．【点评】分式有意义，分式的分母都应不为0；分式无意义，分母为0．2.若对于任何实数x，分式总有意义，则c的值应满足（）A．c＞4 B．c＜4 C．c＝4 D．c≥4分析：分式总有意义，那么分母恒不为0，观察可得应把分母整理为含有一个完全平方式子的形式，进而分析即可．【解答】解：x2+4x+c＝x2+4x+4+（c﹣4）＝（x+2）2+（c﹣4），当c＞4时，分母恒为正值，原分式总有意义，符合题意；当c＜4，分母有可能为0，此时原分式无意义，不符合题意；当c＝4时，分母为非负数，有可能为0，此时原分式无意义，不符合题，由上可知c＞4，故选：A．【点评】分式总有意义，那么分母恒不为0，本题注意运用分类讨论的思想．3.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0分析：利用分式分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案．【解答】解：根据题意得：x+1＞0且x≠0，解得：x＞﹣1且x≠0，故选：C．【点评】此题考查的是分式分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．4.式子有意义，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2分析：直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：式子有意义，则a+1≥0，且a﹣2≠0，解得：a≥﹣1且a≠2．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．【题型二】分式值为0【典例分析】1.若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±1分析：直接利用分式的值为零则分子为零，分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0，x﹣1≠0，解得：x＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．2.若分式的值为零，则x的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2分析：直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为零，∴|x|﹣1＝0，x+1≠0，解得：x＝1．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．【提分秘籍】分式有无意义的条件：在分式中，

①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．

②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．

③当B≠0且A=0时，分式的值为零．无理数：无限不循环小数叫无理数．【变式演练】1.已知若分式的值为0，则x的值为．分析：首先根据分式值为零的条件，可得；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出x的值为多少即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴解得x＝3，即x的值为3．故答案为：3．【点评】（1）此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．（2）此题还考查了因式分解法解一元二次方程问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．2.已知分式的值为0，那么x的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2分析：直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴（x﹣1）（x+2）＝0且x2﹣1≠0，解得：x＝﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分母不为零是解题关键．3.函数y＝中自变量x的取值范围是；若分式的值为0，则x＝．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3；2x﹣3＝0且x+1≠0，解得x＝且x≠﹣1，所以，x＝．故答案为：x≥3；．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．【题型三】分式的值与基本性质【典例分析】1.若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A． B． C． D．分析：根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、，正确；故选：D．【点评】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．2.已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于．分析：由y＝得：x﹣y＝xy，整体代入到代数式中求值即可．【解答】解：由y＝得：xy+y＝x，∴x﹣y＝xy，∴原式＝＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了求分式的值，对条件进行化简，得到x﹣y＝xy，把x﹣y看作整体，代入到代数式求值是解题的关键．【提分秘籍】1.直接代入法：将对应数值相应扩大n倍的题，分子分母各字母直接扩大n倍，对比原看扩大了多少倍，即为所求。2.整体代入法：将等于特殊值的整式或分式当成一个整体，并将原式化成含一个或多个该整体的整式，代入特殊值求解即可。【变式演练】1.如果，则＝（）A． B．1 C． D．2分析：已知，就可以变形为a＝2b，把它代入所要求的式子就可以求出式子的值．【解答】解：∵，∴a＝2b，∴＝．故选：C．【点评】把已知中的，变形成a＝2b，是解决本题的关键．2.若分式（a，b＞0）中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（）A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变分析：依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，得＝＝，可见新分式与原分式相等．故选：D．【点评】本题主要考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．3.若+＝2，则分式的值为．分析：由+＝2，可得m+n＝2mn；化简＝，即可求解；’【解答】解：+＝2，可得m+n＝2mn，＝＝＝﹣4；故答案为﹣4；【点评】本题考查分式的值；能够通过已知条件得到m+n＝2mn，整体代入的思想是解题的关键；4.已知＝，则分式的值为．分析：由已知＝，可得x＝y，把x＝y代入即可化简求值．【解答】解：由已知＝，得x＝y把x＝y代入得：＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查了分式的基本性质，求出x、y之间的关系很重要．【题型四】分式的约分与通分【典例分析】1.计算的结果为（）A．1 B． C． D．0分析：分子利用平方差公式进行因式分解，然后通过约分进行化简．【解答】解：＝＝＝1．故选：A．【点评】本题考查了约分．约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．2.下列三个分式、、的最简公分母是（）A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2 C． D．4（m﹣n）x2分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：分式、、的分母分别是2x2、4（m﹣n）、x，故最简公分母是4（m﹣n）x2．故选：D．【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．【提分秘籍】一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．约分和通分都一样，分母能先因式分解的，需要先进行因式分解。【变式演练】1.下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．分析：利用最简分式的定义判断即可．【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式＝＝，不合题意；C、原式＝＝，不合题意；D、原式＝＝，不合题意，故选：A．【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式．2.化简：＝．分析：直接将分母分解因式，进而化简得出答案．【解答】解：＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．3.分式与的最简公分母是，方程﹣＝1的解是．分析：根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解答】解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），∴分式与的最简公分母是x（x﹣2），方程，去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x，移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或﹣4，∵当x＝2时，x（x﹣2）＝0，当x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0，∴x＝2是增根，∴方程的解为：x＝﹣4．故答案为：x（x﹣2），x＝﹣4．【点评】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．【题型五】分式的混合运算【典例分析】1.试卷上一个正确的式子（+）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（）A． B． C． D．分析：根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可；【解答】解：（+）÷★＝，∴被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷＝•＝•＝；故选：A．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．2.化简：•+＝．分析：先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：•+＝+＝+＝，故答案为：．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．【提分秘籍】分式的化简，先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，一般需要先进行因式分解，再合并，最后能约分的要约到最简分式为止。【变式演练】1.计算：•﹣．分析：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝1．【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算和计算顺序是解题的关键．2.计算：÷﹣．分析：先算除法，后算减法，即可解答．【解答】解：÷﹣＝•﹣＝﹣＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．3.计算：（1+）÷．分析：根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的加减运算以及乘除运算法则是解题的关键．4.以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：（1）上面的运算过程中第步出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．分析：根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：③；（2）原式＝[﹣]×，＝[﹣]×，＝×，＝×，＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．【题型六】分式的化简求值【典例分析】1.先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．分析：先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝3代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．2.先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．分析：根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝•＝，由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，故a＝2，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【提分秘籍】先进行因式分解，再根据混合运算法则进行运算化简，最后根据题意，（选择使分母不为0的数）代入数值求原式的值即可。【变式演练】1.先化简，再求值：÷+，其中x＝（）﹣2．分析：把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x的值，代入即可．【解答】解：原式＝•+＝+＝＝＝x，∵x＝（）﹣2＝4，∴原式＝4．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．2.先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．分析：先化简，再把x的值化简代入求解．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝，当x＝sin45°＝时，原式＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．3.先化简，再求值：，其中．分析：先对分式进行化简，然后再代入求解即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，当时，原式＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．4.先化简，再求值：÷（+），其中a＝+1，b＝﹣1．分析：先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：÷（+）＝÷＝•＝ab，当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝（+1）（﹣1）＝5﹣1＝4．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．【题型七】解分式方程【典例分析】1.小明解分式方程＝﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①去括号，得3＝2x﹣3x+3．②移项、合并同类项，得﹣x＝6．③化系数为1，得x＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A．① B．② C．③ D．④分析：按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x﹣（3x+3）①，去括号得：3＝2x﹣3x﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．2.解分式方程：＝．分析：把分式方程化为整式方程，解整式方程即可．【解答】解：左右两边同时乘以（x+3）x得x+3＝4x，3＝3x，x＝1．检验：当x＝1时，分母x（x+3）≠0，∴x＝1是原分式方程的解．【点评】考查解分式方程，关键是去分母把分式方程变整式方程．【提分秘籍】解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注意：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．【变式演练】1.定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝分析：利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义得：3⊗x＝2×3+，4⊗2＝2×4+，∵3⊗x＝4⊗2，∴2×3+＝2×4+，解得：x＝，经检验，x＝是分式方程的根．故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解题的关键．2.解方程：＝+1．分析：去分母，把分式方程化为整式方程，解得整数方程并检验即可．【解答】解：两边同时乘以x（x﹣3）得：（x﹣3）（x+3）＝6x+x（x﹣3），∴3x＝﹣9，解得x＝﹣3，把x＝﹣3代入最简公分母得：x（x﹣3）＝﹣3×（﹣3﹣3）＝18≠0，∴x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣3．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是能把分式方程化为整式方程，并要检验．3.解方程x2﹣2x+＝8．【解答】解：设y＝x2﹣2x，则原方程可化为y+＝8，方程的两边都乘以y，约去分母，并整理，得y2﹣8y+7＝0．解这个方程，得y1＝1，y2＝7．当y＝1时，由x2﹣2x＝1，得x＝1±；当y＝7时，由x2﹣2x＝7，得x＝1±2．经检验，x＝1±和x＝1±2都是原方程的根．所以原方程的解为x1＝1+，x2＝1﹣，x3＝1+2，x4＝1﹣2．【点评】用换元法解分式方程，解题的关键是要有整体思想，掌握换元的方法，注意结果需检验．【题型八】分式方程的含参问题【典例分析】1.若关于x的分式方程：2﹣＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0分析：先解分式方程可得x＝2﹣k，再由题意可得2﹣k＞0且2﹣k≠2，从而求出k的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x﹣2）﹣（1﹣2k）＝﹣1，2x﹣4﹣1+2k＝﹣1，2x＝4﹣2k，x＝2﹣k，∵方程的解为正数，∴2﹣k＞0，∴k＜2，∵x≠2，∴2﹣k≠2，∴k≠0，∴k＜2且k≠0，故选：B．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程得到解法，注意对方程增根的讨论是解题的关键．2.已知关于x的分式方程﹣＝1的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1分析：先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，解得x＝m﹣4．∵x为正数，∴m﹣4＞0，解得m＞4，∵x≠1，∴m﹣4≠1，即m≠5，∴m的取值范围是m＞4且m≠5．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．【提分秘籍】根据题意，列出方程或不等式，解出不等式（方程）后，看是否满足令分母不为0，再根据题意写出或选择答案。【变式演练】1.若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程＝﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣13分析：解不等式组得出，结合题意得出a＞﹣11，解分式方程得出y＝，结合题意得出a＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x≤﹣2，∴＞﹣2，∴a＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y是负整数且y≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．2.关于x的分式方程+＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．13 B．15 C．18 D．20分析：解分式方程得得出x＝a﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a＞2且a≠5，解不等式组得出，结合题意得出a＜7，进而得出2＜a＜7且a≠5，继而得出所有满足条件的整数a的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2，∵x＞0且x≠3，∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，∴a＞2且a≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y≥5，∴＜5，∴a＜7，∴2＜a＜7且a≠5，∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．【题型九】分式方程的增根问题【典例分析】1.分式方程有增根，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6分析：根据题意可得x＝2，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．【解答】解：，+1＝﹣，6+2（x﹣2）＝﹣m，解得：x＝﹣，∵分式方程有增根，∴x＝2，把x＝2代入x＝﹣中，2＝﹣，解得：m＝﹣6，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．【提分秘籍】增根就是令分母为0的未知数的值，当含有参数时，要注意两层：①令原式中所有的分母为0的x的值；②令解出来x的值中分母为0；一定要考虑充分，避免错误。【变式演练】1.若关于x的方程＝3无解，则m的值为（）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3分析：先去分母，再根据条件求m．【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，∴（m﹣3）x＝﹣2．当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．当m﹣3≠0时，x＝，∵方程无解，∴x﹣1＝0，∴x＝1，∴m﹣3＝﹣2，∴m＝1，综上：当m＝1或3时，原方程无解．故选：B．【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．2.若关于x的方程＝无解，则m的值为（）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4分析：解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根据题意可知，4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，求出m的值即可．【解答】解：＝，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，即4﹣m＝0或x＝﹣＝﹣，∴m＝4或m＝0，故选：D．【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．【题型十】分式方程的实际应用【典例分析】1.某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．（1）篮球和排球的单价各是多少元？（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？分析：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买排球y个，则购买篮球（20﹣y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据题意得：＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，∴x+30＝110．∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．（2）设购买篮球y个，则购买排球（20﹣y）个，依题意得：110y+80（20﹣y）≤1800，解得y≤6，即y的最大值为6，∴最多购买6个篮球．【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．2.在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？分析：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：﹣＝0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意得：3%×10y+2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【提分秘籍】列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审——仔细审题，找出等量关系；

(2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)验——检验增根；

(6)答——答题．分式方程中常见的数量关系：速度差=V甲-V乙=甲路程甲时间-时间差=T甲-T乙=甲路程甲速度-数量差=甲数量-乙数量=甲总价甲单价-单价差=甲单价-乙单价=甲总价甲单价-总工程量（1）=甲工效×甲时间+乙工效×乙时间【变式演练】1.为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？分析：设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据“甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可．【解答】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据题意，得，解得x＝400，经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意；答：乙班平均每小时挖400千克土豆．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．2.为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．（1）绳子和实心球的单价各是多少元？（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？分析：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，根据数量＝总价÷单价且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同，列出分式方程并解答即可；（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据费用等于单价×数量列出方程解答即可．【解答】解：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，根据题意，得，解得x＝7，经检验可知x＝7是所列分式方程的解，且满足实际意义，∴x+23＝30，答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据题意，得7×3m+30m＝510，解得m＝10，∴3m＝30，答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．【点评】本题考查了分式方程和一元一次方程．，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程．3.为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？分析：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，根据比原计划提前10天完成任务建立方程求出其解就可以了；（2）设以后每天改造管网还要增加m米，根据总工期不超过40天建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，由题意得：﹣＝10，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．此时，60×（1+20%）＝72（米）．答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；（2）设以后每天改造管网还要增加m米，由题意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，解得：m≥36．答：以后每天改造管网至少还要增加36米．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，在解答时找到相等关系和不相等关系建立方程和不等式是关键．4.某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？分析：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，根据题意列出分式方程，解方程检验后即可得出答案；（2）①根据题意列出一次函数解析式即可；②先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求出答案．【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，由题意得：，解得：x＝90，当x＝90时，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100（吨），答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；（2）①由题意得：w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；②由题意得：，解得：15≤m≤17，∵﹣0.8＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝17时，w最小，此时w＝﹣0.8×17+60＝46.4，∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．一．选择题（共10小题）1．（2023•余姚市校级模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1分析：根据分式有意义的条件得出x+1≠0，再求出答案即可．【解答】解：要使代数式有意义，必须x+1≠0，解得：x≠﹣1，故选：B．【点评】本题考查了分式有意义的条件，能熟记代数式中B≠0是解此题的关键．2．（2023•济阳区一模）化简：÷＝（）A．1 B．x C． D．分析：先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：÷＝•＝，故选：D．【点评】本题考查了分式的乘除法法则，能正确根据分式的乘法和除法法则进行计算是解此题的关键．3．（2023•长安区模拟）如图，若a＝2b，则表示的值的点落在（）A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段分析：根据分式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝，当a＝2b时，原式＝＝，故选：C．【点评】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．4．（2023•南岗区校级一模）分式方程的解为（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝15 D．x＝﹣15分析：先去分母，化为一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤求解，最后检验．【解答】解：去分母，得2x＝3（x﹣5），解得x＝15，经检验，x＝15是原方程的根，故选：C．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．5．（2023•西乡塘区校级一模）下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3 B．a2÷a×＝a2 C．（﹣3a3）3＝﹣9a9 D．2a2⋅（﹣2ab2）2＝8a4b4分析：由同底数幂的除法法则、积的乘方和幂的乘方法则、单项式乘除法法则分别判断即可．【解答】解：A、a6÷a2＝a4≠a3，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、（﹣3a3）3＝﹣27a9≠﹣9a9，故该选项不符合题意；D、2a2⋅（﹣2ab2）2＝2a2⋅4a2b4＝8a4b4，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查整了式的运算，掌握整式运算的相关法则是关键．6．（2023•镇海区校级模拟）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（）A．4 B．6 C．7 D．8分析：先化简，再根据分式的值为整数，可得x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，即可确定正整数x的值．【解答】解：＝＝，∵分式的值为整数，∴x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，∴正整数x＝4或2或5或1或6或9，共6个，故选：B．【点评】本题考查了分式的值，先把原分式化简是解题的关键．7．（2023•耿马县一模）某班为筹备迎新晚会，班长用420元到甲商店购买A材料，学习委员用300元到乙商店购买B材料，两人买回的A、B两种材料的数量一样多．已知A材料的单价比B材料贵2元，求B材料的单价是多少元？若设B材料的单价为x元，则可列方程为（）A．＝ B．＝ C．＝ D．分析：若设B材料的单价为x元，则A材料的单价为（x+2）元，根据“用420元到甲商店购买A材料，学习委员用300元到乙商店购买B材料，两人买回的A、B两种材料的数量一样多”列出方程，此题得解．【解答】解：若设B材料的单价为x元，则A材料的单价为（x+2）元，由题意可得，＝，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．8．（2023•广西模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝7 B．x＝6 C．x＝5 D．x＝4分析：根据新定义运算列出分式方程，计算即可求出解．【解答】解：已知等式整理得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x+4，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：C．【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2023•双桥区模拟）若的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（）A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2分析：先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．【解答】解：A．（﹣）÷＝•＝﹣，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；B．（﹣）÷＝•＝，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；C．（﹣）÷＝•＝，是整式，故本选项符合题意；D．（﹣）÷＝•＝﹣，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．10．（2023•江油市模拟）已知方程，且关于x的不等式a＜x≤b只有2个整数解，那么b的取值范围是（）A．1＜b≤2 B．2＜b≤3 C．1≤b＜2 D．2≤b＜3分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即a2﹣3a﹣4＝0，分解因式得：（a﹣4）（a+1）＝0，解得：a＝﹣1或a＝4，经检验a＝4是增根，分式方程的解为a＝﹣1，当a＝﹣1时，由a＜x≤b只有2个整数解，得到1≤b＜2．故选：C．【点评】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2023•鹿城区校级一模）计算：＝．分析：首先通分，然后根据同分母分式加减法法则计算即可．【解答】解：＝﹣＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了分式加减法的运算方法，要熟练掌握同分母、异分母分式加减法法则．12．（2023•东胜区模拟）计算：＝．分析：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：＝÷＝•＝，故答案为：．【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．13．（2023•铁东区一模）甲、乙两人都要走路3km，甲的速度是乙的速度的1.2倍，甲比乙少用6min，设乙的速度是xkm/h，则可列方程为．分析：设乙的速度是xkm/h，根据甲、乙二人都要走3km的路，甲的速度是乙的速度的1.2倍列出方程求解即可．【解答】解：设乙的速度是xkm/h，则甲的速度是1.2xkm/h根据题意得＝+6．故答案得＝+6．【点评】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．行程问题常用的等量关系为：速度＝路程÷时间乙的速度是xkm/h14．（2023•九龙坡区模拟）若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程+＝﹣1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是．分析：先解一元一次不等式组，确定a的取值范围．再解分式方程，根据分式方程的解的定义，进一步确定a的取值，从而解决此题．【解答】解：解，得x．解，得x≤﹣1．∵关于x的一元一次不等式组无解，∴﹣1＜．∴a＞﹣2．+＝﹣1，去分母，得7﹣ay＝1﹣y．移项，得（1﹣a）y＝﹣6．y的系数化为1，得y＝．∵关于y的分式方程+＝﹣1的解为正整数，∴a﹣1＝1或2或3或6．∴a＝2或3或4或7．当a＝7，此时y＝＝1是增根，故舍去．综上：a＝2或3或4．∴所有满足条件的整数a的值之和是2+3+4＝9．故答案为：9．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组、分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解的定义是解决本题的关键．15．（2023•富裕县模拟）若关于x的分式方程无解，则m＝