高中数学人教A版2019选修第一册教案空间向量及其运算的坐标表示

专题12空间向■及其坐标表示

★★★★学习目标★★★★

1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.

2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.

3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问

题.

★★★★问题导学★★★★

知识点一空间向量的坐标运算

思考设机=3，yD，〃=3，刈），那么加+小m-n,力n,机•"如何运算？

答案m+n=（x\+x2,yi+y2），m—n=（x\—X2,川一以），Am=（AXi,Ayi）,mn=x\X2-\-y\y2.

梳理（1）空间向量a,b,其坐标形式为：a=（〃”。2，。3），b=（b\,bz,左）,

则。+5=（4]+力|,〃2+82，内+必），

a-b=Q-bi，。2-岳，俏—左），

痴=（九7],力。2，2々3），

+。282+〃363.

（2）a.a=|a|2=a；

知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角

设。=（。1，。2，。3），b=（h\,M①），则

满足条件

名称

向量表示形式坐标表示形式

a//ba=WeR）cii=/b1,。2=壮＞2,〃3=2Z?3（2£R）

a-Lbab=01+a2b2+。3优=0

模\a\=\la-a\u\=yjQ；+Q；+dy

cos〈a,b)=

/a,b

夹角cos(a,b)---------

⑷闻a}b]+612b2+a3b3

+a；+a；•J厅+房+片

★★★★典型例题★★★★

类型一空间直角坐标系与空间向量的坐标表示

例1设正四棱锥SPP2P3P4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系，求可卜由＞3的坐标.

解如图所示，建立空间直角坐标系，其中。为底面正方形的中心，PiP21Oy

轴，PI「4_L0X轴，5。在Oz轴上.；|PIP2|=2,而PI、生、尸3、Rj均在xOy平

面上，

P2(-1,1,0).

在xOy平面内，P.3与尸I关于原点O对称，2与尸2关于原点。对称，.•.尸3(-1,-1,0),

巴(1,-1,0).

又|SP|=2,|OPi|=0,

在RtASOP,中，|SO|=y/2,

/.5(0,0,&).

SP।=OPi—OS=(1,1,--\/2),

P2Pi=OP3—OP2=(0,—2,0).

反思与感悟建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜.

向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求点的坐标时，一定要注.意向量的起点是否在原

点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.

跟踪训练1如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A山iGOi的棱长为

1,则屈1等于（）

4

A.（0,卜1）

B.J—,0»1

I4

1、

C.0,——,1

4

D.0,-1

4

答案C

3—■1

解析仇1,1,0）、Ei（l,1）,BEi=（0,1）.

44

类型二空间向量平行、垂直的坐标表示

例2己知空间三点4(-2,0,2).,5(-1,1,2),C(一3,0,4),设片通,b=AC.

(1)设|c|=3,c//BC.求c；

⑵若ka~\~b与ka-2b互相垂直，求k.

解(1)因为方C=(—2,—1,2),且。〃JBC,

所以设c=ZBC=(—2A,—z,2z),

得|c|=J(-21)~+(2))~=3|A|=3,

解得2=±1.即c=(—2,—1,2)或c=(2,l,-2).

(2)因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(—1,0,2),

所以&r+b=(A—1,Z,2),ka—25=(&+2,k,-4).

又因为(布+b)_L(ki-2b),所以(而+b)・(Za—2〃)=0.

即(％—1,k,2)-(k+2,k,-4)=2/+2—10=0.

解得k—2或——.

2

反思与感悟向量平行与垂直问题的三种题型

题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行.与垂直的条件进行判断.题型2：利用平行

与垂直求参数或其他问题，,即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数（比如向量a,b

平行，可设a=M）,建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.题型3:

利用向量坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与

平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解.

跟踪训练2（2020•宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理））如图，已知三棱柱ABC-中，

侧棱与底面垂直，且A4,=AB=AC=2,ABYAC,M>N分别是CG、8c的中点，点P在

线段上，且第=丸函.

（1）求证：不论X取何值，总有

（2）当2=1时，求平面PMV与平面ABC所成二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

14

【解析】以点A为坐标原点，以AB、AC.A4所在直线分别为x、y、z轴，建立如下图所示

的空间直角坐标系A—孙z,则4（0,0,2）,B,（2,0,2）,M（0,2,1）,N（l,l,0）.

_____________1_____0()/

(1)•.•平=4西=4(刎一F)，=2,0,0)=1J-J,0,0

+邛=(0,0,2)+[三,0,0]=1二,0,2

丽=瓶一/=（][,0）一（思,0,2）（修」,一2

•.,加=（0,2,1）,.•.府.丽=0+2-2=0,

因此，无论2取何值，AMA.PN；

（2）当4=1时，P（l,0,2）,丽=（0,1,—2）,PM=（-1,2,-1）,

而平面ABC的法向量3=（0,0,1）,设平面PMN的法向量为而=（x,y,l）,

in-PM=-x+2y-l=0

，解得c,则肩=（3,2,1）,

m-PN=y-2=0y=2

设a为平面PMN与平面ABC所成的锐二面角，则cosa=

因此，平面PMV与平面ABC所成二面角的余弦值是巫

14

类型三空间向量的夹角与长度的计算

例3（2020•广东省高三其他（•理））已知几何体45CD£下中，AB//CD,FC//EA,AD±AB,

AEJ_面ABCD>AB=AD=EA-2，CD-CF=4.

（1）求证：平面皮肥_L平面BCf；

（2）求二面角E-BO-F的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD中由已知可得

'.'FC//EA,且面ABCD,

.•.R7_L平面ABC。，

BC（^ABCD,:.BDLFC,

FC[}BC=C,BCu面BCF,FCu面8CF

且BDu面BDF,故面面BCR;

(2)分别以D4、QC所在直线为x轴、>轴，以。为垂足作面D4c的垂线。Z为z轴，建系如图

0(0,0,0),8(2,2,0),E(2,0,2)户(0,4,4),

则加=(2,2,0),诙=(2,0,2),方=(0,4,4),

设面DEB的法向量为m-(x,y,z),

伍•丽=012x+2y=0

则〈一口〈c〜八，

、m-DE=0I2x+2z=0

取X=l,则y=z=-l,故而=(1,一1,一1)

、、_n-DB-02x+2y=0

设面QB/7的法向量为〃=(x,y,z),则<---,八，

而・DF=U[4y+4z=0

取1=[,则y=-l,z=l,故3=(1,-1,1)

m-n_1+1-1_1

则cos<m,n>-

Im|•|n|V3x733

由图可得二面角E-BO-F的余弦值为;.

反思与感悟通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以

便写点时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标

化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.

跟踪训练3(2020•江苏省高二期中)在直三棱柱ABC-45C中，ABLAC,

AB=AC=2,AA=4,点。是8C的中点.

B

(1)求异面直线48,AG所成角的余弦值;

(2)求直线AB】与平面GAO所成角的正弦值;

(3)求异面直线48与AQ的距离.

【答案】(1)£.(2)(3)-

5153

【解析】以入月，AC＞-为X,y,z轴建立按直角坐标系4一孙Z,

则各点的坐标为3(2,0,0),4(0,0,4),G(0,2,4),£>(1,1,0).如图:

(1)所以常=(2,0,—4),元=(0,2,4),

--------164

所以cos<AB,AC,>=—j=——7==一一

G1720x7205

4

故异面直线AB和AC,所成角的余弦值为y.

(2)涵=(2,0,4),AP=(l,l,0),设平面GA。的法向量为3=(x,y,z).

n-AC.=02y+4z=0

则《-1即<,取x=i,得〃

n-AD=0x+y=0

福4石

设直线A⑸与平面GA。所成角为仇则sin8=卜os＜鬲,3＞卜

所以直线A片与平面所成角的正弦值为也I.

15

(3)连接4。交于点M,连接DM，易得。

所以4BII平面GA。，故点A1到平面C,AD的距离即为所求异面直线距离.

0xl+0x(-l)+4xl2

阳臼3,

记点A到平面GAO的距离为d,则"=邛「2~3•

4

所以异面直线A/与A。的距离为一.

3

★★★★综合训练★★★★

一、单选题

1.(2020.上海高三专题练习)已知向量M=(1,O,—1),则下列向量中与1成60,的是()

A.(-1,1,0)B.(l,-l,0)C.(O,-l,l)D.(-1,0,1)

【答案】B

【解析】对于A选项中的向量［=(-1,0,1),COS〈且7〉=百百一11一

^7^=一万，则〈24〉=120。；

.-―\。•生11

对于B选项中的向量Z=(l,-1,0),…〉=丽"万丁5,■•则〈2〃2〉=6()；

Cl-—1

对于C选项中的向量Z=(O,—1,1),cosVZq〉-2)则3，Z〉=120°；

|a|-|a2|近,近

对于D选项中的向量%=(—1,0,1),止匕时£=一夕，两向量的夹角为180°.故选B.

2.(2020•宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考(理))已知向量不=(1』,0),5=(一1,0,2),且

布+B与2万-日互相垂直，则％=()

73-1

-C-

A.5B.5D.

-

5

【答案】A

【解析】因为。=(1,1,0),力=(一1,0,2)

:.kci+b=(k—1，左,2),2a—~=(3,2,—2)

又因为女方+B与2l—坂互相垂直,所以+方>(2£—6)=0,

7

，3左一3+2攵-4=0,解得z=§,故选：A.

3.(2020•宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考(理))已知£=(—5,6,1),B=(6,5,0),则Z与

b()

A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向

【答案】A

【解析】a=(-5,6,1),^=(6,5,0),

B=—5x6+6x5+1x0=0,Q_L反故选：A.

4.(2020•延安市第一中学高二月考(理))已知万=(2,—3,1),弓=(4,—6,幻，若］，B，则1等于

()

A.-26B.-10C.2D.10

【答案】A

【解析】根据题意，由于M=(2,—3,1),5=(4,—6/),且有则可知

a-b=0<=>2x4+(-3)x(-6)+lxx=0<=>x=-26,故可知选A.

rr

5.(2020.宜宾市叙州区第一•中学校高二月考(理))若向量2=(1,-1,2),^=(2,1,-3),则2a+b=

()

A.近B.2&C.3D.3亚

【答案】D

【解析】由于向量2=(1,—1,2),7(2,1,—3),所以2:+力=(4,—1,1).

故+1=〃2+(—ly+F=而=3五.故选:D.

6.(2020•绥德中学高二期末(理))已如向量1=(1,1,0),K=(-l,0,l)Kfca+石与日互相垂直，则k=()

A-拉打一竺•

【答案】B

【解析】根据题意，kd+b=fc(l,l,0)+(-1,0,2)=(/c-1,k,2).因为(k五+私1d，所以(/cd+»)・

2=0,则lx(k-l)+kx1+0x2=0,即上=也故选B

7.(2020•安徽省高二期中(理))已知互=(1T,1T"),5=(2,fj),则隆-5|的最小值为()

A.逑B.且C.—D.亚

5555

【答案】A

【解析】已知1=(1—//一，,/),b=(2,t,t\5-^=(-l-M-2r,0).

\a-b\^^(l+r)2+(l-202=产-2f+2=^5(Z-1)2+|>手.

当f时，忖一司有最小值之叵.故选A.

8.(2020•浙江省高三其他)平面2的法向量五=(2,-2,2),平面夕的法向量炉=(1,2,1),则下列命

题正确的是()

A.a、£平行B.a、£垂直C.&、£重合D.a、/不垂直

【答案】B

【解析】平面a的法向量力=(2,-2,2),平面夕的法向量/=(1,2,1),

因为万.口=2-4+2=0,所以两个平面垂直.故选：B.

9.(2020•江苏省祁江中学高一期中)若向量&=(0,1,—1),6=(1,1,0),且0+播)"则实数4的

值是()

A.-IB.0C.-2D.1

【答案】C

【解析】由已知£+%万=(0,1,-1)+2(1,1,0)=(2,1+2,-1),

由(Z+/iB)，£得：0+力6％=(；1,1+/1,—1)・(0,1,—1)=1+/1+1=0,

/.A--2,故选：C.

10.(2020•浙江省杭州第二中学高三月考)己知长方体—中，45=4,BC=3,

AA=2,空间中存在一动点P满足|印卜1,记/1=福・丽，I2^ADAP,，3=菊.丽，

则().

A.存在点P,使得4=//.存在点产，使得/|=A

C.对任意的点P,有对任意的点P,有/2>八

【答案】C

【解析】以片4为X轴，4G为y轴，为z轴，用为坐标原点、建立如图所示的空间直角坐

标系，

则3(0,0,2),4(4,0,2),£>(4,3,2),C,(0,3,0),设点P(x,y,z),

所以方=（T,0,0），丽=（x—4,y,z-2）,而=（0,3,0）,乃=（Y,3,-2）,即=（x,y,z）,

因为|耳尸|=1,所以，x2+y2+z2=l,y,z,

=A6AP=^(x-4),I2=ADAP=3y,

I3—AC1,A.P=-4(x—4)+3y-2(z-2),

，—，2=T（尤—4）-3y=16—4x—3y＞。恒成立，故C正确，A不正确;

乙-，3=—3y+2(z—2)=T—3y+2z,令人=人，则y=~,

即卜次+2=/+(^<+z2=卜,—尸6Ng[6z+16

/4xl3xl6-

\4x134/矛盾，所以B不正确；

3V13

1、—13=4（x—4）+2（z—2）——20+4x+2z＜。恒成立，所以D不正确.

故选：C.

11.（2020・北京高三期末）若点N为点M在平面。上的正投影，则记N=£（M）.如图，在棱长

为1的正方体—中，记平面AgCQ为夕，平面438为7,点尸是棱CG上一

动点（与c、q不重合）2=力［为（尸）［,Q2=^［4（P）］•给出下列三个结论：

「1

①线段P02长度的取值范围是不，:；

②存在点「使得PQ"平面£；

③存在点p使得P0八PQ2.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.②③C.①③D.①②

【答案】D

【解析】取G。的中点。2,过点P在平面A4G。内作PELG。，再过点E在平面CGR。内

作EQ_LC。，垂足为点2.

在正方体ABCD—ABGR中，AZ)J_平面CCQQ,/>£匚平面。£2。，；.尸£：_1_4)，

又；PELCQ,A£>nCQ=。，,•.PE_L平面ABC。，即PE_L£,.(P)=E,

同理可证凤2”,CQ±/3,则4力(尸)卜力(E)=0,方[%(P)]=%(C)=2.

以点。为坐标原点，DA、OC、所在直线分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。一孙z,

设CP=a（O<a<l）,则P（0,l,a）,C（0,l,0）,弓0,彳,，

，等q

0m•

、2

1I,•.•0<«<1,则一;<"g<g,则0411

对于命题①，|P0|=a——<—,

2274

「I0

所以，|PQ|,命题①正确;

22)

对于命题②，-：CQ2Lp,则平面夕的一个法向量为恒=(o,—g,g),

甩=(0,—令函.甩=号一畀子=0,解得"生(0,1),

所以，存在点p使得尸。1〃平面£,命题②正确；

对于命题③，而;=(0,-1，D，令地•.皿=三+e。-1)=0,

(Z2.)42

整理得46—3a+l=0,该方程无解，所以，不存在点P使得PQJP2,命题③错误.

故选：D.

12.(2017•台州市书生中学高二开学考试)如图，在长方体ABCD-A|B|C|D|中，AB=1,BC=JL

点M在棱CCi上，且MD】_LMA,则当aMADi的面积最小时，棱CC1的长为()

A.^1B.典C.2D.垃

22

【答案】A

【解析】

如图所示，建立空间直角坐标系，0(0,0,0),设"(0,1,。,2(0,0,Z),

A(V3,0,0),(z>/>0,z^0),M^=(0,-l,z-/),W=(-V3,l,r),

•.•函_L丽.•.西.丽=T+1z-r)=0,即z—/=；,

S“MD、J1>I函卜;XJ12+M『+/X'+(ZT)2=；XV^7J1+(ZT)2

NN，乙

="，+"1+£|=4+入*4+2h？=/当且仅当"3，z=乎时取

等号，所以CG=z=竽，故选A.

二、填空题

13.(2020.延安市第一中学高二月考(理))已知商=(2,4,x),5=(2,y,2),若|利=6、aLb.

则尤+y的值是.

【答案】一3或1

【解析】因为。=(2,4,x),5=(2,y,2),|利=6,1_(_坂，

lai=V22+42+x2=6[x=4fx=-4

所以F1,解得：\°或｛,，

无人=4+4y+2x=0〔丁=-3p=l

因此x+y=l或一3.故答案为：—3或1.

14.（2020宁夏回族自治区银川二中高二期末（理））已知向量

2=（0,—1,1）,万=（4,1,0）,四+司=屈，且4>0,则4=.

【答案】3

【解析】因为a=（0,—1,1）,5=（4,1,0）,14+同=后,

所以初+5=（4,1-2,2）,

可得16+（1—4）2+九2=29,

因为2>0,解得;1=3,故答案为3.

15.（2020•合肥一六八中学高三其他（理））已知长方体ABCD-,AB=BC=1,A&=2,

在A4上取一点M,在BC上取一点M使得直线MN//平面AACG,则线段MN的最小值为

2

【答案】一

3

【解析】如图，以D4,DC,£>A为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(l,0,0),C(0,l,0),0(0,0,0),4(1,0,2),(1,1,2),C,(0,1,2),D,(0,0,2),

AC=(-1,1,0),羽=(0,0,2),设平面AC04的一个法向量为万=(.y,z),

[p-AC=-x+y=0.八一

则〈一—-c八，取x=l，则丁=1匕=0,即〃=(1,1,()),

[p•A4,=2z=0

又相=(0,1,-2),眉=(一1,0,-2),4^=(0,1,0),

944

22

1+a-+

55-9-9-

九_4£±1=0

当，5即＜:时，］旃『取得最小值即脑V的长度的最小值为|.

//--=0

I9

2

故答案为：一.

3

16.（2020•安徽省北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面a,0的法向量分别为£=（4,0,3）,

v=（-1,1,0），则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为.

【答案］逑

5

【解析】两个平面a,耳的法向量分别为：=（4,0,3），v=（-1,1,0）-

则这两个平面所成的锐二面角的大小是0,

这两个平面所成的锐二面角的余弦值为述.

5

故答案为：述

5

三、解答题

17.（2020・上海高三专题练习）如图，在正三棱柱A8C-44G中，A3=2，M=3,p为侧

棱CG上一点.

（1）求证：侧棱CG上不存在点P使用P，平面A8A4；

（2）CG上是否存在点P使得若存在，确定PC的长；若不存在，说明理由.

7

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，一

3

【解析】（1）反证法.若CG上存在点P,使J_平面ABB{\,则平面BCC.B,1平面ABBX\.

又耳，8C,面AB4A..矛盾；

（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系.

设尸（0,2,z）,4（。，。，3）,5（73,1,0）,5,（734,3）,

故4户=（^3）,邛=（百,1,一3）,若AB则47.入方=（），故-3+l-3（z-3）=0,

解得z=Z,此时P（0,2，Z],故PC=N

3I3j3

18.（2020•上海复旦附中高二期中）如图四棱锥P—A3。□中，Q4,底面ABC。，AACD是边长

为2的等边三角形，且AB=BC=&，PA=2,点M是棱PC上的动点.

（I）求证：平面PAC_L平面P8E＞；

（II）当线段MB最小时，求直线MB与平面P8D所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）叵.

10

【解析】（I）证明：：24,底面ABC。，BDu底面ABCD，

；•PAA.BD.

取AC的中点O,连接08,0。，

•••△ACD是等边三角形，AB=BC,

/.ACLOB,AC10D,

.•.点O,B,£＞共线，从而得AC±BD,

又PAC|AC=A,

3。，平面PAC，

■:BOu平面P3D，

，平面P4C_L平面尸比».

(II)解：取CP中点E,连接OE,则OE〃弘,

/.EO_L底面A8Q9,

OC,QD,OE两两垂直.

以。为原点如图建立空间直角坐标系Oxyz,

则B（0,T,0）,C（l,0,0）,£＞（0,G,0）,P（T,0,2）,

BD=（0,0+1,0）,旃=（-1,1,2）,

设平面PBD的法向量为n=（x,y,z）,

元•丽=（6+l）y=0[y=0

由I―V7，得Vc

n-BP--x