人教版高中数学必修二第六章第4节《平面向量的应用》解答题提高训练 (19)(含答案解析)

必修二第六章第4节《平面向量的应用》解答题提高训练(19)

一、解答题(本大题共20小题，共240.0分)

1.在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,满足(2b-c)cos4=acosC.

(1)求角4;

(2)若a=VH，b+c=5,求三角形48c的面积.

2.在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边.在①(2a-c)cosB=bcosC；②瓦？•瓦

2SMBC；@sinB+sin(B+g)=H这三个条件中任选一个，作出解答・

(1)求角8的值；

(2)若△ABC为锐角三角形，且b=l,求A4BC的面积的取值范围.

3.在①△ABC面积为2,②乙4DC=?这两个条件中任选一个，补充在下面问题中.

如图，在平面四边形ABC。中，/-ABC=―,4BAC="AC,______,CD=2AB=4,求4c.

4

4.在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直(满足ZB4D=9O。)，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路

垂直，且〃BC=120。，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知

60。，路宽.AO24nl.设灯柱高AB/i(in),zACB=0(30°<9<45°).

(1)当0=30。时，求四边形ABC。的面积;

(2)求灯柱的高九(用。表示)，并求出。的最大值.

5,为美化环境，拟在正方形ABCQ的空地上修建三条直线型道路CP、CQ、PQ,如图所示，将正

方形区域分成多个区域，种植不同的花草，设正方形边长为2(单位：百米)，RQ分别为线段

AB、4。上的点(含端点)，其中P,。两点不重合.

(1)若P、。分别为线段AB、A力的中点，求ZCPQ的面积;

(2)若乙BCP=‘,求4CPQ面积的最大值，并说明此时。点的位置;

(3)若NPCQ=p求线段PQ的取值范围.

6.在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，sin2j4+sin2C=sin2B+V2sin/4sinC.

(I)求角B的大小：

(II)若△ABC为锐角三角形，b=立,求a—夜c的取值范围.

7.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基

站的身影.如图1,某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站A8,已知基站高

AB=50m,该同学眼高1.5m（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测

得基站底部B的仰角为37。，测得基站顶端A的仰角为45。.

E图2

（1）求出山高BE（结果保留整数）；

（2）如图2,当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛

所在位置）到基站AB所在直线的距离MD=xm,且记在M处观测基站底部8的仰角为a,观测

基站顶端A的仰角为0.试问当x多大时，观测基站的视角乙4MB最大？

参考数据：sin8°x0.14,sin37°»0.6,sin450右0.7,sinl270®0.8.

8.已知函数f(x)=2sin2(x+J)—V3cos2x,xG覃自.设x=a时f(x)取到最大值.

(1)求/(x)的最大值及a的值;

⑵在回4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=a-^,且s讥Bs讥C=siMA,求b—c

的值.

9.在4ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且已知△力BC的外接圆半径为R,已知

在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题(1)和(2)：

=Ze：,,②RsinA+bcosA=c>③a+c—b(V3sinC+cosC)=0.

问题：(1)求角8的大小；

(2)若R=2,求a+c的最大值.

10.如图，有一位于A处的观测站，某时刻发现其北偏东45。且与A相距20位海里的8处有一货船

正以匀速直线行驶.20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45。+。(其中tcm。=%00<6<

45°),且与观测站A相距5旧海里的C处.

(1)求该船的行驶速度"(海里/小时)；

(2)在离观测站A的正南方15海里的E处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区

域的船只不得停留在该区域超过10分钟.如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会

进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由.

11.ZkABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosc(acosB+bcosA)=c.

(1)求角C的大小;

(2)若C=V7，△ABC的面积为蜉，求△ABC的周长.

12.如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果

的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的C处恰

有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是NECF=£,点、E,尸的直径AB上,

且2BC=

6

(1)若=求AE的长:

(2)设N4CE=a,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.

13.如图，在平面四边形ABCC中，AD1CD,AB1AC,AB=2V3.

(1)若乙4BC=30。，CD=WAD,求BO的长;

(2)若4c=2,^.ADB=30°,求sin/CAO的值.

14.如图，在四棱锥P-ABCD中，Z.ABC=^BCD=90°,/BAD=60。，44DP是等腰直角三角形,

(/)求证：4。J.BP；

(〃)求直线BC与平面ADP所成角的正弦值.

15.在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且cosB=：.

(1)若b=5,a+c=6,求AABC的面积;

(2)若sinA-sinC=争求角A的大小.

16.如图所示，某镇有一块空地AOAB,其中。4=3km,Z.OAM=60。,乙4。8=90。.当地政府计划将这

块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖AOMN,其中仞,N都在边ABE且4MON=

30。，挖出的泥土堆放在AOAM地带上形成假山，剩下的AOBN地带开设儿童游乐场，为安全起

见，需在AOAN的三边安装防护网.设=6.

(1)当AM=|km时，求。的值，并求此时防护网的总长度;

(2)若。=15。，问此时人工湖用地AOMN的面积是堆假山用地AOAM的面积的多少倍？

(3)为节省投入资金，人工湖AOMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使AOMN的面

积最小?最小面积是少？

17.在团ABC中，a,b,c分别是角4B,C所对的边，已知a=1,m=(1,-V3).元=(sin4cos4),且

mln.

(1)求角4的大小；

(2)若回ABC的面积为更，求b+c的值.

4

(3)求回4BC周长的取值范围.

18.△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinB+sinC)2=siMA+sinBs讥C.

(1)求A的大小;

(2)若b+c=6,△ABC的面积为2遮，求。的值.

19.如图所示，某区有一块空地AOAB,其中0A=4km,OB=4V3km,4A0B=90。.当地区政府规

划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖aOMN,其中M,N都在边4B上，

且4M0N=30。，挖出的泥土堆放在△0AM地带上形成假山，剩下的AOBN地带开设儿童游乐场

.为安全起见，需在40AN的周围安装防护网.

(1)当AM=2km时，求防护网的总长度;

(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地AOAM的面积的百倍，试确定NAOM的大小;

20.在448C冉a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若2asin4=(2sinB+sinC)b+(2sinC+sinB)c.

(1)求4的大小;

(2)求+sinC的最大值.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)在三角形ABC中，・・・(2b-c)cosA=acosC,

由正弦定理得：(2sinB-sinQcosA=sinAcosC,

化为：2shiBcosA=sinCcosA4-sinAcosC=sin(4+C)=sinB,

sinBH0,解得cosA=|.i4G(0,71).

：•A=-.

3

22

(2)由余弦定理得M=b+c-2bccosAf

va=V13»b+c=5,

・，・13=(b+c)2—3cb=52—3bc,

化为be=4,

所以三角形ABC的面积S=-besinA=-x4x—=V3.

222

解析：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角形的面积计

算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)(2匕—c}cosA=acosC,由正弦定理得：(2si九8—sinQcosA=4cosc，再利用和差公式、三

角形内角和定理、诱导公式可得cosZ=；,46(0,兀).解得4

(2)由余弦定理得小=从+c?-2bccos4,把a=VIMb+c=5,代入可得be,可得三角形ABC

的面积S=1besinA.

2.答案：解：(1)若选择条件①，

•・,由正弦定理得：2sim4cosB-sinCcosB=sinBcosC,即2si九4cosB=sinCcosB+sinBcosC=

sin(8+C)=sinA,

又•・,4G(0,7r),可得＞0,

・•・cosB=I，由8e可得B=p

若选择条件②，

■:y/3BA-BC=2S^ABC，

・•・VSaccosB=2--acsinB,

2

・•・sinB=y/3cosB,

vBe(O,zr),tanB=V3»可得B=,

若选择条件③，

vsinB4--sinB+叵cosB=国,

22

・••—sinB+-cosB=1，可得sin(B+£)=1,

226

•・・BE(0,yr),可得B+£€(£,?)，

ooo

...B+2=M可得B=g

oL5

⑵由正弦定理得：端广焉=就=徐

2•A

•••a--^=sinA,c=QnC,

•••S=acsinB=-^=sinAsin(^--4)=^sin(2/l—^)+

・••锐角三角形ABC,

•BA■吒勺,

...se,曲.

解析：(1)若选择条件①，由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得2sim4cos8=s〃A,由

sinA>0,可求cosB,结合8的范围即可得解8的值.

若选择条件②，利用平面向量数量积的运算，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式化简已知

等式可得tanB=遮，结合8的范围即可求解B的值.

若选择条件③，利用两角和的正弦公式化简已知等式可得sin(B+*)=1,结合B的范围可求8的值.

(2)由正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S=Csin(24-£)+夜，由己知

6612

可求范围24-(也工)，利用正弦函数的性质可求其取值范围.

本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的运算，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以

及正弦函数的性质的综合应用，考查了计算能力和函数思想，属于中档题.

3.答案：解：选择①.

\1/?-13(1-sin£ABC-2-BC-sin=2,

:.BC=2V2,

由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosz/lBC=4+8-2x2x2鱼x(一孝)=20,

・•・AC=V20=2>/5;

选择②.

设NB4C=ACAD=6,则()<9<[,Z.BCA=：一°，

ACAB

在△ABC中,

sinz.ABCs\nz.BCA

AC9

即一^rsing_g)，

SIH-7F

0

解得：AC

sin-0

AC_4_

ACCD

在△AC。中,，即siu=sinO-

sinz.ADCsinz.CAD

'6

2

解得：AC

sin0

2

sinO疝噌叫,

解得：2sin9=cos0,

.nVs

・•・sin夕=一

5

=熹=26

解析：本题主要考查的是三角形的面积，正弦定理，余弦定理的有关知识.

选择①，利用三角形的面积公式求出8C,然后利用余弦定理求出AC；

选择②，设4BAC=4a4D=。，则ZBC.4~0,由正弦定理表示出

44

ACAC

=.pO\=进而得到2s讥8=COS0,根据（）＜。＜彳，进而得至Lin。=在，从而

-Oj15

求出AC.

4.答案：解：（1）如图所示：当。=30。时，

又且乙4BC=120°,4ACD=60°,/.BAD=90°,AD=24m

可得△4C0为等边三角形，△ABC为等腰三角形，

△48C中，AC边上的高为12tan30°=4百

故S.CD=SABC+S^CD=之X24X4g+9X24x24xf=192V3m2.

（2）由已知得4BAC=60。一。，4。4。=30。+。,

又乙4CD=60°,4ADC=90°-9,

ADAC

在△ACD中,

sinNAC'Dshi^ADC

24<XJW0

sinGO

AB4C

在△ABC中,

sinz.ACBsinzJlBC'

-4Csin0

..AD16sin20,

sin120

即h=16sin20；

・・・30°<0<45°,

・・・60°<29<90°,

・・・当2。=90。，即6=45。时，〃有最大值，且%ax=16.

解析：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档

题.

(1)当0=30。时，可得△4CD为等边三角形，AABC为等腰三角形，AABC中，AC边上的高为

12tan30°=4遍，即可求解；

(2)由条件求得NB4C=60。一仇4040=30。+。，N4OC=90。一4C0中，禾I」用正弦定理求得

4c的值，在AABC中，由正弦定理求得/?的值，根据30。W0<45。，求得〃的最大值.

5.答案：解：(1)当P、Q分别为线段AB、AO的中点时,

3

S^PQ=S四功彩-S&BCP~S&CDQ-="；

(2)由tan/BCP=空=更知，PB=—，设AQ=m,则

BC33

S四"S^BCP=等，^ACDQ=2—m,SAAPQ=m(l—

2/n

SCQ=S国舷Ise。-S4BC产一S^CDQ-S&VPQ=2-国+斯,又me[0,2],所以4CPQ面积

的最大值

为2。此时。点与。点重合

(3)解设/P=m,AQ=n,则tan^BCP=号々tanzDCQ=—>又NPCQ=%所

2—771^2-71

以tan(zJ?CP+ZJ9CQ)=1,即1马会”=1，整理得8=4m+4九一mn,变形得九=詈;

22~

其中？ne[0,2],n6[0,2],所以PQ2=m2+n2,将几=:曹代入上式得PQ?=62+(:鲁产。

令t=4-m,t£[2,4],则PQ2=(4—。2+(苫竺尸，整理得

PQ2=(t+;)2-8(t+®)+16=[t+®-4],即PQ=t+?-4,由te[2,4],知£+36[4鱼,6],显

然PQe[4V2-4,2]«

解析：本题考查解三角形的实际应用

⑴当P、Q分别为线段AB、A£>的中点时,然后由S&7>Q=S国杉AfiCO-S&BCP-S&CDQ_S^AFQ)

即可求解；

(2)设4Q=m,SziepQ=S四边%wo-SABCP-S^CVQ-S±,\/H,然后进行求解即可：

(3)解设4P=m,AQ=n,则tan/BCP=等，tan/OCQ=芋，令t=4-m,tG[2,4]>则PQ?=

(4-t)2+(等竺产，整理即可求解.

6.答案：解：(1)由已知sin2/l+sin?。=siMB+&sin4sinC,

结合正弦定理，得a2+c2=炉+鱼ac.

再由余弦定理，得8$8=马巴始=叵£=匹，

2ac2ac2

又Be(0,兀)，则8=a

(2)由B=%b=鱼，

则由正弦定理，有a—y/2c=2sin4-2企sinC=2sin(午—C)—2&sinC=-2sin(C—

因为回ABC为锐角三角形，则汴C<],有O<CW，则一VI<—2sin(C*)<0.

所以a-V^c的取值范围为(-鱼,0).

解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质和三角恒等变换，是中档题.

(1)由正弦定理，得a2+c2=炉+式M，再由余弦定理得出cosB,可得角B的大小;

(2)由正弦定理得a-&c=2sin4-2或sinC，又4=半一C结合三角恒等变换和三角函数性质可得

a—V^c的取值范围.

7.答案：解：(1)由题知N4cB=8°,，B4C=45°,

在A.-13C'中，由正弦定理得；咒“BC

sinZ.AC13sinABAC

503C

即

sin8sin45

所以BCu华畀=250,

u.m

在RtABDC中，sinNBCD=毁，

即sin37°=一,

所以BDx250X0.6=150,

所以山高3E=BD+DE=150+1.5=151.5«152，〃；

(2)由题知NAA/D=B，ZBA/D=a，

则在RtA3A/D中，tana==—>

MDX

在R心心山中，tan/?=-=-,

由题知NAMB=0-a,

tan3-tana

则tan44MBtan(?'a)

1+tanctail3

200150

-------_50x

=

200150%2+3OOoo

1H----------------

XX

5050V3

~.30000

X+---------―200>/3—12,

当且仅当％=牛即X=100百m时，t；mNAC'Z?取得最大值，即视角最大.

解析：本题考查利用基本不等式求最值、两角和与差的三角函数公式、正弦定理、解三角形的实际

应用，属于中档题.

BC

(1)在^ABC中，由正弦定理得.%八,求出8C,在Rid/?。。中,

smZ.AC13sinABAC

sinNBC。黑，求出BQ,即可求出结果;

⑵根据题意得出tana=*詈,tan.中等则=刖3-。)=署、器

200150

-------_5Ox

,利用基本不等式，即可求出结果.

1+200150—%2+30000

XX

8.答案：解：(1)依题f(%)=[1—cos(2x+^)]—V3cos2x=1+sin2x-y/3cos2x=1+2sin(2x-g).

又xe白J则牌2x一”拳

故当2x-；=5即x=a=工时，f(x}max=3.

⑵由(1)知4=a-=p由sinBs讥C=siMA即be=a2,

2222

又Q?=b+c-2bccosA=h4-c—be,

则匕24-c2—be=be即(b—c)2=0,

故b—c=0.

解析：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质.是对三角函数基础知识的综合考查.

(1)利用二倍角公式对函数解析式化简利用工的范围判断出2%-^的范围，利用正弦函数的性质求得

函数的最大值及Q的值.

(2)利用正弦定理把已知角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b-c的值.

9.答案：解：(1)选条件①：

由题知bcosC+ccosB=2acosB,

・•・2/?sinBcosC+2/?sinCcosB=2x2RgsinAcosBf

:.sin(B+C)=2sin/lcosF,

:.sin/l=2sin力cosB,又0V4<TT,则sin4>0,

IEJr

:.cosB-又0<B<Ti,B=-.

选条件②：

由题知2Rsin4+4RsinBcosA=4/?sinC,

:.sin4+2sinBcosA=2sinC,又C=兀一(4+B),

・•・sinA+2sinBcosA=2sin(4+B),

:.sin4=2sin/cosB,又0V4<兀，贝ljsin4>0,

1TT

・•.cosB=又0<BVn，：・B=].

选条件③：

由题知2Rsin4+2/?sinC-2/?sin^(V3sinf+cosC)=0,

・••sin(B+C)—sinBcosC+sinC-V3sinBsinC=0,

・•・cosBsinC+sinC-V3sinBsinC=0，又0VCV"，则sinC>0,

・•・cosB+1-V3sinF=0,

2sin(B—耳=1,又一巴<8—£<亚，

\67666

•・・8-£=d・♦.B=-.

663

(2)由正弦定理知嘉=2R,b=2/?sinF=2百，

乂b?=a2+c2-2accosB,12-a2+J—ac,・•・12=(a+c)2—3ac,

(a+c)2-12=3ac<3^^.(a+c)2<48,

a+c<4V5(当且仅当a=c=2v5时取等号)，

a+c的最大值为4K.

解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数，是一般题.

(1)如果选①，两边都乘以帅c,可得bcosC+ccosB=2acosB,,通过正弦定理把边化为角sin(B+

C)=2sirii4cosB,结合诱导公式求出B;

如果选②，把两边乘以2,利用正弦定理把边化为角，再根据诱导公式化简，求出B的三角函数值，

再求出B;

如果选③把边化为角，利用两角和的公式进行化简，再用辅助角公式，转化为8三角函数方程，然

后求出B;

(2)通过正弦定理求出江再根据余弦定理表示。，c•的关系式，再根据基本不等式可求a+c的最大

值.

10.答案：解：(1)由题意：AB=20V2-AC=5V131^BAC=6,

因为tan。=1,0°<6<45°,

所以cos®=白痴，

26

由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosd=125,

即BC=5V5.

因为航行时间为20分钟，所以该船的行驶速度为u=15通海里/小时.

(2)由⑴知，在AZBC中，根据余弦定理得cosB=卷6不，则sinB=噜.

B

设BC延长线交AE于点尸，则乙4尸8=45。-8,^ACF=9+B.

在中，由正弦定理可得：缶4F

sin乙4CF

解得：4F=20海里,

过点E作EG垂直8F于点G,

在AEFG中，sin乙4FB=?EF=5,所以EG=*.

显然，V5<3,故货船会进入警戒区.

则货船进入警戒区的时间为空三=上而小时，

15V575V

而白通<g所以货船可以在规定时间之内离开警戒区域.

756

解析：本题考查正弦定理，余弦定理，解三角形的应用.

(1)利用tern"/00<0<45°,求出cos。的值，再利用余弦定理，即可求得结论;

(2)设8c延长线交AE于点F,可得"=20海里，过点E作EG垂直5尸于点G,可得EG=乘<3,

货船会进入警戒区，进一步计算货船进入警戒区的时间，进而得出货船可以在规定时间之内离开警

戒区域.

11.答案：解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：2cosc(s出AcosB+si718cosA)=sinC,

整理得：2cosCsin(A+8)=sinC,

vsinCH0,sin(4+8)=sinC,

c1

•*,cosC——，

2

又0VC<7T,

「n

­­C=3；

(2)由余弦定理得7=a2+b2-2ab■

•••(a+b)2-3ab=7.

1,.V3,343

•••5r=-absinC=—ab=——，

242

•••ab=6,

：.(a+b)2-18=7,

a+b=5,

.♦.△ABC的周长为5+

解析：本题考查了正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，三角形的面积公式，两角和与差的三

角函数公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题.

(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC

不为。求出cosC的值，即可确定出出C的大小；

(2)利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△4BC的周

长.

12.答案：解:(1)由题意，中，AC=4,4=%CE=V13.

由余弦定理得：13=16+4E2-2X4XAEX5

AAE=1或3；

(2)由题意，^ACE=ae[O,^],^AFC=n-A-^ACF=^-a,

CF_4c

在AACF中，由正弦定理得:

sinAsin“FA'

CF=-----

cosa

在△ACE中，由正弦定理得：急=

sinZ.AEC9

E2A/3

•*,CE—.,

sm(n-+a)

该空地产生最大经济价值时，aCEF的面积最大,

S/£F=JcECF-sinZ.ECF

_______12______

2sin(2tx+^)+V3*

：.0<sin(2a+；)41,

・•.a=g时，S4"Ef取最大值，为4B，该空地产生最大经济价值.

解析：本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式，属于较难题.

(1)利用余弦定理，即可求4E的长；

(2)由乙4CE=a,求出CF,CE,利用5〃口：。£・。？-311乙£。:'计算面积，求出最大值，即

可求得该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.

13.答案：解：(1)在Rt^ABC中，4ABe=30。，

则4c=ABtan^ABC=2

在RtAACO中，tanzC/lD=—=V3,

AD

所以=60°,

所以ZD=AC-COS/.CAD=1,4BAD=150°,

在AABD中，由余弦定理可得BZ)2=yiB2+AD2_2AB.AD.Cos/.BAD=19,

所以BD=V19.

(2)设4CAD=3,则4ABD=60°-0,AD=2cos9,

在△ABD中，由正弦定理可得.2：胃=笔,

sin(6O0-0)stn30°

化简得：cose=与sine,

由siMj+cos20=1,

可得：sin20=p

又。为锐角，所以sinO=竺，即sin/C40=也.

77

解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，

考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.

(1)由已知可求在Rt△力CD中，tanNC4D=*=H,可得/C4C=60。，可求AO,在△ABD中，由

余弦定理可得的值.

(2)设4a4。=。，则乙4BD=60。-0,AD=2cos6,在△48。中，由正弦定理可得cos。=当5加0,

代入siM。+cos?。=1,可得：siMe=3，结合。为锐角，可求sinz_C4D的值.

14.答案：(/)证明：如下图：取AO中点E,连接PE、BE.

・••ZL4CP是等腰直角三角形，且4P=OP=应，

•••AD1PE且AC=2.

vAB=2且484。=60°,A4BD是等边三角形,

因此AD1BE.

又因为BECPE=E,PE、BEu平面PBE,

所以.4平面PBE,而BPu平面PBE,

因此A。，3P.

(〃)解：如图：

由。)知AD1平面PBE,ADu平面ADP,

因此平面40P_L平面PBE交于PE.

过8在平面PBE内作BA/LPE交PE延长线于M点,

所以平面PAD.

延长A。、8c交于点凡则是BF在平面PA。内的射影,

因此NGF.U为直线BC与平面PAD所成角.

因为E是AD的中点，所以在等腰直角三角形PAQ中，PE=1.

在等边三角形4BO中，因为48=2,所以BE=g.

又因为BP=V7,

PE2+8E2-Bp21+3-7V3

所以在APEB中，COSNPEB=—f

2PEXBE2732

因此NPEB=150°.

在RtABME中,ZMEB30,BE=V3,因此BM=4.

又.N4BC=/BCD=90°，NB4D=60°,AB=2CD=2,

BF=2V3.

在RtZiBA/F中，sinABFM=器=

即直线BC与平面ADP所成角的正弦值为;.

4

解析：本题考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，面面垂直的判定，面面垂直的性质，直线与

平面所成角和余弦定理，属于较难题.

(/)取A。中点E,连接PE、BE,利用平面几何知识得4。1PE和4〃BE,再利用线面垂直的判定

得.AZXL平面PBE,再利用线面垂直的性质得结论；

(〃)利用(/)的结论，结合面面垂直的判定得平面4DP1平面尸BE交于PE,过B在平面PBE内作

3A/LPE交PE延长线于M点，利用面面垂直的性质得平面PAD,延长A。、8c交于点F,

再利用直线与平面所成角定义得NBPA/为直线8。与平面PA。所成角，在APEB中，利用余弦定

理得NPEB15()，从而得3(),最后解直角三角形，计算得结论.

15.答案：解:(1)由余弦定理,得炉=—2QCC0SB=(a+c)2—3QC,

:.25=36—3ac,ac=y,

•・S^ABC=2aCSmB=W

(2)•••cosB=I，­,-B=p4+C若，

27r27r27r

・••sinA—sinC=sinA—sin(———A)=sinA—(sin—cos?l—cos—sin/l)

=-2sin/l——2cosTl=sin('i43，2

427r.7n

,•,()<A<3，］4=6

解析：本题考查解三角形和三角恒等变换，属于一般题.

(1)由余弦定理得ac=芳，再利用三角形的面积公式即可求解；

(2)求出B,再利用两角差的正弦公式即可求解.

16.答案：解：(1)在AOaB中，因为04=3,0B=36，/-A0B=90°,所以ZXMB=60。，

O

在△40M中，。4=3,AM=1,4。4M=60。，

由余弦定理，得0"=逋，

2

所以。用2+4^2=042,即。MJ.4N,所以乙4。"=30。，

所以AOAN为正三角形，所以AOAN的周长为9,即防护网的总长度为9hw.

(2)。=15。时，在三角形OAM中，由正弦定理得瑞；=上%=0根="粤，

'7sm60°sm15°sin15°

在三角形OMN中，AONA=180°-60°-15°-30°=75°,

由正弦定理得‘M0MN=OMsin300_AMsin600sin300

sin30sin75°sin75°sin750sin15°

--、1”—sin60。sin300_sin60。sin30。sin60°sin300仁.

=-j----------=2sin60=

所以4M-sin750sin15°-cos150sin15°-sin30°

以。为顶点时，团0MN和△。4M的高相同,

所以产=案=聒S.OMN=V3SA0XM(

ShOAMAM

即人工湖用地回OMN的面积是堆假山用地△04M的面积的遮倍.

(3)设Z40M=0(00<9<60°),由Q)知ON=

又在A40M中，由黑；=舄条由MOM=3有

sinousin^y+ou)2sin(0+6O°)

_______27________________27_______

所以&OMN=；OM.ON.sin30°=

16sin(J+60°)cosB-8sin(20+6O°)+4V3*

所以当且仅当2。+6。。=9。。,即9=15。时,MN的面积取最小值为中k形.

解析：本题考查利用数学知识解决三角形问题，考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生分析解

决问题的能力，属于较难题.

(1)证明AOaN为正三角形，可得△。力N的周长为9,即防护网的总长度为外加；

(2)利用正弦定理求解OM,根据蓑^=^=8,SAOMN=V5SAOAM，即可求解.

(3)表示出AOMN的面积，利用辅助角公式化简，即可得出结论.

17.答案：解：(1)由沅=(1,一次)，n=(sinA,cosA),且沆1元，

得记•n=sinA—y/3cosA=0，

・•・tanA=V3;

又4G(0,兀)，

J4=g；

(2)由余弦定理得小=b24-c2—2bccosA,

22

BPI=h4-c-2bccos^f

:.b24-c2—be=1；

又^ABC的面积为S=-besinA=-besin-=—»

2234

:.be=1,/?2+c2=2,

・•・(b+c)2=力2+。2+2bc=2+2x1=4,

・•・b+c=2•

7T.CCl12

(3)由(1)知力=,,a=l,则痂=痂=,=砾=而，

==

bsinB,c=-j=siTiC,CTi—A—B=-B9B6(0,；

.*.0ABC周长]=Q+b+c

222n

=1+—sinB+而sin(©-8)

=1+指qsinB+—cosB)

=1+2siTt(B4—),

6

又Be(o,》：.B+旌第坐,

...sin(B+》eC，l],