数学公式大全初中高中

初中数学公式大全

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行

10内错角相等，两直线平行

11同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180。

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30。那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，ERaA2+bA2=cA2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系於2+92=”2,那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360。

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)xl80°

51推论任意多边的外角和等于360。

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即$=(axb)+2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一

点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它

的一半

82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的

一半L=(a+b)+2S=Lxh

83⑴比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性质如果a/b=c/d=...=m/n(b+d+…+n#0),那么

(a+c+...+m)/(b+d+...+n)=a/b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形

的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所

对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线L和。O相交d<r

②直线L和。O相切d=r

③直线L和。O相离d>r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含d<R-r(R>r)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n(r仑3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)xl80°/n

140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

142正三角形面积“3a/4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°,因此kx(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R/180

145扇形面积公式：S扇形=n兀RA2/360=LR/2

146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

147完全平方公式：(a+b『2=aA2+2ab+bA2

(a-b)A2=aA2-2ab+bA2

148平方差公式：(a+b)(a-b)=aA2-B2

(还有一些，大家帮补充吧)

实用工具:常用数学公式

公式分类公式表达式

乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|<|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|-|a|<a<|a|

一元二次方程的解-b+«b2-4ac)/2a-b-d(b2-4ac)/2a

根与系数的关系XI+X2=-b/aXl*X2=c/a注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0注：方程没有实根，有共趣复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=d((1-cosA)/2)sin(A/2)=-^((1-cosA)/2)

cos(A/2)=«(1+cosA)⑵cos(A/2)=・«(1+cosA)⑵

tan(A/2)=«(1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=H((1-cosA)/((l+cosA))

ctg(A/2)=Y((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-Y((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

l+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+l)/2l+3+5+7+9+U+13+15+...+(2n・l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+l)(2n+l)/6

13+23+33+43+53+63+...n3=n2(n+l)2/4l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...+n(n+l)=n(n+l)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h

正棱锥侧面积S=l/2c*h,正棱台侧面积S=l/2(c+c')h，

圆台侧面积S=l/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2

圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=l/2*c*l=pi*r*l

弧长公式1=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=l/2*l*r

锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=l/3*pi*r2h

斜棱柱体积V=SL注：其中S是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V二s*h圆柱体V=pi*r2h

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xEA<=>X必CLJA.,JCCLJA.<=>xA.

2.德摩根公式

G(AB)=CUACuB;C)j(A6)=G/ACVB.

3.包含关系

AB=A<=>AB-BCVBcCL/A

<=>A,CJJB=①<=>CJJAB—R

4.容斥原理

card(AB)=cardA+cardB-card(AB)

card(ABC)=cardA+cardB+cardC—card(AB)

—card{AB)—card(BC)—card(CA)+card(ABC).

5.集合｛%,4,,a,J的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个：非空子集有2"-1个；非空的真子集

有2"-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a0);

(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a*0);

(3)零点式/(x)=a(x-x,)(x-0).

7.解连不等式N</(x)<M常有以下转化形式

,、M+N,M-N

<=>IfM———1<—^―o把粉。

11

<=>------------->-----------

f(x)-NM-N

8.方程y(x)=o在(占#2)上有且只有一个实根，与/(%)/(&)<o不等价，前者是后者的一个必要而不是

充分条件.特别地，方程a?+)r+c=O(a工0)有且只有一个实根在(人次2)内，等价于/(占)/(&)<0,或

/(匕)=0且匕<<左],或于也)=0且Kj后<<心.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)=af+bx+c(a。0)在闭区间[p,同上的最值只能在x=一2处及区间的两端点处取得，具

2a

体如下：

b5

⑴当a>0时，若彳=一丁6[P，司，则=/(一丁)JOOmax=max{/(P)，/(。)}；

2a2a

x=一■任［p，4，/(x)nrax{/(P)，/(/}，/(耳血=min{/(P)J@)}•

(2)当a<0时,若》=一《€[〃，司,则mi{n/p求卜，若"二一2任五司’则

/(xla=ma(x/k)力},/(x)^=min{/(/?),/(<7)}.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若/(呵/(〃)<0,则方程/(x)=0在区间(加,〃)内至少有一个实根.

设f(x)=x2+px+q,则

p1-4(7>0

(1)方程/(x)=0在区间(〃2,+00)内有根的充要条件为/(〃2)=0或<p

-J->m

12

f{rn)>0

/(n)>0

/(加)=0

(2)方程/(x)=0在区间(如〃)内有根的充要条件为/(m)/(rt)<0或<p?-4qN0或,或

叭〃)〉0

m<--<n

2

/(«)=0

af(m)>0

p2-4^>0

(3)方程/(%)=0在区间(-00,〃)内有根的充要条件为/(m)<0或<

--<m

2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

⑴在给定区间(—8,+8)的子区间L(形如履⑶，(—8,⑶，L，+oo)不同)上含参数的二次不等式

C(f为参数)恒成立的充要条件是/(%/心2>0(x^L).

(2)在给定区间(-8,+8)的子区间上含参数的二次不等式C(f为参数)恒成立的充要条件是

0金L,.

a>0

a<0

(3)f(x)=of+^+C>0恒成立的充要条件是<bNO或.

b2-4ac<0

c>0

12.真值表

pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有(〃-1)个

小于不小于至多有〃个至少有(M+1)个

对所有X,存在某X,

成立不成立p或q—\p且—\(J

对任何X,存在某X,

不成立成立p且q或

14.四种命题的相互关系

15.充要条件

(1)充分条件：若pnq,则p是4充分条件.

(2)必要条件：若q=>p,则p是q必要条件.

(3)充要条件：若p=>q,且则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设西•々€[a,/?1%w/那么

(王一七)[/(王)一/(9)]>0o(W)>o=/(X)在卜,口上是增函数；

X一工2

(%_9)[/(石)一/(巧)]<()0/⑷1/3)<o=/(X)在[a,U上是减函数.

内一々

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(x)为增函数；如果_f(x)<0,则/(x)为减

函数.

17.如果函数/(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；如果函数

y=/(〃)和〃=g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=/[g(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那

么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

19.若函数y=/(x)是偶函数，则/(x+a)=/(—x—a)；若函数y=/(x+a)是偶函数，则

f(x+a)^f(-x+a).

20.对于函数y-f(x)(xe/?),f(x+«)=/(Z?-x)恒成立，则函数/(x)的对称轴是函数％=g—;两

a+b

个函数y=/(*+。)与丁=f(b-X)的图象关于直线％=对称.

2

21.若/(x)=—/(—x+a),则函数y=f(x)的图象关于点弓,0)对称；若/(x)=—/(x+a),则函数

y=f(x)为周期为2a的周期函数.

nn

22.多项式函数P(x)=anx+an_iX~'++/的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数。P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数oP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=/(x)的图象的对称性

⑴函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称o/(a+x)=/(a—x)

=/(2a-x)=/(x).

(2)函数y=/(x)的图象关于直线％/对称o/Xa+zwOnf(b-mx)

=f(a+h-mx)-f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y=f(mx一。)与函数y=/S-/nr)的图象关于直线x=-对称.

2m

(3)函数y=/(x)和y=/t(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移b个单位，得到函数y=/(x—a)+b的图象；若将曲线

/(x,y)=O的图象右移a、上移匕个单位，得到曲线/(工一名丁一。)=0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(G=bS=a.

27.若函数y=/(依+。)存在反函数，则其反函数为y=1"T(x)—可，并不是y=[/一("+切，而函数

k

y=[f~'(Ax+8)是y=YI/W一"I的反函数.

k

28.几个常见的函数方程

⑴正比例函数/(%)=CX,/(x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指数函数f(x)=优,/(%+y)=/(x)/(j),/(l)=aw0.

(3)对数函数f(x)=log“x,/(xy)=/(%)+/(y),/(a)=l(a>0,aH1).

⑷基函数/(x)=F,f(xy)=f(x)f(y),/(I)=a.

(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,f\x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(y)，

x-»0x

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(X)=f(X+a),则/(x)的周期T=a；

(2)/(x)=f(x+a)-0,

或/(x+a)=(f(x)*0),

f(x)

或/(x+a)=-(/(A-)*0),

/(x)

或;+\lfM-f2(x)=f(x+a),(/(x)e[0,l]),则f(x)的周期T=2a；

(3)f(x)=1-------(/(x)*0),则/(x)的周期T=3a；

f{x+d)

(4)/(%+々)=伊且/⑷=1(/(不)•/(/)H1,0<|王一赴|<2a)，则/(x)的周期T=4a;

1-/U1)/(^2)

(5)/(x)+/(%+〃)+f(x+2a)f(x+3〃)+f(x+4。)

=/a)/a+〃)/(x+24)/a+34)/a+4〃)，则/(%)的周期T=5a；

(6)f(x+。)=/(幻一f(%+。),则/(x)的周期T=6a.

30.分数指数幕

巴1

(1)an=,——(a>0,m,neN",且〃>1).

yJa

-%1

(2)an=——(a>O,n〃£N*,且〃>1).

31.根式的性质

(1)而)"=a.

(2)当〃为奇数时，C=a；

I—fa,a20

当〃为偶数时，<a"=|a|=1

-a,a<Q

32.有理指数基的运算性质

(1)a'-as-a'+s(a>0,r,1ve0.

(2)(a')'=a"'(a>0",seQ).

(3)(ab)r-a'b'(a>O,b>O,r&Q).

注：若a>0,p是一个无理数，则a”表示一个确定的实数.上述有理指数累的运算性质，对于无理数指数

嘉都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log“N=Z?o"'=N(a〉0,awl,N>0)

34.对数的换底公式

logN

log.N=--—(Q>0,且awl,m>0,且mwl,N〉0).

'log,”a

n

推论logb"=—log„b(a>0,K<2>1,根,〃>0,且加Hl,N>0).

"m

35.对数的四则运算法则

若a>0,a^l,M>0,N>0,则

⑴log“(MN)=log“M+log„N;

(2)log„q=log„M-log„N;

(3)log“M"=nlogaM{nGR).

36.设函数/(x)=log,”(ax2+bx+c)(a^0)，记△=〃-4ac.若/(x)的定义域为R,则a>0,且△<0；

若/(x)的值域为R,则a>0,且△2().对于a=0的情形,需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若。>0,人>0,X>0,XRL,则函数y=k>g“rSx)

a

(1)当a>8时，在(0」)和(L+8)上y=log,"(bx)为增函数.

aa

.⑵当a〈。时，在(0,工)和(4,+ao)上y=logav0x)为减函数.

aa

推论:设〃〉加〉1，/?>0>a>0>且arl，则

⑴log,.+p(〃+P)<log“"

,,,,m+n

(2)logamlogfln<log(1--^―.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值了,有y=N(l+p)1

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

a„={P(数列{a,J的前n项的和为s.=4+出++«„).

40.等差数列的通项公式

an=q+(n-V)d=dn+aiN*)；

其前n项和公式为

〃(q+%)n(n-l)

s,=---!----=na.+(-------a

nt212

_d1小

="n2+z(q-~d)n.

41.等比数列的通项公式

an-%q'i=幺.q"(nGN*)；

q

其前n项的和公式为

s“=jj

nat,q=1

或i-q-

navq-\

42.等比差数列{«„}:%=qa“+d,ax=b(q*0)的通项公式为

b+{n-\)d,q=1

nn

an=\bq+(d-b)(]-'-d,;

-----------:-------，什]

.q-i

其前n项和公式为

nb+n(n-Y)d,(q=1)

sn=<,,d\l-q"d.•

(b---)―^-+-—

l]-4<7-11-<7

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款x=元(贷款。元,〃次还清，每期利率为b).

44.常见三角不等式

TT

(1)若X£(0,—),则sinx<x<tanx.

(2)若工£(0,^)，WO1<sinx+cosx<V2.

(3)|sinx|4-|cosx|>l.

45.同角三角函数的基本关系式

*Zj

sin?。+cos26=1,tan0-——,tan0-cotO=1.

cos。

46,正弦、余弦的诱导公式

n

,九、(-1)2sina,（n为偶数）

sin(—+(7)=

〃一1

2

(-1)cosa,（n为奇数）

n

（n为偶数）

/〃乃、(-1)2cosa,

COS（--------F6Z）=<

n+l

（n为奇数）一(-1)2sina,

47.和角与差角公式

sin(a±/?)=sinacos(3±cosasin/3；

cos(a±/?)=cosacos0sinasin/;

tana±tan〃

tan(«±0)

1tanatan°

sin(^z+/?)sin(tz-/?)=sin26z-sin2/?(平方正弦公式)；

cos(a+0)cos(a—尸)=cos2a—sin?/?.

qsina+0cosa=/7T^sin(a+0)(辅助角°所在象限由点(a,〃)的象限决定，tan—).

a

48二.倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2cif-sin2a-2cos2a-\-l-2sin2a.

八2tana

tan2a=--------.

1-tan**a

49.三倍角公式

jrJT

sin36=3sin6-4sin36_4sjn^sjn(--^)sin(—+^).

33

-rrjr

cos38=4cos3。-3cos0=4cos。cos(——0)cos(—+6)

33

cc3tanJ—tai?gn7

tan30=--------；---=tan0tan(---0)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函数的周期公式

27r

函数y=sin(GX+0),x£R及函数y=COS(GX+0),X£R(A,s,夕为常数，且AWO,s>0)的周期T=——

co

JI71

函数y=tan(0x+0),xw2乃+耳/£Z(A,s,夕为常数，且ANO,3>0)的周期T

0)

51.正弦定理

b

=2R.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA;

b1=c1+O1-2cacosB;

c1=a2+h2-labcosC.

53面.积定理

(1)/?分别表Ka、b、c边上的局).

S=—ahCf——hhU.=—chv(h4<\hrfz>C

(2)S=—absinC=—bcsinA=—casinB.

222

(3)SWAB=|yl(,\OA\-\OB\)2-(OAOB)2.

54.三角形内角和定理

在AABC中，有A+8+C=»oC="-(A+8)

C71A+Bc-cc/▲n、

—="......——<=>2c—27r-2(A+B).

55.简单的三角方程的通解

sinx=Qox=ATT+(-1)，arcsina(keZ,\a\<1).

cosx=a<=>x=2k7r±arccosa(keZ,|a|<1).

tanx=a=x=k兀+arctana*£Z,a£R).

特别地,有

sin&=sin/?0a=左万+(—1)"f3(keZ).

cosa=cosf30a=2kjv±f3(keZ).

tana=tan/?=>a=&»+0(kGZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a(|a区1)oxwQk兀+arcsina,2攵+%一arcsina),keZ.

sinx<Q(|a区1)oxa(2k/r-TV-arcsina,2k兀+arcsina),k^Z.

cosx>Q(|Q区1)o%£Qk兀-arccosa,2k7u+arccosa\keZ.

cosx<<2(||<1)<=>xG(2攵/+arccosa,2kzr+2^—arccosd),keZ.

tanx>a(aG/?)=>xe(kji+arctana.kri+]),keZ.

71

tanx<a(aGR)=>XE(左乃一耳，氏乃+arctana),左GZ.

57.实数与向量的积的运算律

设入、u为实数，那么

(1)结合律：入(Pa)=(入u)a;

(2)第一分配律：(X+p)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b-a(交换律)；

(2)(2a)•b=2(a*b)=2a*b=a*(2b);

(3)Ob)•c=a•c+b•c.

59.平面向量基本定理

如果,、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数人1、X

使得a=入©】+入2e2.

不共线的向量巳、会叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设好(为，乂)，1)二(工2，%)，且bwO,则ab(bwO)Ox1%一%2%=。.

53.a与b的数量积(或内积)

a•b二abcos0.

61.a-b的几何意义

数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.

62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(%,y),b=(%2，%)，则a+b=Qq+%2，乂+%)・

(2)设a=(西，y),b=(々，%)，则a-b=(%一/，必一必)・

⑶设A(X1,y),B(x2,y2),则=-。4=(天一阳,必一乂),

(4)设a=(x,y),2e/?,则Aa=(Ax,Ay).

⑸设a=(X],y),b=(X2，%)，则a,b=(x)x,+^y2).

63.两向量的夹角公式

cos0=/「々3?,(，(％,M),b=(%,%)).

网+¥・收+区

64.平面两点间的距离公式

dAR=\AB\=^ABAB

=J(X2-X|)2+(%-X)2(A(不，乂)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设好(％,%)，1)二(工2，%)，且bHO，则

Abob二人aOX1%—/']：。.

alb(awO)Oa・bRoX]/+*%=。.

66.线段的定比分公式

设6(%,y),鸟(9,为)，P(%,y)是线段《鸟的分点，丸是实数，且片P=4Pg，则

_石+Zx2

X=1+广CDOPi+AOP,

_yx+/ty21+A

y=~

、1+2

<r>OP=tO^+(l-t)OP,g-iy).

1+4

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(X|,y)、B(x2,y2),Cj,丫3),则△ABC的重心的坐标是

%+々+七y+%+%

G().

3'3

68.点的平移公式

x=x+hx-x-h

,o4<^>OP=OP+PP

y=y+k[y=y~k

注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P'(x,y),且P尸的坐标为(力次).

69.“按向量平移”的几个结论

⑴点P(x,y)按向量a=(力,％)平移后得到点P(x+h,y+k).

(2)函数y=/(九)的图象C按向量a=(〃M)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y=f(x-h)+k.

(3)图象C'按向量a=(/?,Z)平移后得到图象C,若C的解析式y=f(x),则C的函数解析式为

y=f(x+h)-k.

⑷曲线C：/(x,y)=0按向量a=(九Q平移后得到图象C',则C'的方程为/(x—y—6=0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/j,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为A4BC所在平面上一点，角AB,C所对边长分别为"c,则

222

(1)。为AA8C的外心oQ4=08=OC.

(2)。为MBC的重心oQ4+Q3+OC=0.

(3)。为ZVIBC的垂心oOA-OB=OBOC=OC-OA.

(4)。为A48c的内心。aQ4+灰?3+cOC=0.

(5)。为A43c的NA的旁心oaQ4=bOB+cOC.

71.常用不等式：

（1）a,b£R=a?+h2>2ab（当且仅当a=b时取“二”号）.

(2)a,beR+>4^b（当且仅当a=b时取"="号）.

(3)a3+Z>3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(qc+bdf,a,b,c,deR.

(5)-]w[+4w]4+国.

72.极值定理

已知X,y都是正数，则有

(1)若积孙是定值p,则当x=y时和x+y有最小值

1,

（2）若和x+y是定值s,则当x=y时积刈有最大值一$2.

推广已知则有(x+y)2=(x-y)2+2孙

(1)若积节是定值，则当定-川最大时，|x+y|最大;

当|x-y|最小时，|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，则当定-y|