2025届防城港市重点中学数学九上期末监测模拟试题含解析

2025届防城港市重点中学数学九上期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，：：25，则DE：=()A．2：5 B．3：2 C．2：3 D．5：32．方程的解的个数为()A．0 B．1 C．2 D．1或23．二次函数图像的顶点坐标是（）A． B． C． D．4．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC//EF//DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为()A． B． C． D．5．下列式子中表示是的反比例函数的是()A． B． C． D．6．如图所示是二次函数y=ax2﹣x+a2﹣1的图象，则a的值是（）A．a=﹣1 B．a= C．a=1 D．a=1或a=﹣17．某商店以每件60元的价格购进一批货物，零售价为每件80元时，可以卖出100件（按相关规定零售价不能超过80元）．如果零售价在80元的基础上每降价1元，可以多卖出10件，当零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润，根据题意，可列方程为（）A．x（100+10x）＝2160 B．（20﹣x）（100+10x）＝2160C．（20+x）（100+10x）＝2160 D．（20﹣x）（100﹣10x）＝21608．若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（）A．， B．， C．， D．，9．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连结与相交于点H．给出下列结论，①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③；④，其中正确结论的个数是（）A． B． C． D．10．已知二次函数yax22ax3a23（其中x是自变量），当x2时，y随x的增大而增大，且3x0时，y的最大值为9，则a的值为（）．A．1或 B．或 C． D．111．下列说法正确的是（）A．可能性很大的事情是必然发生的B．可能性很小的事情是不可能发生的C．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件D．“任意画一个三角形，其内角和是”12．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10m，AB＝m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B，D．若便道的宽为1m，则这条便道的面积大约是（）（精确到0.1m2）A．9.5m2 B．10.0m2 C．10.5m2 D．11.0m2二、填空题（每题4分，共24分）13．若，则=_________.14．已知：如图，在中，于点，为的中点，若，，则的长是_______．15．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为____．16．已知一元二次方程x2-10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________．17．如图，在中，点是边的中点，⊙经过、、三点，交于点，是⊙的直径，是上的一个点，且，则___________．18．已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E．（1）求证：△ABM∽△MCD；（2）若AD=8，AB=5，求ME的长．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）将△ABC各顶点的横纵坐标都缩小为原来的得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；（2）求A1C1的长．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2，双曲线经过点A．将△AOB绕点A顺时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的负半轴上，若AB的对应线段AC恰好经过点O．（1）求点A的坐标和双曲线的解析式；（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由23．（10分）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”大意如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，问山AB的高约为多少丈？(丈尺，结果精确到个位)24．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2=OB·OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．25．（12分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.（1）如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，当∠BCD=40°时，证明：CD为△ABC的完美分割线.（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以AC为底边的等腰三角形，求∠ACB的度数.（3）如图2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD的长.26．汽车产业的发展，有效促进我国现代建设．某汽车销售公司2007年盈利3000万元，到2009年盈利4320万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同，该公司2008年盈利多少万元?

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据平行四边形的性质得到DC//AB，DC=AB，得到△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】四边形ABCD是平行四边形，

，，

∽，

：，

，

：：2，

故选B．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2、C【解析】根据一元二次方程根的判别式，求出△的值再进行判断即可．【详解】解：∵x2=0，

∴△=02-4×1×0=0，∴方程x2=0有两个相等的实数根．故选C【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，当△＞0时方程有两个不相等的实数根，△=0时方程有两个相等的实数根，△＜0时方程没有实数根．3、D【分析】先把二次函数进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．【详解】∵，∴二次函数的顶点坐标为．

故选：D．【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，配方是解决问题的关键，属基础题．4、A【分析】根据平行线分线段成比例定理得可求出BC的长，从而可得CF的长，再根据平行线分线段成比例定理得，求解即可得.【详解】又，解得又故选：A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出BC的长是解题关键.5、D【解析】根据反比例函数的定义逐项分析即可.【详解】A.是一次函数，故不符合题意；B.二次函数，故不符合题意；C.不是反比例函数，故不符合题意；D.是反比例函数，符合题意；故选D.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数.6、C【解析】由图象得，此二次函数过原点（0，0），

把点（0，0）代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；

又因为此二次函数的开口向上，所以a＞0；

所以a=1．

故选C．7、B【分析】根据第一句已知条件可得该货物单件利润为元,根据第二句话的已知条件,降价几个1元,就可以多卖出几个10件,可得降价后利润为元,数量为件,两者相乘得2160元,列方程即可.【详解】解:由题意得,当售价在80元基础上降价元时,.【点睛】本题主要考查的是一元二次方程应用题里的利润问题,理解掌握其中的数量关系列出方程是解答这类应用题的关键.8、C【详解】∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），∴方程一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程的解为：，．故选C．考点：抛物线与x轴的交点．9、A【分析】①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；

②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案；

③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；

④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案．【详解】∵△BPC是等边三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

在△ABE与△CDF中，，

∴△ABE≌△DCF，故①正确；∵PC=BC=DC，∠PCD=30°，

∴∠CPD=75°，

∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，

∴∠DHP=∠BHC=18075°，

∴PD=DH，

∴△DPH是等腰三角形，故②正确；

设PF=x，PC=y，则DC=AB=PC=y，

∵∠FCD=30°，∴即，整理得：解得：，则，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，∵△BPC为正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，

∴∠PCD=30°，∴，，

S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD，∴，故④正确；故正确的有4个，

故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表示出出FE及PC的长是解题关键．10、D【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由3x0时时，y的最大值为9，可得x=-3时，y=9，即可求出a．【详解】∵二次函数yax22ax3a23(其中x是自变量)，∴对称轴是直线，∵当x⩾2时，y随x的增大而增大，∴a>0，∵3x0时，y的最大值为9，又∵a>0，对称轴是直线，，∴在x=-3时，y的最大值为9，∴x=-3时,，∴，∴a=1,或a=−2(不合题意舍去).故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握二次函数的基本性质即可解答.11、D【分析】了解事件发生的可能性与必然事件、不可能事件、可能事件之间的关系．【详解】解：A错误．可能性很大的事件并非必然发生，必然发生的事件的概率为1；B错误．可能性很小的事件指事件发生的概率很小，不可能事件的概率为0；C错误．掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好点数“6”朝上的概率为．为可能事件．D正确．三角形内角和是180°．故选：D．【点睛】本题考查事件发生的可能性，注意可能性较小的事件也有可能发生；可能性很大的事也有可能不发生．12、C【分析】由四边形ABCD为矩形得到△ADB为直角三角形，又由AD＝10，AB＝10，由此利用勾股定理求出BD＝20，又由cos∠ADB＝，得到∠ADB＝60°，又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°且外环半径为10.1，内环半径为9.1．这样可以求出每个扇环的面积．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴△ADB为直角三角形，又∵AD＝10，AB＝，∴BD＝，又∵cos∠ADB＝，∴∠ADB＝60°．又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.1，内环半径为9.1．∴每个扇环的面积为．∴当π取3.14时整条便道面积为×2＝10.4666≈10.1m2．便道面积约为10.1m2．故选：C．【点睛】此题考查内容比较多，有勾股定理、三角函数、扇形面积，做题的关键是把实际问题转化为数学问题．二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】根据分式的性质即可解答.【详解】∵=1+=,∴=∴=【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算性质.14、【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，DE＝5，CD＝8，∴AC＝2DE＝1．∴AD2＝AC2−CD2＝12−82＝2．∴AD＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．15、1【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【详解】解：连接OP，

∵PA⊥PB，

∴∠APB=90°，

∵AO=BO，

∴AB=2PO，

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，

过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ=6、MQ=8，

∴OM=10，

又∵MP′=4，

∴OP′=6，

∴AB=2OP′=1，

故答案为：1．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．16、1【分析】先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根，∴，∴，∴或，当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；当7为腰长时，则周长为：7+7+3=1；故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．17、1【分析】根据题意得到△BDC是等腰三角形，外角和定理可得∠ADC也就是要求的∠AFC．【详解】连接DE，∵CD是⊙的直径，∴∠DEC＝90°，DE⊥BC，∵E是BC的中点，∴DE是BC的垂直平分线，则BD＝CD，∴∠DCE＝∠B＝24°，∴∠ADC＝∠DCE＋∠B＝1°，∴∠AFC＝∠ADC＝1°，故填：1．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、外角和定理、同弧所对的圆周角相等，综合性较强，是中考填空题、选择题的常见题型．18、2或1【解析】分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．详解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=1cm．∴AB与CD之间的距离为1cm或2cm．故答案为2或1．点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析（2）4【分析】（1）由AD为直径，得到所对的圆周角为直角，利用等角的余角相等得到一对角相等，进而利用两对角对应相等的三角形相似即可得证；（2）连接OM，由BC为圆的切线，得到OM与BC垂直，利用锐角三角函数定义及勾股定理即可求出所求．【详解】解：（1）∵AD为圆O的直径，∴∠AMD=90°．∵∠BMC=180°，∴∠2+∠3=90°．∵∠ABM=∠MCD=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，∴△ABM∽△MCD；（2）连接OM．∵BC为圆O的切线，∴OM⊥BC．∵AB⊥BC，∴sin∠E==，即=．∵AD=8，AB=5，∴=，即OE=16，根据勾股定理得：ME===4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1．【分析】（1）可得∠ADB＝90°，证得∠ABD＝∠CAD，∠AED＝∠ABD，则结论得证；（2）证得∠EDB＝∠DAE，证明△EDG∽△EAD，可得比例线段，则结论得证；（3）连接OE，证明OE∥AD，则可得比例线段，则EF可求出．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝2，∴，∴EF＝1．【点睛】本题考查了圆的综合应用题，涉及了圆周角定理、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是熟悉上述知识点．21、（1）作图见解析；（2）【解析】(1)直接利用位似图形的性质求解即可;(2)根据题意利用勾股定理解答即可.【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，△A2B2C2，都是符合题意的图形；（2）A1C1的长为：．【点睛】本题考查了位似变换及勾股定理的知识点，解题的关键是由题意正确得出对应点的位置.22、（1），双曲线的解析式为；（2）点在双曲线上，理由见解析.【分析】（1）根据旋转的性质和平行线的性质，得到，得到△AOD是等边三角形，根据特殊角的三角函数，求出点A的坐标，然后得到双曲线的解析式；（2）先求出OC的长度，然后利用特殊角的三角函数求出点C的坐标，然后进行判断即可.【详解】解：（1）过点A作轴，垂足为．∵轴，．有旋转的性质可知，．．．为等边三角形．．，．点的坐标为．由题意知，，．双曲线的解析式为：．（2）点在双曲线上，理由如下：过点作轴，垂足为．由（1）知，．．．，．点的坐标为．将代入中，．点在双曲线上．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数等，求得△AOD是等边三角形是解题的关键．23、由的高约为丈.【分析】由题意得里，尺，尺，里，过点作于点，交于点，得尺，里，里，根据相似三角形的性质即可求出.【详解】解：由题意得里，尺，尺，里.如图，过点作于点，交于点.则尺，里，里，，∴△ECH∽△EAG，，丈，丈.答：由的高约为丈.【点睛】此题主要考查了相似三角形在实际生活中的应用，能够将实际问题转化成相似三角形是解题的关键.24、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由题意，得到，然后由AD∥BC，得到，则，即可得到AF//CD，即可得到结论；（2）先证明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后证明得到，即可得到△ABE∽△ADC.【详解】证明：（1）∵OD2=OE·OB，∴．∵AD//BC，∴．∴．∴AF//CD．∴四边形AFCD是平行四边形．（2）∵AF//CD，∴∠AED=∠BDC，．∵BC=BD，∴BE=BF，∠BDC=∠BCD∴∠AED=∠BCD．∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，∴∠AEB=∠ADC．∵AE·AF=AD·BF，∴．∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD．∴．∴△ABE∽△ADC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.25、（1）