2025版新教材高中数学第五章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.2蝗制导学案新人教A版必修第一册

5.1.2弧度制【学习目标】(1)理解弧度制的概念．(2)能进行角度与弧度的互化．(3)会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式．题型1角度制与弧度制的互化【问题探究1】(1)在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？(2)我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来便利，那么角的度量是否也能用不同的单位制呢？(3)一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？例1将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－学霸笔记：角度与弧度的互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．一般状况下，省略弧度单位跟踪训练1(多选)下列转化结果正确的是()A.67°30′化成弧度是3π8B．－C．－150°化成弧度是7π6D．题型2用弧度制表示角是集合例2已知角α＝1200°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－2π，2π]上找出与α终边相同的角．题后师说用弧度制表示终边相同角的2个关注点跟踪训练2(1)下列与45°角的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋π4(k∈ZC．k·360°＋45°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈(2)如图，用弧度制表示终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合(用弧度制表示)：________．题型3弧长公式与面积公式的应用【问题探究2】请你说出初中学过的扇形的弧长和面积公式．例3已知扇形的周长为8cm.(1)若该扇形的圆心角为0.5rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．一题多变在本例的条件中，若“周长为8cm”改为“面积为8cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长．题后师说扇形的弧长和面积的求解策略跟踪训练3(1)已知扇形的圆心角为2πA．πB．2πC．3D．6(2)若扇形圆心角为135°，扇形面积为3π，则扇形半径为________．随堂练习1.下面关于弧度的说法，错误的是()A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180＝C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2D．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π2．时针经过四个小时，转过了()A．2π3radB．－C．5π6radD．－3．若角α＝3rad，则角α是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知扇形的半径为2，面积为3π，那么该扇形的弧长为________．课堂小结1.对弧度制概念的理解．2．弧度制与角度制的互化．3．驾驭特别角的度数与弧度数的对应关系．4．利用扇形的弧长公式和面积公式进行计算．5．1.2弧度制问题探究1提示：(1)周角的1360(2)能(3)360°2π度数×π180＝弧度，弧度数×(180例1解析：(1)20°＝20×π180＝π(2)－15°＝－15×π180＝－π(3)7π12＝(4)－11π5＝－跟踪训练1解析：对于A，67°30′＝135°2×π180°＝3π8，故A正确；对于B，－10π3＝－答案：AB例2解析：(1)α＝1200°＝1200180π＝2因为2π3为其次象限，所以(2)与α终边相同的角可以写成γ＝2π3＋2kπ，k∈由γ＝2π3＋2得当k＝0时，γ＝2π当k＝－1时，γ＝－4π所以在区间[－2π，2π]上与α终边相同的角为2π3和－跟踪训练2解析：(1)对于A，B，终边相同的角的表达式中弧度与角度混用，不正确；又与45°角的终边相同的角的表达式可以为k·360°＋45°(k∈Z)或2kπ＋π4(k∈Z对于kπ＋5π4，令k＝0，表示的角为(2)因为75°＝75×π180＝5π12结合图象可看作-π6，答案：(1)C(2){问题探究2提示：初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝nπR180，S＝nπR例3解析：设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S.(1)由题意，得2r＋l＝8，l＝0.5r，解得r＝3.2cm，l＝1.6cm，所以S＝12lr＝2.56(cm2(2)由2r＋l＝8，得l＝8－2r，r∈(0，4)，则S＝12lr＝12(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)当r＝2cm时，Smax＝4cm2，此时l＝4cm，圆心角α＝lr一题多变解析：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，则由S＝12αr2，得8＝12×12×r2所以l＝αr＝12×42＝22跟踪训练3解析：(1)设扇形的弧长为l，半径为r，依据已知扇形的圆心角α＝2π3，面积由扇形的面积公式S＝12αr2，得3π＝12×2π3×r2，解得r＝3，由弧长公式(2)依题意可知，圆心角的弧度数为3π4，设扇形半径为r，则S＝12×3π4答案：(1)B(2)22[随堂练习]1．解析：A.依据弧度数定义可知A正确；B.依据弧度与角度的转化关系，可知B正确；C.设半径为r，则弦长为3r，设圆心角为θ，由余弦定理有cosθ＝r2+r2-3r22r·r