新教材高中数学第八章立体几何初步8-4-1平面同步课件新人教A版必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面必备知识·自主学习1.平面(1)定义:几何里所说的“平面”,是从生活中的课桌面、黑板面、平静的水面等抽象出来的.(2)本质:由点构成,平的,向四周_________.无限延展2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用_____画出来.如图②.虚线3.平面的表示法如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.4.点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念:如果直线l上的所有点都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者说平面α经过直线l.(2)符号表示:点P在直线l上_____点P在平面α外P∉α点P在直线l外P∉l直线l在平面α内l⊂α点P在平面α内______直线l在平面α外l⊄αP∈lP∈α(3)本质:点与直线、点与平面是元素与集合的关系;直线与平面是集合与集合的关系.5.平面的基本事实及推论(1)基本事实:基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的_______,有且只有一个平面

A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α三个点5.平面的基本事实及推论(1)基本事实:基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的_______,有且只有一个平面

A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α三个点基本事实内容图形符号基本事实2如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在这个平面内

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个_______,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l公共点两个点(2)基本事实1的推论推论1经过一条直线和这条直线外_____,有且只有一个平面(图①).推论2经过两条_________,有且只有一个平面(图②).推论3经过两条_________,有且只有一个平面(图③).一点相交直线平行直线(3)本质:基本事实是人们通过长期观察与实践总结出来的,是几何推理的基本依据,进一步研究立体几何的基础.(4)应用:基本事实1:确定平面;基本事实2:确定直线在平面内;基本事实3:确定点共线.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)平行四边形就是平面. (

)(2)三个点确定一个平面. (

)(3)两个平面的交线是一条线段. (

)提示:(1)×.平行四边形表示平面,但不是平面.(2)×.不共线的三个点才能确定平面.(3)×.两个平面的交线是一条直线.2.经过圆上任意三个不同的点可以作出

个平面. (

)

A.0个 B.1个C.2个 D.1个或无数个【解析】选B.当空间中三个不同的点不共线时,过这三个点能确定1个平面.所以经过圆上任意三个不同的点可以作出1个平面.2.经过圆上任意三个不同的点可以作出

个平面. (

)

A.0个 B.1个C.2个 D.1个或无数个【解析】选B.当空间中三个不同的点不共线时,过这三个点能确定1个平面.所以经过圆上任意三个不同的点可以作出1个平面.3.(教材二次开发:练习改编)三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多可确定

个平面.

【解析】因为三条直线两两平行,所以分两种情况.①三条直线在同一平面α内,此时经过任意两条直线确定一个平面;②三条直线不在同一个平面内,如三棱柱三条侧棱所在的直线,此时经过任意两条直线确定三个平面.综上所述,可得过其中任意两条直线最多可确定3个平面.答案:3关键能力·合作学习类型一三种语言的简单应用(直观想象)【题组训练】1.(2020·桐城高一检测)若A,B表示点,a表示直线,α表示平面,则下列叙述中正确的是 (

)A.若A⊂α,B⊂α,则AB⊂αB.若A∈α,B∈α,则AB∈αC.若A∉a,a⊂α,则AB∉αD.若A∈a,a⊂α,则A∈α2.已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点.若α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为

.

3.根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=直线AB,直线a⊂α,直线b⊂β,a∥AB,b∥AB.【解析】1.选D.点与面的关系用符号∈,而不是⊂,所以选项A错误;直线与平面的关系用⊂表示,则AB∈α表示错误;点A不在直线a上,但只要A,B都在平面α内,也存在AB⊂α,选项C错误;A∈a,a⊂α,则A∈α,所以选项D正确.2.因为m⊂α,n⊂β,m∩n=P,所以P∈α,且P∈β.又α∩β=l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案:P∈l3.图形如图所示.【解题策略】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.【补偿训练】说明语句“l⊂α,m∩α=A,A∉l”表示的点、线、面的位置关系,并画出图形.【解析】直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,图形如图所示.类型二点、线共面问题(逻辑推理)【典例】已知直线a∥直线b,直线c与a,b分别相交于点A,B,求证:a,b,c三条直线共面.步骤内容理解题意条件:a∥b,c∩a=A,c∩b=B;结论:a,b,c三线共面.思路探求先利用推理确定一个平面,再证明第三条直线也在这个平面内.书写表达证明:因为a∥b,所以a,b确定一个平面α,①因为a∩c=A,b∩c=B,所以A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α,所以AB⊂α,即c⊂α,②所以a,b,c⊂α,所以a,b,c三条直线共面.①先确定一个平面,是证明共面问题的常用方法;②利用基本事实证明线在平面内.题后反思利用符号语言证明一是符号应用要规范;二是基本事实、推理的应用要充分.【变式探究】本例中,将条件变为:如图:直线AB、CD、EF两两平行,且分别与直线l相交于A,C,E,求证:AB,CD,EF三条直线在同一平面内.【证明】因为AB∥CD,所以直线AB与CD确定一个平面α,因为A∈α,C∈α,A∈l,C∈l,所以l⊂α.因为EF∥CD,所以直线EF与CD确定一个平面β,因为E∈β,C∈β,E∈l,C∈l,所以l⊂β.所以CD与l既在平面α内,又在平面β内.又因为CD∩l=C,则CD与l确定一个平面,因此α与β重合.故AB,CD,EF三条直线在同一平面内.【解题策略】证明直线共面常用的方法(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内.(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.【跟踪训练】证明:两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.【证明】方法一(纳入法):因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2⊂α,所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内.方法二(重合法):因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.类型三点共线、线共点问题(逻辑推理)角度1点共线

【典例】如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点必定共线.【思路导引】证明E,F,G,H四点是两个面的公共点.【证明】因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β.又因为AB∩α=E,AB⊂β,所以E∈α,E∈β,即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点.因为两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.角度2线共点

【典例】求证:三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点.【思路导引】先说明两条直线交于一点,再证明该点在第三条直线上.【证明】延长AA1,BB1,设AA1∩BB1=P,又BB1⊂平面BC1,所以P∈平面BC1,AA1⊂平面AC1,所以P∈平面AC1,所以P为平面BC1和平面AC1的公共点,又因为平面BC1∩平面AC1=CC1,所以P∈CC1,即AA1,BB1,CC1延长后交于一点P.【解题策略】证明三线共点常用的方法(1)先说明两条直线共面且交于一点,然后说明这个点在两个平面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.(2)说明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再说明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.【题组训练】1.已知α,β,γ是三个平面,且α∩β=c,β∩γ=a,α∩γ=b,且a∩b=O.求证:a,b,c三线共点.【证明】因为a∩b=O,所以O∈a,O∈b,又因为β∩γ=a,α∩γ=b,所以O∈β,O∈α,因为α∩β=c,所以O∈c,所以a,b,c三线共点.2.已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.【证明】因为AB∩α=P,所以P∈α,P∈AB,而AB⊂平面ABC,则P∈平面ABC;同理可得R∈α,R∈平面ABC;Q∈α,Q∈平面ABC,所以P,Q,R在平面α与平面ABC的交线上.所以P,Q,R三点共线.平面数学抽象：用符号语言描述点、线、面位置关系逻辑推理：用平面的基本事实及推论解决有关问题方法总结核心知识易错提醒核心素养点、线、面位置关系符号概念基本事实1.确定平面的依据3.两平面相交的依据2.直线在平面内的依据相交直线平行直线直线与直线外一点1.三点都在两平面的交线上点共线共面线共点（归一法）:先证明两条直线交于一点，再证明其余直线都过这点2.一点在另外两点确定的直线上注意用符号正确表示点、线、面位置关系1.先证点或线确定平面，再证其他点线也在这个平面上2.先说明点线确定平面，再说明其他点线确定平面，证明两平面重合推论课堂检测·素养达标1.(2020·宁德高一检测)当我们停放自行车时,只要将自行车旁的撑脚放下,自行车就稳了,这用到了 (

)A.三点确定一平面B.不共线三点确定一平面C.两条相交直线确定一平面D.两条平行直线确定一平面【解析】选B.自行车前后轮与撑脚分别接触地面,此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面,即地面,从而使得自行车稳定.2.下列图形中,满足α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB的图形是 (

)【解析】选C.可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断.3.若直线l上有两个点在平面α外,则 (

)A.直线l上至少有一个点在平面α内B.直线l上有无穷多个点在平面α内C.直线l上所有点都在平面α外D.直线l上至多有一个点在平面α内【解析】选D.由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内.4.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是 (

)【解析】选D.画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示.5.(教材二次开发:练习改编)如图,已知直线PM∥QN,PM,QN分别与平面α交于M,N,直线PQ交平面α于A点.求证:M,N,A三点在同一条直线上.【证明】因为PM∥QN,所以点P,M,N,Q共面,因为PM,QN分别与平面α交于M,N,所以平面PMNQ∩平面α=MN,因为直线PQ交平面α于A点,所以A∈PQ,且A∈平面α,所以A∈MN,所以M,N,A三点在同一条直线上.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏5.(教材二次开发:练习改编)如图,已知直线PM∥QN,PM,QN分别与平面α交于M,N,直线PQ交平面α于A点.求证:M,N,A三点在同一条直线上.3.若直线l上有两个点在平面α外