新教材高中数学11-3-3平面与平面平行课件新人教B版必修第四册

11.3.3平面与平面平行基础预习初探1.观察长方体ABCD-A′B′C′D′知,平面ABCD与平面A′B′C′D′互相平行,那么在平面ABCD内直线m与在平面A′B′C′D′内的直线l有怎样的位置关系呢?2.如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个平面也相交.那么如何将文字语言转化为图形语言和符号语言?继续探究:

(1)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与平面α平行吗?提示:平行.(2)观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗?提示:是的.思考2过BC的平面BCC1B1交平面A1B1C1D1于B1C1,B1C1与BC是什么关系?提示:平行.【概念生成】1.两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行

___________两平面相交

________________________α∥β0个α∩β=l无数个点(共线)2.平面与平面平行的判定与性质(1)平面与平面平行的判定①文字语言:如果一个平面内有两条_____直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.②符号语言:a⊂β,b⊂β,_______,a∥α,b∥α⇒β∥α.③图形语言:如图所示.相交a∩b=P(2)平面与平面平行的性质定理①文字语言:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线_____.②符号语言:α∥β,α∩γ=a,_________⇒a∥b.③图形语言:如图所示.④作用:证明两直线_____.平行β∩γ=b平行(2)平面与平面平行的性质定理①文字语言:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线_____.②符号语言:α∥β,α∩γ=a,_________⇒a∥b.③图形语言:如图所示.④作用:证明两直线_____.平行β∩γ=b平行核心互动探究探究点一平面与平面平行的判定【典例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是棱C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面MNP∥平面A1BD.【思维导引】利用三角形中位线原理合理作出辅助线构造三角形,证明MN∥A1D.PN∥BD.【证明】如图,连接B1C.由已知得A1D∥B1C,且MN∥B1C,所以MN∥A1D.又因为MN⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.连接B1D1,同理可证PN∥平面A1BD.又因为MN⊂平面MNP,PN⊂平面MNP,且MN∩PN=N,所以平面MNP∥平面A1BD.【延伸探究】若本例条件不变,求证:平面CB1D1∥平面A1BD.【证明】因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以DD1

BB1,所以BDD1B1为平行四边形,所以BD∥B1D1,又BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,同理A1D∥平面CB1D1.又因为BD⊂平面A1DB,A1D⊂平面A1DB,且BD∩A1D=D,所以平面CB1D1∥平面A1BD.

【类题通法】判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法:证明两个平面没有公共点,通常采用反证法.(2)利用判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条直线分别平行,则α∥β.(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

【类题通法】判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法:证明两个平面没有公共点,通常采用反证法.(2)利用判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条直线分别平行,则α∥β.(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.【定向训练】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E⊂平面A1EF,EF⊂平面A1EF且A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.【补偿训练】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.【证明】因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP.又因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC.因为四边形ABCD为平行四边形.所以BC∥AD,所以MQ∥BC.又因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC.又因为MQ⊂平面MQN,NQ⊂平面MQN,且MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PBC.探究点二面面平行性质定理的应用【典例2】如图所示,平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在平行四边形A′B′C′D′外,且AA′,BB′,CC′,DD′互相平行,求证:四边形ABCD是平行四边形.

【思维导引】充分利用▱A′B′C′D′的平行关系及AA′,BB′,CC′,DD′间的平行关系,先得出线面平行,再得面面平行,最后由平面平行的性质定理得线线平行.【证明】因为四边形A′B′C′D′是平行四边形,所以A′D′∥B′C′.因为A′D′⊄平面BB′C′C,B′C′⊂平面BB′C′C,所以A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.因为A′D′⊂平面AA′D′D,AA′⊂平面AA′D′D,且A′D′∩AA′=A′,所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又因为AD,BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D,平面BB′C′C的交线,所以AD∥BC.同理可证AB∥CD.所以四边形ABCD是平行四边形.

【类题通法】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤【定向训练】如图,α∥β∥γ,直线a与b分别交α,β,γ于点A,B,C和点D,E,F.(1)求证:

;(2)若AB=BC,AD=2,BE=

,CF=4,求直线AD与CF所成的角.【解析】(1)连接AF交平面β于点G,连接AD,BE,CF,BG,EG.由β∥γ,平面ACF∩β=BG,平面ACF∩γ=CF,得BG∥CF,则同理,由α∥β,可得GE∥AD,则所以(2)因为BG∥CF,GE∥AD,所以∠BGE(或其补角)就是直线AD与CF所成的角.因为所以BG=2,GE=1,又BE=,CF=4,所以由余弦定理可得cos∠BGE=,得∠BGE=120°.故直线AD与CF所成的角为60°.探究点三平行关系的综合应用【典例3】设AB,CD为夹在两个平行平面α,β之间的线段,且直线AB,CD为异面直线,M,P分别为AB,CD的中点.求证:MP∥平面β.【思维导引】经过直线MP作辅助平面,通过面面平行证明线面平行.【证明】如图,过点A作AE∥CD交平面β于点E,连接DE,BE.因为AE∥CD,所以AE,CD确定一个平面,设为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=DE.又α∥β,所以AC∥DE(平面平行的性质定理),取AE的中点N,连接NP,MN,因为M,P分别为AB,CD的中点,所以NP∥DE,MN∥BE.又NP⊄β,DE⊂β,MN⊄β,BE⊂β,所以NP∥β,MN∥β,又因为NP⊂平面MNP,MN⊂平面MNP,且NP∩MN=N,所以平面MNP∥β.因为MP⊂平面MNP,MP⊄β,所以MP∥β.

【类题通法】解决平行关系的综合问题的方法(1)在遇到线面平行时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.【定向训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,使得平面D1BQ∥平面PAO?【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,连接PQ,如图,易证四边形PQBA是平行四边形,所以QB∥PA.又因为AP⊂平面APO,QB⊄平面APO,所以QB∥平面APO.因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO,又因为D1B⊂平面D1BQ,QB⊂平面D1BQ且D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图.(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD.(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=FC.【解析】(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD

B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接A1C,连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点;连接AC交BD于O,连接C1O与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.证明A1E=EF=FC的过程如下:因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF;同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,即CF=FE,所以A1E=EF=FC.【课堂小结】三种平行关系的转化三种平行关系是紧密相连的,可以任意转化,其相互转化关系如图所示:课堂素养达标1.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是 (

)A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能确定【解析】选C.如图所示,由图可知C正确.2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,下列推理正确的是 (

)A.若α与β相交,a⊂α,b⊂β,则a与b一定相交B.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βC.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b【解析】选D.A错误,a与b,可能平行也可能是异面直线;由平面与平面平行的判定定理知B,C错误;由平面与平面平行的性质定理知,D正确.3.已知a,b,c为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是 (

)A.若a∥b,b⊂α,则a∥αB.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βC.若α∥β,a∥α,则a∥βD.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c【解析】选D.若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故A不正确.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β或α与β相交,故B不正确.若α∥β,a∥α,则a∥β或a⊂β,故C不正确.如图,由a∥b可得b∥α,易证b∥c,故D正确.4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是______.

【解析】由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,平面ABCD∩平面A1C1B=l,所以l∥A1C1.答案:平行Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏【解析】选D.若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故A不正确.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β或α与β相交,故B不正确.若α∥β,a∥α,则a∥β或a⊂β,故C不正确.如图,由a∥b可得b∥α,易证b∥c,故D正确.2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示