新教材高中数学第八章立体几何初步8-5-2直线与平面平行同步课件新人教A版必修第二册

8.5.2直线与平面平行必备知识·自主学习1.直线与平面平行的判定定理(1)定理:如果_______一条直线与此平面内的一条直线_____,那么该直线与此平面平行;(2)符号:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α;(3)本质:线线平行⇒线面平行,空间问题转化为平面问题.(4)应用:判定直线与平面平行.平面外平行【思考】如果一条直线与平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面一定平行吗?提示:不一定,该直线可能在平面内.2.直线与平面平行的性质定理(1)定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与_____平行;(2)符号:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b;(3)本质:线面平行⇒线线平行,直线与平面平行中蕴含直线与直线平行;(4)应用:作平行线的一种方法.交线【思考】一条直线与一个平面平行,该直线与此平面内任意直线平行吗?提示:不是,可能是异面直线.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.(

)(2)若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点. (

)(3)平行于同一平面的两条直线平行. (

)提示:(1)×.直线也可能与平面相交.(2)√.若有公共点,则平行不成立.(3)×.两条直线可能平行,也可能相交或异面.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是对角线A1D,B1D1的中点,则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有

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2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是对角线A1D,B1D1的中点,则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有

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【解析】如图,连接A1C1,C1D,因为F为B1D1的中点,所以F为A1C1的中点,在△A1C1D中,EF为中位线,所以EF∥C1D,又EF⊄平面C1CDD1,C1D⊂平面C1CDD1,所以EF∥平面C1CDD1.同理,EF∥平面A1B1BA.故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.答案:平面C1CDD1和平面A1B1BA3.(教材二次开发:练习改编)如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG.则EH与BD的位置关系是

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【解析】因为EH∥FG,FG⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.答案:平行关键能力·合作学习类型一直线与平面平行的判定(直观想象、逻辑推理)【题组训练】1.过正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面BCC1B1平行的直线有

条.

2.已知正方形ABCD与正方形ABEF不共面,N,M分别在AE和BD上且为中点.求证:MN∥平面BCE.2.已知正方形ABCD与正方形ABEF不共面,N,M分别在AE和BD上且为中点.求证:MN∥平面BCE.【解析】1.设AB,A1B1,C1D1,CD的中点分别为E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE,EG,FH,

则EF,FG,GH,HE,EG,FH都与平面BCC1B1平行,共6条直线,同理平面ADD1A1四条边中点分别为M,N,O,P,即还有MN,NO,OP,MP,NP,OM,共6条直线.因此,满足条件的直线一共有12条.答案:122.方法一:由题意可知,在正方形ABCD和ABEF中,M,N分别为中心,连接AC,则M为AC的中点,所以在△AEC中,MN∥EC,又MN⊄平面BEC,EC⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.方法二:分别取BC,BE的中点G,H,连接AC,MG,GH,HN,则M为AC的中点,则MG

AB,NH

AB,所以MGNH,所以四边形MGHN是平行四边形,所以MN∥GH.又MN⊄平面BEC,GH⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.【解题策略】关于线面平行的判定(1)充分利用平面图形中的平行关系,如三角形中,中位线平行于底边,平行四边形对边平行,梯形的两底平行等.(2)连接平行四边形的对角线是常作的辅助线,因为平行四边形的对角线相互平分,可以得到中点从而构造平行关系.(3)书写步骤时一定要注明面外直线,面内直线,避免步骤扣分.【补偿训练】如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,点E,F分别为棱AB,PD的中点.求证:AF∥平面PCE.【证明】取PC的中点G,连接EG,FG,因为F,G分别是PD,PC的中点,所以FG

CD,因为AB

CD,E是AB的中点,所以AE

CD,所以FG

AE,所以四边形AEGF是平行四边形,所以AF∥EG,因为AF⊄平面PCE,EG⊂平面PCE,所以AF∥平面PCE.类型二直线与平面平行的性质(直观想象、逻辑推理)【典例】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M,并写出作图步骤,但不要求证明.【思路导引】先要作出平面PQB1与平面ABC的交线,再根据线面平行的性质作AM.【解析】取BB1中点E,连接AE,则AE∥PB1,连接CE,取CE中点N,连接QN,则QN∥AE,所以QN∥PB1,即Q,N,P,B1四点共面,连接B1N交BC于H,连接QH,则Q,H,B1,P四点共面,过A作AM∥QH交BC于M,即为所求.【解题策略】关于线面平行性质定理的应用(1)如果题目中存在线面平行的条件,寻找或作出交线是前提,也是关键.(2)对应画线问题,要根据线面平行,确定出平行的直线后画出.【跟踪训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ长为

.

【解析】连接AD1,A1D,因为PQ∥平面AA1B1B,PQ⊂平面AB1D1,平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,所以PQ∥AB1,由正方体的性质得,AD1∩A1D=P,P是AD1的中点,所以Q是B1D1的中点,所以PQ=AB1==.答案:

类型三直线与平面平行的判定、性质的应用(逻辑推理)角度1判定、性质的综合应用

【典例】如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH,求证:CD∥平面EFGH.【思路导引】利用线线平行证明线面平行.【证明】因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥GH,因为EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD,又因为EF⊂平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,所以EF∥CD,因为EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,所以CD∥平面EFGH.【变式探究】本例条件不变,试证明:EH∥AB.【证明】因为四边形EFGH为平行四边形,所以EH∥FG,因为EH⊄平面ABC,FG⊂平面ABC,所以EH∥平面ABC.又因为EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面ABC=AB,所以EH∥AB.角度2平行条件的确定

【典例】(2020·哈尔滨高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,CC1,AD的中点.棱CD上是否存在点T,使得AT∥平面B1EF?请证明你的结论.【思路导引】先将平面EFB1延展,再确定点T的位置.【解析】在棱CD上取点T,使得DT=DC,则AT∥平面B1EF.证明如下:延长BC,B1F交于点H,连接EH交DC于点K,因为CC1∥BB1,F为CC1的中点,所以C为BH的中点.因为CD∥AB,所以KC∥AB,且KC=EB=CD,因为DT=DC,E为AB的中点,所以TK∥AE,且TK=AE,即四边形AEKT为平行四边形,所以AT∥EK,即AT∥EH,又EH⊂平面B1EF,AT⊄平面B1EF,所以AT∥平面B1EF.【解题策略】关于线面平行关系的综合应用判定和性质之间的推理关系是由线线平行⇒线面平行⇒线线平行,既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系,也体现了空间和平面之间的相互转化.【题组训练】1.(2020·南昌高一检测)如图,四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则 (

)A.MN∥PD B.MN∥PAC.MN∥AD D.以上均有可能【解析】选B.四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,由直线与平面平行的性质定理可得:MN∥PA.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧面BCC1B1上运动,当点P满足条件

时,A1P∥平面BCD.

【解析】取CC1中点P,连接A1P,因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1中点,点P在侧面BCC1B1上运动,所以当点P满足条件P是CC1的中点时,A1P∥CD,因为A1P⊄平面BCD,CD⊂平面BCD,所以当点P满足条件P是CC1的中点时,A1P∥平面BCD.答案:P是CC1的中点(答案不唯一)【补偿训练】如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA的上一点,当点E满足条件

时,SC∥平面EBD,写出条件并加以证明.

【解析】取SA的中点E,连接EB,ED,AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是AC的中点.又E是SA的中点,所以OE是△SAC的中位线.所以OE∥SC.因为SC⊄平面EBD,OE⊂平面EBD,所以SC∥平面EBD.答案:SE=EA(或E为SA的中点)核心知识直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的判定定理方法总结判定直线与平面平行（1）关键是在平面内找一条直线与平面平行（2）方法是利用平行的传递性，通过中位线定理或平行四边形的性质核心素养注意性质定理中两条直线的位置应用直线与平面平行易错提醒逻辑推理：转化为证明直线与直线平行判定课堂检测·素养达标1.下列选项中,一定能得出直线m与平面α平行的是 (

)A.直线m在平面α外B.直线m与平面α内的两条直线平行C.平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D.直线m与平面α内的一条直线平行【解析】选C.选项A不符合题意,因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;选项B与D不符合题意,因为缺少条件m⊄α;选项C中,由直线与平面平行的判定定理,知直线m与平面α平行,故选项C符合题意.2.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为(

)A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质定理知,l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….3.(教材二次开发:练习改编)在三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1=2AB,点E,F分别是棱B1C1,A1B1的中点,则在三棱台的各棱所在的直线中,与平面ACEF平行的有

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【解析】因为点E,F分别是棱B1C1,A1B1的中点,所以EF∥A1C1,又EF⊂平面ACEF,A1C1⊄平面ACEF,所以A1C1∥平面ACEF.因为AB∥A1B1,A1B1=2AB,FB1=A1B1,所以AB

FB1,所以四边形ABB1F是平行四边形,所以AF∥BB1,又AF⊂平面ACEF,BB1⊄平面ACEF,所以BB1∥平面ACEF.答案:A1C1,BB14.过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面有

个.

【解析】如图:异面直线a,b,过b上任一点作a的平行线c,则相交直线b,c确定一个平面,且与a平行.答案:15.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交平面α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=

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【解析】因为a∥α,a⊂平面ABD,α∩平面ABD=EG,所以a∥EG,即BD∥EG,所以,则EG=.答案:

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