高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（15）：随机抽样与统计

高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十五）第一节随机抽样一、必记3个知识点1．简单随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个①________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会②________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——③________法和④______________法．(3)一般地，抽签法就是总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，⑤______________后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．(4)随机数表法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．(5)简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．2．系统抽样(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(ⅰ)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；(ⅱ)确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝⑥________；(ⅲ)在第1段用⑦________确定第一个个体编号l(l≤k)；(ⅳ)按照一定的规则抽取样本．通常是将l⑧________得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号⑨________，依次进行下去，直到获取整个样本．(2)当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用⑩________.3．分层抽样(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)当总体是由⑪________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是⑫________的．二、必明2个易误点1．认清简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者间的区别与联系，是正确选择抽样方法的前提．2．在系统抽样中，应先确定分段间隔，然后再确定入样个体编号间的关系．三、技法1.解决简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.2.系统抽样应注意的问题=1\*GB2⑴系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．=2\*GB2⑵系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行.参考答案①不放回②都相等③抽签④随机数表⑤搅拌均匀⑥eq\f(N,n)⑦简单随机抽样⑧加上间隔k⑨(l＋2k)⑩系统抽样⑪差异明显⑫均等第二节用样本估计总体一、必记3个知识点1．频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的①________估计总体的分布．另一种是用样本的②________估计总体的数字特征．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示③________，数据落在各小组内的频率用各小长方形的④________表示．各小长方形的面积总和⑤________.(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着⑥________的增加，作图时所分的⑦________增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为⑧________________，它能够更加精细地反映出总体在各个范围内取值的⑨________.(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．2．众数，中位数，平均数(1)众数：在一组数据中，出现次数⑩________的数据叫做这组数据的众数．(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在⑪________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的⑫________.(3)平均数：样本数据的算术平均数．即eq\x\to(x)＝⑬__________.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该⑭________.3．样本方差，标准差标准差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，eq\x\to(x)是⑮________.标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量⑯________总体容量时，样本方差越接近总体方差．二、必明1个易误点不要把直方图错认为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，连续随机变量在某一点上是没有频率的．三、技法1.众数、中位数、平均数及方差的意义及计算公式(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述，平均数、中位数、众数描述数据集中趋势，方差和标准差描述波动的大小．(2)平均数、方差的公式推广．①若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.(ⅰ)数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；(ⅱ)数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.(3)方差的简化计算公式．s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.2.茎叶图的应用(1)茎叶图中的“茎”上的数字代表十位上的数字，“叶”上的数字代表个位上的数字(若没有则表示该数据不存在)；(2)解题时，可把茎叶图中的数字按大小顺序转化为总体的个体数字再求解.3.绘制频率分布直方图时的2个注意点(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．(2)频率分布直方图的纵坐标是eq\f(频率,组距)，而不是频率．4．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式(1)eq\f(频率,组距)×组距＝频率．(2)eq\f(频数,样本容量)＝频率，此关系式的变形为eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数.参考答案①频率分布②数字特征③eq\f(频率,组距)④面积⑤等于1⑥样本容量⑦组数⑧总体密度曲线⑨百分比⑩最多⑪最中间⑫中位数⑬eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)⑭相等⑮平均数⑯接近第三节变量间的相关关系与统计案例一、必记4个知识点1．两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在①__________附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程(1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定参数．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中②____________称为样本点的中心．(3)相关系数当r＞0时，表明两个变量③________________；当r＜0时，表明两个变量④________________.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性⑤________.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于⑥________时，认为两个变量有很强的线性相关性．4．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．二、必明4个易误点1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．2．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．3．r的大小只说明是否相关，并不能说明拟合效果的好坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据，必须将二者区分开来．4．独立性检验的随机变量K2＝2.706是判断是否有关系的临界值，K2＜2.706应判断为没有充分依据显示X与Y有关系，而不能作为小于90%的量化值来作出判断．三、技法1.判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．(3)线性回归方程中：eq\o(b,\s\up6(^))＞0时，正相关；eq\o(b,\s\up6(^))＜0时，负相关.2.求线性回归方程的基本步骤(1)先把数据制成表，从表中计算出eq\o(x,\s\up6(－))、eq\o(y,\s\up6(－))，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)、x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值．(2)计算回归系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)写出