苏教版(苏科版)九年级数学上册课堂同步练习试题 全册

题：等腰三角形的性质和判定

角形的性质判定定理.

、思考与探索

性质定理和判定定理的联系与区别.5

角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值.”等腰三角形的两个底角相等"（1）写出它的逆命题:

质的区别.

经证明的定理”为依据，证明等腰三角形性质定理和判定定理。（2）画出图形，写出

6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定日

"你还记得按边分可以怎样分类吗？

拳腰三角形的定义）思考：1、在aABC中，NA=110°,ZC=35°,则△ABC是—

2、如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,D是/

尔能否用从基本事实出发，对它们进行证明？

NBDC=72°,则图形中共有（）个等腰三角形。

的两底角相等A、1B、2C、3D、4

:设和结论，画出3有一个三角形，它的内角分别是20°,40°,120°,东

形分成两个等腰三角形？分成的两个等腰三角形的内角分另

三、典例分析

1、已知：如图，AB=AC,BD1AC,垂足为点D。求

F分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

我们得到了等腰三角形的性质定理。

号语言吗？（请完成下表）

多形符号语言2、已知：如图（1）NEAC是AABC的外角，AD平

在4ABC中求证：AB=AC

E

,**___________________：

*

••__________________0

在△ABC中，AB=AC

(1)VZBAD=ZCAD

*

••________，________o

(2)VBD=CD

••_______，________0(1)

(3)VAD1BC

・,_______，________o

:,AD〃BC,那么AD平分/EAC吗？如果结论成立，你能证明五拓展提高

1ZXABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC延长线上，且

与NACB的平分线交于点D.过点D作EF〃BC交AB于点E、

2如图村庄A、B位于一条小河的两侧；若河岸小，2彼此平;

问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近.

六小结与作业1、在本节课中，我们用基本事实又证明了明

为3和7,那么周长为。

2、要等腰三角形中，底边上的中线，底边

等于30°,那么另两个角为。

能过画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等的三角形。

12,一边长为5,那么另两边长分别为

3、实际上，我们以前曾学习过很多图形的

学于120°,那么另两个角为。

形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通

在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性

AF=BD=CE,求证：Z\DEF也是等边三角形。

评价与反思

BDC

1、2直角三角形全等的判定（一）

/

一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等.

上理及其应用.

MB。

图2

（5）把AABC剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下I

2.上面的实验和操作，说明“斜边和直角边对应相等

1哪些?

角三角形的“斜边、直角边”公理（简称HL）.

两个直角三角形一定全等吗？为什么？

三、例题教学：

I等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直1、如图，在AABC中，已知D是BC中点，DE_LAB,DF

:角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边是E、F,DE=DF.

“SAS”判定它们全等.求证：AB=AC

一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？

B'C'中，若AB=A'B',AC=A'C,ZC=ZCz=RtZ,

是否全等？

S'）

2、如图：如果NBAC=30%那么BC=-AB,你能证明

（C3g2

）

实验：

四、小结

’拼合在一起（教师演示）如图1（2）,因为NACB=/A'CB'=

由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般

生•条直线上，因此，AABB，是一个等腰三角形，可以知道/B

边、直角边”公理判定两个直角三角形全等.“HL”只能月

A'B'C^RtAABC.

•般三角形全等.所以判定两个直角三角形全等的方法有五

验证：

.直角边AC的长为2cm,斜边AB的长为3cm.

(二)提高练习

1、P10、第1题、第2题

/RtAAzB'C'(其中NC=NC'=Rt/)是否全等？如果全等,

()里打“X”：

..................()

...............()

2.己知：如图，在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,

...................()

...................()

..................()

3过等腰直角三角形ABC的直角顶点C任画一条直线L,分

i=RtZ,若要使4ACB且Z\BDA,还需要什么条件？把它们分别(a)试画出本题的图形.(提示：有两种不同的图形)

1)：

(b)在你所画的两种图形中分别说明4ACD丝Z\CBE的

(c)若已知：AD=4cm,BE=3cm,求DE的长.

六布置作业

4C,AD是角平分线，BEVF,则下列说法

评价与反思

2直角三角形全等的判定（二）角平分线上的点到角两边的距离是指这个

点到角两边的垂线段的长度，而不是过此

生质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与-点;

点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线

中体会反证法的含义；

目方法，发展演绎推理能力。。与角两边相交所得的线段的长度.

逆定理、学生往往出现如下错误：°工

法，发展演绎推理能力

如图2:•点P在NAOB的平分线上，

，PD=PE.

3等的角，这条射线二、角平分线判定定理：

在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在近

线，【要点】条件：1.点在角的内部，

IAOB=2/1=2N2或ZAOB).2.点到角两边的距离相等，

2

结论：3.点在角的平分线上.

勺平分线OC?（可由学生任选方法画出OC）.

【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如

，的方法，

缺少.

上的点到这个角两边的距离相等.

:,2.点到两边的距离，结论：3.距离相等.A

）B的平分线上，①

D,PE_LOB于E,②【符号语言】如图1,\

一\

：PD_L（）A于D,PE_LOB于E,\

；.PD=PE,'

上的点，点P在NAOB的平分线上.

段.【作用】：证点在角平分线上，证角相等.

J平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写,三、例题教学

例、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这

；认识不足.A1

明它吗？

D、BE相交与点O。（1）点O到AABC各边的距离相等吗？点O

角形的三条角平分线交于一点

5.如图，在AABC中，ZC=90",AC=BC,AD是/BAC

求4DBE的周长。

（-）能力提高

一点吗？三条呢？与上题中的交点重合吗？

1已知（如右图）BD_LAM于点D,CE±AN于点E,BD、CE

求证：点F在/A的平分线匕

角形的底角是锐角“，那么提出的假设应该是

分线，BC=32,BD：DC=9：7,贝IJ点D至ijAB的距离为（）

2如图，已知NB=/C=90。，M是BC中点，MN1；

cmD.12cm若N1=N2,求证N3=N4

.P到4ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交你还有什么发现？

（C）中线（D）边的垂直平分

五小结与作业

W三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公

有：（）

D.四处评价与反思

题：平行四边形的性质例2：已知：如图，CABCD中，E、F分别是AD、BC的中/

据定义探究平行四边形性质。

勺应用，能根据平行四边形的性质解决简单的实际问题.

勺过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。

展学生的探究意识、创新精神和合作交流的习惯，培养学生用数

例3已知：如图(a),OABCD的对角线AC、BE

别相交于点E、F.

.质的探究和应用。求证：OE=OF,AE=CF,BE=DF.

法?四边形与平行四边形的关系是:

【弓I申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b|1

EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(E

_______________叫平行四边形你的理由.

三练习巩固

1.在5腼中，/】：乙B：ZC：/〃的值可以是(

是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB=15cm,

A.1：2：3：4B.1

,CD,0C的长，并算出绿地的面积.C.1：1：2：2D.2

）的对角线的交点0，交AD于E,交BC于F,若AB=4,

形EFCD的周长是（）

12D.10

B=4cm,AD=7cm,NABC的平分线BF交AD于点E,交CD的延2平行线间的距离

从推论可以知道，如果两条直线平行，那么从一条上

等，如下图.

我们把两条平行线中一条直线上任意一点到另一条上

,相邻两边的差为4cm,求两边的长.

》CD为长是仁和的两线段则QABOT的

交于点0,两条对角线的和为30cm,A0CD的周长为20cm,注意：（1）两相交直线无距离可言.（2）连结两点间f

外一点到一条直线的垂线段的长，叫点到直线的距离.1

一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离，一定要

五小结与作业

间的枕木是否一样长?

线段相等。

,则AB=CD1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互:

的交点是对称中心。3、夹在两条平行线之间的平行线段相

两条平行线段的两条直线平行，被夹的两条线段平行，缺一不评价与反思

和出，-OH.

生质

义、性质等知识，解决有关问题，进一步培养学生逻辑推理能力。3）如图矩形ABCD,对角线相交于E,图中全等三角形有

［综合应用，激发学生的探索精神。将目光锁定在RtZSABC中，你能看到并想到它有什么特殊

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

用

形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关

形作为道具，既增强了学生的动手能力和参与感，有在教学中有

更轻松）

三、精讲例题

用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动

形的形状.

勺长度分别是怎样变化的？例1如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且AC=：

E成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长求证4OCD为正三角形。

形的性质.四、巩固练习

:的平行四边形，就应具有平行四边形的性质，同时矩形又是特殊

一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质。1.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分,

A.16B.22

2.矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与矩形夕

角对角线对称性短边长为.

3、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,则斜边

4如图矩形/及力中，若4?=4,BB9,E、尸分别为应；DA_

A.12B.24C.36D.48

5.如图，周长为68的矩形420被分成7个全等的矩形，贝

A.98B.196C.2：

(1)AAEF是什么三角形?证明你的结论.

(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三

线AC上一点，DE1AC于E,ZADE:NEDC=2:3,求:

六小结与作业

从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边1

异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；

角三角形，11斜边上的中线等于斜边的一半”。

评价与反思

，具体操作过程如下；

折痕为MN,如图⑴.

MN上，折痕为AE,点B在MN上的对应点为B',得RtAABzE.如

〒痕EF.如图(3).

证明：菱形四条边相等

1.已知平行四边形ABCD,且AB=AD,求证

使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题，提高能力①AB=BC=CD=DA

义、性质将易混淆的知识点分清楚，并以此培养学生辨正观点

数学与理论数学的相互转化。

一个菱形来吗？

的边折叠到较长的边上，剪去不重合部分，可得到一个菱形。

已知菱形对角线相交于求证：对角线互

个菱形，也认可。/\2.ABCD,0,

__________________________________________叫菱形。

平行四边形的性质

____________®___________________________________

三.例题讲解

例1.如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E.

需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下

排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，贝IJI

①$=底乂高___________________

②s=对角线乘积的一半

I边长为20w,N4吐60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路力C

j积（分别精确到0.01m和O.Olmb.B<

五：课后小结

矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表:

矩形

共有性质

特有性质

长，则它的一组邻角的度数分别为

为2,则菱形的面积为.

1.在解已知菱形的题目时，既要注意菱形的特殊性质，又

对条对角线的交点，AC=8cm,DB=6cm,菱形的边长是cm.

2.计算菱形的面积有两种方法。我们在解题过程中要注意

，对角线AC：BD=4：3,那么对角线AC=cm,BD=cm.常重要的。

:,如果一条对角线长为12厘米，3.图形的定义既是这个图形的•个性质，又是这个图形的

D用它的定义判定是最基本、最重要的方法。

>AC=8,BD=6,求：菱形的局4.矩形、菱形都是特殊的平行四边形。矩形有•个特殊角

我们要注意比较矩形和菱形之间的异同点。

B六布置作业

评价与反思

E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF.求证：ZAEF=ZAFE.

二、精典例题

果题：正方形性质

例1、已知:如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0

性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系重合，A'B'交BC于点E,A'D'交CD于点I

解决问题的能力。求证：OE=OF

联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点

四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特

;的定义，观察这两种图形的定义是在什么图形的基础上给出的，

的定义是在矩形基础上给出的，即：

矩形叫做正方形。

、矩形、平行四边形的关系。

矩形

注：①重合部分（四边形AECF）与正方形ABCD的面积关;

②正方形ABCD改成矩形，结论还成立吗？其它四边形।

正方形

例2、如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，£是1

求证：AE=BC+CE。

菱形

志直角的平行四边形叫做正方形。

下定义的？

边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，那么它具有什么性质呢？

巨形、菱形这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质三巩固练习

在边长为的正方形中有一点那么这个点到

J四个角都是直角，四条边相等。1.2P,PI

两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

是轴对称图形，并找出对称轴，平行四边形不是的，矩形、菱形、2、正方形ABCD中，AC=10,P是AB上任意一点，PE±

可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对

于。

3如图在正方形48切中，CE=MN,乙底=35°,那么

6以锐角△4比的边AC,46为边向外作正方形和正方:

（1）试探索朝和"'的关系？并说明理由.

（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，

C.65°D.75°

正方形按如图所示摆放，点A,、Az、…、4分别是正方形的中心,

四、课堂总结，发展潜能

积和为（）

正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关，

图表示出来.

1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显:

边角

平行四

卜角线AC、BD的交点,边形

、F,若AE=4,

矩形

菱形

正方形

五布置作业

评价与反思

四边形吗？

3若BE=DF,四边形BFDE是平行四边形吗？

边形的判定

例2、如图，如果OA=OC,OBVOD那么四边形AB(

J判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.四边形。这个结论成立吗？如果成立，你能证外

边形的判定方法和性质来解决问题.

联想及运动的思维方法来研究问题.

假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出2

论一定成立，这种证明方法叫做反证法。

例3如图，平行四边形纸条ABCD中，E,F分别是:

方法及应用.

(1)四边形ABFE是平行四边形吗？请说明理由.

定理与性质定理的灵活应用.

(2)连结AE、CF,四边形AFCE是平行四边形吗

性质有哪些？

的？具备什么的四边形是平行四边形？请与同学交流。

的四边形是平行四边形

相等的四边形是平行四边形。

(3)将(1)中的纸条下半部分四边形ABFE沿EF翻

求/B'FC的大小.

(4)当AF,CE分别是NDAB,NBCD的平分线时，

(5)你能变换一下条件，使四边形AFCE仍是平行四

的四边形是平行四边形。

:行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CFo

:平行四边形。

三、随堂练习

FDE是平行四边形吗？

1AC于F,四边形BFDE是平行1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点0,

B

BC=cm,CD=cm时,四边形ABCD为平行四边形；

1AO^cm,DO：cm时,四边形ABCD为平行四边形.

/CD,请补充一个条件,使得四边形ABCD是平

2.如图，等边三角形ABC的边长为a,P为4AE

戈的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可画个。〃AC,那么，PD+PE+PF的值为一个定值.这个定值表

a,b,c,d,且£+y+(?旦2=2ac+2bd,则这个四边形

BC,分别添加下列条件,①AB〃CD,②AB=DC,③AD=BC,

能使四边形ABCD成为平行四边表的条件的序号是

交于0,EF过息0交AD于E,交9于下，6是物的中点，H是0C

风说明理由.

3、田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角

田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一f

建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实田

图形；若不能，请说明理由(画图要保留痕迹，不1

五小结与作业

两组对边分别平行

1.从边与边的关系：

女图，AF〃BC,EC±BC,BA〃DE,BD〃AE.甲、乙两人同时从B站一组对边平行且相等的,的四边力

戋是B-AfE-F；乙乘2路车，路线是B-D-C-F.假设两车速两组对边分别相等

IK么谁先到达F站？说明理由

2.从角与角的关系：两组对角分别相等的四边形是耳

3.从对角线的相互关系对角线互相平分的四边，

评价与反思

例2、已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各过

的判定

求证：四边形是EFGH是矩形。

Z的判定定理的证明并会灵活运用。

E明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明

受和情推理是人们正确认识事物的重要途径。

上的思考方法，培养学生演绎推理的能力。

及应用。

用。

；教具，课堂上进行演示，使学生注意观察四边形角的变化，当变

:时平行四边形是矩形，使学生明确矩形特殊的平行四边形（特殊例3如图04比〃四内角平分线相交于反F、G、i

深刻理解矩形与平行四边形的联系与区别。求证：四边形W〃是矩形

责有哪些？

8形是矩形？具备什么的四边形是矩形？请与同学交流。

曼角平行四边形是矩形。

5的平行四边形是矩形。

上直角的四边形是矩形。第四步：课后练习

1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=

匡是不是矩形⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，

⑶将直角尺靠紧窗框的•个角（如图③），调整窗框的边